天津市实验中学2024-2025学年高三上学期第四次质量调查数学试卷

第 1页，共 15页 2025 届高三年级第四次质量调查数学学科答案 一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U  R， { | 3 1}A x x    ， { | 0 2}B x x  ，则图中阴影部分表示的 集合为( ) A. { | 3 0}x x   B. { | 3 0}x x   C. { | 3 2}x x   D. { | 0 1}x x  2.已知 a，b都是实数，那么“ lg lga b ”是“ a b ”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.三个数 2=0.3a ， 2= log 0.3b ， 0.3=2c 的大小顺序是( ) A. c ab   B. b ca   C. a cb   D. c ba   4.函数 2( ) cos ln( 1 )f x x x x    的图象大致为( ) A. B. C. D. 5.设 m，n是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m  ， //n ，则m n ；②若 //m n， //n ，则 //m ；③若 //m n，n  ， //m ，则  ；④ 若m n A  ， //m ， //m ， //n ， //n ，则 // .  其中真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术 》卷五商功篇中介绍了羡除 (此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直 角三角形的五面体 )体积的求法．在如图所示的羡除中，平面 ABDA是铅 垂面，下宽 3AA m  ，上宽 4BD m ，深 3 m，平面 BDEC是水平面， 末端宽 5CE m ，无深，长 6 (m 直线 CE到 BD的距离 )，则该羡除的体积为( ) A. 324m B. 330m C. 336m D. 342m 第 2页，共 15页 7.若双曲线的中心为原点， (0, 2)F  是双曲线的焦点，过 F的直线 l与双曲线相交于 M，N两点，且 MN 的中点为 (3,1)P ，则双曲线的方程为 ( ) A. 2 2 1 3 x y  B. 2 2 1 3 xy   C. 2 2 1 3 y x  D. 2 2 1 3 yx   8. 已知函数 ( ) cos(2 )(0 )f x x       的图象关于直线 6 x  对称，函数 ( ) sin(2 )g x x   ，则下列 四个命题中， ① ( )y g x 的图象关于点 ( ,0) 3  成中心对称； ②若对 x R ，都有 1 2( ) ( ) ( )g x g x g x  ，则 1 2| |x x 的最小值为 ； ③将 ( )y g x 的图象向左平移 12  个单位，可以得到 ( )y f x 的图象； ④ 0 .x R 使 0 0 1| ( ) ( ) | . 2 f x g x  真命题有 ( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 9. 已知函数 1( ) ln ( 0)xf x e a a a ax a      ，若 ( ) 0f x  恒成立，则 a的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. (1, ) C. [1, ) D. (0,1] 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 10.i是虚数单位，复数 7 3 4 i i    ____________. 11. 2 4( 1)( 2)x x  的展开式中 2x 的系数为 (用数字作答 ). 12.已知圆 C的圆心与抛物线 2 8y x 的焦点关于直线 y x 对称，直线 2 3 0x y   与圆 C相交于 A，B 两点，且 | | 2AB  ，则圆 C的方程为________. 13. 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 5 : 4 : 6.这三个盒子中黑球占总数的 比例分别为 40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将 三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为__________. 14.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的 证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，大正方形边长为 2， ， 则 _______. 第 3页，共 15页 15.已知函数   2 2 2 , 0, e e 1 , 0. 3 x x ax a x f x x a x x           若存在实数 k，使得函数 ( )y f x k  有 6个零点，则实数 a的取 值范围是________. 三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. (本小题 14分 ) 在 ABC 中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 ABC 的面积为 3 15， 12,cos 4 b c A    ． (1)求 a和 sinC的值；(2)求 πcos 2 3 C     的值． 17. (本小题 15分 ) 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， //AB CD， 1AD CD  ， 120BAD   ， 3PA  ， 90ACB   ，M是线段 PD上的一点 (不包括端点 ). (1)求证： BC 平面 PAC； (2)求 A点到平面 PCD的距离； (3)试确定点 M的位置，使直线 MA与平面 PCD所成角 的正弦值为 15 . 5 18. (本小题 15分 ) 设椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的离心率等于 3 2 ，拋物线 2 4x y 的焦点F 是椭圆 E的一个顶点，A B､ 分别是椭圆的左右顶点. （1）求椭圆E的方程； （2）动点 P Q､ 为椭圆上异于 A B､ 的两点，设直线 ,AP BQ的斜率分别为 1 2,k k ，且 2 13k k ，求证：直线 PQ经 过定点. 第 4页，共 15页 19. (本小题 15分 ) 设数列{ }( *)na n N 是公差不为零的等差数列，满足 3 6 9a a a  ， 25 7 96a a a  ；数列{ }( *)nb n N 的前 n 项和为 nS ，且满足 4 2 3.n nS b  (1)求数列{ }na 、{ }nb 的通项公式； (2)求    2 1 2 21 1 n k k k k a a    值； (3)在 1b 和 2b 之间插入 1个数 11x ，使 1b ， 11x ， 2b 成等差数列；在 2b 和 3b 之间插入 2个数 21x ， 22x ，使 2b ， 21x ， 22x ， 3b 成等差数列；……；在 nb 和 1nb  之间插入 n个数 1nx ， 2nx ，…， nnx ，使 nb ， 1nx ， 2nx ，… nnx ， 1nb  成等差数列． ( )i 求 1 1 n i n ij i j T x            ； ( )ii 写出所有使 12 m n m aT a  成立的正整数对 ( , )m n ．（直接写结果） 第 5页，共 15页 20. (本小题 16分 ) 已知函数 1( ) ln . 1 xf x a x x     (1)当 1a  时，求函数 ( )f x 的单调区间; (2)若 2 2( ) ( 1) ln ( 1) ( 0)g x a x x x a     有 3个零点 1x ， 2x ， 3x ，其中 1 2 3.x x x  ( )i 求实数 a的取值范围; ( )ii 求证： 1 3(3 1)( 2) 2.a x x    第 6页，共 15页 答案和解析 1.【答案】A 【解答】解：根据题意，图中阴影部分区域表示为 ( )UA B ð ， 因为 { | 3 1}A x x    ， { | 0 2}B x x  ，则 { | 0UB x x ð 或 2}x ， 则 ( ) { | 3 0}UA B x x    ð ， 2.【答案】B 【解答】解： lg lg 0a b a b a b      ， 反之由“ a b ”无法得出 lg lg .a b “ lg lga b ”是“ a b ”的充分不必要条件． 3.【答案】C 【解答】解：因为 20 0.3 1a   ， 2 2log 0.3 log 1 0b    ， 0.3 02 2 1c    ，所以b a c  ， 4.【答案】B 【解答】解：函数 2( ) cos ln( 1 )f x x x x    ， 2 2( ) cos( ) ln ( ( ) 1 ) cos ln ( 1 )f x x x x x x x            ， 2 2( ) ( ) cos [ln( 1 ) ln( 1 )]f x f x x x x x x          2 2 2cos ln[( 1) ] 0x x x     ，即函数 ( )f x 为奇函数， 故排除 A，D， 又当 0x  时， 2 21 2 1 1x x x x      ，即 2 1 1x x   ， 2( ) cos ln ( 1 ) 0f          ， 故排除 C， 5.【答案】C 【解答】解：①因为 //n  ，所以在 内必存在一条直线 0n ，使得 0// .n n 又因为m  ，所以 0m n ，因此m n ，因此①为真命题； ②因为 / / , / /m n n  ，则 / /m  或m  ，因此②不是真命题； ③因为 / / ,m n n  ，所以 .m  第 7页，共 15页 又因为 / /m  ，所以在 内存在 0 // .m m 由m  得 0m  ，所以  ，因此③是真命题； ④因为m n A  ，由 //n  ， //m  ，得在 内必存在 1n ， 1m ，且 1n 与 1m 相交， 使得 1 //n n， 1 // .m m 又因为 //m  ， //n  ，所以 1 //n  ， 1 //m  ，所以 / / .  ，因此④是真命题. 故答案为 .C 6.【答案】C 【解答】解：如图，在 BD，CF上分别取点 B，C ， 使得 3BB CC m    ，连接 A B ， AC ， B C ， 依题意，则三棱柱 ABC A B C   是底面三角形 ABC为直角三角形， 且两直角边为 3，4，三棱柱高为 BB， 四棱锥 A B DEC   是底面是梯形 B DEC ， 且 90DBC B C E         ，高为 A B ， 故该羡除的体积 ABC A B C A B DECV V V       三棱柱 四棱锥 31 1 1 2( 3 6) 3 ( 6) 3 36 . 2 3 2 m         7.【答案】B 【解答】解：由已知条件易得直线 l的斜率为 1PNk k  ， 设双曲线方程为 2 2 2 2 1 y x a b   ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则有 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 y x a b y x a b        ，两式相减并结合 1 2 6x x  ， 1 2 2y y  得 2 1 2 2 1 2 3 1y y a x x b     ， 即 2 23b a ，又 2 2 4a b  ，解得 2 1a  ， 2 3b  ， 8.【答案】C 【解答】解：函数 ( ) cos(2 )(0 )f x x x     关于直线 6 x  对称，所以 2 ( ) 6 k k Z      ，解得 3 k    ， ( )k Z 当 1k  时 2 . 3   第 8页，共 15页 所以 2( ) cos(2 ). 3 f x x   所以函数 2( ) sin(2 ) sin(2 ) 3 g x x x     ，令 22 3 x k   ，解得 ( ) 2 3 kx k Z    ，当 0k  时， 3 x  ， 所以： ( )y g x 的图象关于点 ( ,0) 3  成中心对称；故①正确． ②若对 x R  ，都有 1 2( ) ( ) ( )g x g x g x  ，即 min 1( ) ( )g x g x ， max 2( ) ( )g x g x ，即 1 2| |x x 的最小值为 2 2 T   ， 故②错误． ③将 ( )y g x 的图象向左平移 12  个单位，得到 2( ) sin(2 ) cos2 6 3 k x x x      ，故错误． ④由于 2 2 3 1( ) ( ) cos(2 ) sin(2 ) ( ) ( 2)sin(2 ) 3 3 2 2 4 f x g x x x x            ，当 0x 满足 0 6 2| sin (2 ) | 4 4 x    时， 0 0 1| ( ) ( ) | 2 f x g x  ，故正确． 9.【答案】A 【解答】解： 1ln( ) 0xe a a ax a     可变形为 ln( 1) ln 1 0 xe x a a      ， ln ln ln( 1) 1x ae x a x x       ，注 意 ( 1, )x   ， 令 ( ) th t e t  ，则 ( ) 1 0th t e    ，所以 ( )h t 在 (0, ) 上单调递增， 不等式可化为 ( ln ) (ln( 1))h x a h x   ，所以 ln ln( 1)x a x   ，所以 minln [ ln( 1)]a x x   ， 因为 ln( 1)y x x   ， 11 1 1 xy x x       ， 所以 ln( 1)y x x   在 ( 1,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增， 则 min 0y  ， 所以 0 1.a  10.【答案】1 i 11.【答案】 8 【解答】解： 4( 2)x  的展开式的通项为 41 4 2 r r r rT C x     ， 所以在 2 4 2 4 4( 1)( 2) ( 2) ( 2)x x x x x      的展开式中， 含 2x 的项为 4 4 2 24 42 2 16 24 8C C     ， 所以 2x 的系数为 8. 第 9页，共 15页 12.【答案】 2 2( 2) 6x y   【解答】解：抛物线 2 8y x 的焦点为 (2,0)，其关于直线 y x 的对称点 C为 (0,2)， C到直线 2 3 0x y   的距离为 | 2 3 | 5 5 d    ， 所以圆 C的半径为 2 21 | | 5 1 6 4 r d AB     ，圆 C的方程为 2 2( 2) 6.x y   13. 【答案】 0.05 ； 0.6 【解答】解：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 5 ,4 ,6n n n，所以总数为 15n， 所以甲盒中黑球个数为 40% 5 2n n  ，白球个数为 3n； 乙盒中黑球个数为 25% 4n n  ，白球个数为 3n； 丙盒中黑球个数为 50% 6 3n n  ，白球个数为 3n； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A，所以，   0.4 0.25 0.5 0.05P A     ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 B， 黑球总共有 2 3 6n n n n   个，白球共有 9n 个， 所以，   9 3 . 15 5 nP B n   故答案为： 0.05； 0.6. 14.【答案】 18 5  【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，过 G作GG BC  于G 由题意， 3AF AE    ， 3BG CG  2 2 2 29 , 10 4,CG CG BC CG     10 3 10, 5 5 CG BG    由等面积法，得GG BC CG BG    ， 62 5 GG   ， 3 5 GG   G 点的横坐标为 3 72 5 5   ，又 2 2 2GC GG G C    ， 1 5 CG   ， G 点的纵坐标为 92 5 CG   ， 7 9( , ) 5 5 G ，又 (2,0)B 3 9(0,2), , 5 5 AD GB           18 . 5 AD GB      15.【答案】 3( ,3) 2 第 10页，共 15页 【解答】解：当 0x  ， 2 2 ( ) ( 1)( ) x x xe e x e ex e xf x x x        ， 由 ( ) 0f x  可得 1x  ，由 ( ) 0f x  可得 0 1x  ， 故可得 ( )f x 在 (0,1)单调递减，在 (1, ) 单调递增， 故 ( )f x 在 (0, ) 有最小值为 2 1 3 a ， 又因为当 0x 时， 2 2 2( ) | 2 | | ( ) |f x x ax a x a a a       ， 由函数 ( )y f x k  有 6个零点，故可得两段函数分别存在 4和 2个零点. 若 2| 2 | ( 0)y x ax a x    存在四个零点，此时需满足： 2 0 1 4 4 0 a a a a      ， 使得函数 ( )y f x k  有 6个零点，此时有两种情况： ① 2 2 2 1 3 3: 23 2 2 a a a a a a a a            ，② 2 2 1 3 : 2 33 a a a a a a a           ，综上： 3 3 2 a  ， 16.【答案】(1) 8a  ， 15sin 8 C  (2)17 21 5 64  【详解】（1）在 ABC 中，由 1cos 4 A   ，故A为钝角， 21 15sin 1 4 4 A         ， ABC 的面积为 3 15，可得 1 sin 3 15 2 bc A  ，即 1 15 3 15 2 4 bc  ，则 24bc  ， 联立 2b c  ，解得 6, 4b c  ， 由 2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 64 4 a b c bc A                ，可得 8a  ， 由正弦定理得 sin sin a c A C  ，即 8 4 sin15 4 C  ，解得 15sin 8 C  ； （2） 15sin 8 C  且C为锐角， 2 15 7cos 1 8 8 C           ， 27 15 17sin2 2sin cos , cos2 1 2sin 32 32 C C C C C        ， π π π 17 1 7 15 3 17 21 5cos 2 cos2 cos sin2 sin 3 3 3 32 2 32 2 64 C C C             ． 17.【答案】 (1)PA  面 ABCD因为 PA BC ，CA BCPA CA A   ， 所以 BC 面 ;PAC 第 11页，共 15页 (2)易知 ACD 等边，所以 3 4ACD S  ， 因为 2PC PD  ， 1CD  ，所以 15 4PCD S  ， 由 3 3 154 ; 515 4 P ACD A PCD ACD PCDV V S PA S d d            (3)易知 sin 1 d AM Am     而 1AM  中， 2PD M  为 PD中点. 18.【答案】 (1) 2 2 1 4 x y  (2)证明见解析 【详解】（1） 2 4x y 的焦点 F 的坐标  0,1 ，由 0, 1a b b   ， 3 2 ce a   ， 2 2 2a b c  ，得 2 4a  ，椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  . （2）    2,0 , 2,0A B ，由题意可知，直线 AP的斜率存在，且不为 0，设直线 AP的斜率 1k k ， 直线 AP的方程为  2y k x  ，联立   2 2 2 , 1, 4 y k x x y        消去 y，得  2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k     . 直线 AP过点   2 2 16 4, 2 1 4P kA x k     ， 2 2 2 8 1 4P kx k     . 代入  2y k x  ，得 2 4 1 4P ky k   ， 2 2 2 2 8 4, 1 4 1 4 k kP k k        . 同理：直线 BQ的方程为  2 2y k x  ，联立   2 2 3 2 , 1, 4 y k x x y        消去 y， 得  2 2 2 21 36 144 144 4 0k x k x k     . 直线 BQ过点 2 2 144 4,2 1 36Q kB x k    ， 2 2 72 2 1 36Q kx k     . 代入  3 2y k x  ，得 2 12 1 36Q ky k    ， 2 2 2 72 2 12, 1 36 1 36 k kQ k k         . 若 2 2 2 2 2 8 72 2, 1 4 1 36P Q k kx x k k       ，直线 PQ的斜率 2 2 2 2 2 2 4 12 1 4 1 36 2 8 72 2 1 4 1 36 PQ k k k kk k k k k          2 4 1 12 k k ， 第 12页，共 15页 直线 PQ的方程为 2 2 2 2 4 4 2 8 1 4 1 12 1 4 k k ky x k k k          ，   2 2 2 2 2 4 2 8 4 4 1 1 12 1 4 1 4 1 12 k k k ky x x k k k k             直线 PQ过定点  1,0 . 19.【答案】解： (1)设数列{ }na 的公差为 d， ( 0)d  ， 则由 3 6 9a a a  ，得 1 1 1( 2 ) ( 5 ) 8a d a d a d     ， 1a d  ， 2 5 7 96a a a  ， 2 1 1 1( 4 ) ( 6 ) 6( 8 )a d a d a d      ， 将 1a d 代入上式，得 25 49 54d d d  ， 249 49d d  ， 0d  ， 1d  ， .na n  由 4 2 3n nS b  ，① 当 2n 时， 1 14 2 3n nS b   ，② ①-②，得 14 2 2 0n n nb b b    ， 1 1 3n n b b   ， ( 2)n ， 又 1 14 2 3b b  ， 1 1 0 2 b   ， { }nb 是首项为 1 2 ，公比为 1 3 的等比数列， 11 1( ) 2 3 n nb    ， *( ).n N （2） na n ，     2 2 21 1n n n a a      2 2 1 2 1 n n n    2 24 1 n n    2 2 1 14 1 4 4 4 1 n n        1 1 4 4 2 1 2 1n n     1 1 1 1 4 8 2 1 2 1n n            2 1 2 21 1 n k k k k a a    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 4 8 3 4 8 3 5 4 8 5 7 4 8 2 1 2 1n n                                                          1 1 1 1 1 1 1 11 4 8 3 3 5 5 7 2 1 2 1 n n n                                         11 1 11 1 4 8 2 1 4 2 1 2 2 1 n nn n n n n                  ，         2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 n k k k n nk a a n      ； 第 13页，共 15页 (3)( )i      11 21 22 31 32 33 1 2 1 1 n i n ij n n nn i j T x x x x x x x x x x                      L L 在 nb 和 1nb  之间插入 n个数 1nx ， 2nx ，…， nnx ， nb ， 1nx ， 2nx ，… nnx ， 1nb  成等差数列，设公差为 nd ， 1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) 12 3 2 3 ( 2) 1 1 3 ( 1) n n n n n n b b d n n n             ， 则 11 1( ) 2 3 3 ( 1) n nk n n n kx b kd n      ， 1 1 1 1 1 ( 1)( ) 2 3 3 ( 1) 2 3 n n nk n n k n n nx n n           ， 11 21nT x x   … 1 2n nx x  … 2 1 1 3 3 3nn n nx     ，① 则 2 3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3n n n n nT        ，② ①-②，得 2 1 1 1 1 1[1 ( ) ]2 1 1 1 1 13 3 (1 ) 13 3 3 3 3 3 2 3 31 3 n n n n n n n n n nT                 ， 1 3 1 1 1 1 . 4 4 3 2 3 2 2 2n n n n mT m m           2 3 2(3 2 3) 4 6 4 6( ) 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 n n n n n n n nii m n n n                 ， 当 1n  时， * 102 3 2 m N      ， 当 2n  时， *142 9 2 m    ， 当 3n  时， *2 1 3m N    ， 下证，当 *4( )n n N 时，有3 2 3 4 6n n n    ，即证 3 6 9 0n n   ， 设 ( ) 3 6 9xf x x   ， 4x ，则 ( ) 3 ln3 6 3 6 0x xf x      ， ( )f x 在 [4, ) 上单调递增， 故 4n 时， 43 6 9 3 6 4 9 48 0n n        ， 4 60 1 3 2 3n n n       ， 4n  时，m不是整数， 所有的正整数对 ( , )m n 为 (9, 2)及 (3,3). 第 14页，共 15页 20.【答案】解： (1)当时 1a  ， 1( ) ln 1 xf x x x     ， 2 2 2 1 2 1( ) ( 1) ( 1) xf x x x x x        ， 则 ( ) 0f x  在 (0, ) 恒成立，所以 ( )f x 在 (0, ) 单调递增， 故 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) ，无单调递减区间. 2 2 2 21(2)( ) ( ) ( 1) ln ( 1) ( 1)( ln ) ( 1) ( ) 1 xi g x a x x x x a x x f x x            ， (1) 0g  ， (1) 0f  ，则 ( )f x 除 1外还有两个零点. 2 2 2 2 (2 2)( ) ( 1) ( 1) a ax a x af x x x x x          ，令 2( ) (2 2) ( 0)h x ax a x a x     ， 当 0a  时， ( ) 0h x  在 (0, ) 恒成立，则 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0, ) 单调递 减，不满足，舍去; 当 0a  时，要是 ( )f x 除 1外还有两个零点，则 ( )f x 不单调， 所以 ( )h x 存在两个零点，所以 2 2(2 2) 4 0a a    ，解得 10 2 a  当 10 2 a  时，设 ( )h x 的两个零点为 m， ( )n m n ，则 2 2 0m n a     ， 1mn  ， 所以 0 1 .m n   当 (0, )x m 时， ( ) 0h x  ， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 单调递增; 当 ( , )x m n 时， ( ) 0h x  ， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 单调递减;当 ( , )x n  时， ( ) 0h x  ， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 单调递增;又 (1) 0f  ，所以 ( ) 0f m  ， ( ) 0f n  ， 而 1 1 1 1 11 1 2( ) 1 0 1 a a a a a e ef e e e               ，且 1 1ae   ， 1 1 1 1 1 2( ) 1 0 11 a a a a ef e ee       ，且 1 1ae  ，所以存在 1 1 ( , )ax e m   ， 1 3 ( , )ax n e ， 使得 1 3( ) ( ) 0f x f x  ， 即 2 2( ) ( 1) ln ( 1) ( 0)g x a x x x a     有 3个零点 1x ， 2 1x  ， 3.x 综上，实数 a的取值范围为 1(0, ) 2 ( )ii 因为 1 11 1 1( ) ln ln ln ( ) 1 1 11 x xxf a x a x a x f x x x x x                 ， 所以若 ( ) 0f x  ，则 1( ) 0f x  ，所以 1 3 1 .x x  第 15页，共 15页 当 1x  时，先证明不等式 2 2 3( 1)ln 4 1 xx x x     恒成立，设 2 2 3( 1)( ) ln 4 1 xx x x x      ， 则 2 4 2 2 2 2 1 12( 1) ( 1)( ) 0 ( 4 1) ( 4 1) x x xx x x x x x x             ，所以函数 ( )x 在 (1, ) 上单 调递增，于是 ( ) (1) 0x   ，即当 1x  时，不等式 2 2 3( 1)ln 4 1 xx x x     恒成立. 由 3( ) 0f x  ，可得 2 3 3 3 2 3 3 3 1 3 ( 1) ln 1 4 1 x a x a x x x x        ，因为 3 1x  ， 所以 3 2 3 3 3 3 ( 1)1 1 4 1 a x x x x      ，即 2 2 3 3 34 1 3 ( 1)x x a x    ，两边同除以 3x ， 得 3 3 1 3 1 3 3 3 1 14 3 ( 2 ) 4 3 ( 2)x a x x x a x x x x            ， 所以 1 3(3 1)( 2) 2a x x    天：￥本尖逊P学LINJIN EXTERIMENTAL HIGH SCHUOL 2025届高三年级第四次质量调查数学学科试卷 命题人：高三数学各深组 审械人：高三数学备课组 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集U=R,A={x|-3<x<},D=(x0≤x<2},则图中阴 彤部分表示的集合为) A.{x|-3<x<09B.{x|-3<x≤0C.xl-3<x<2)D.{x|0≤x<) 2.已知a,b都是实数，那么“lga>lgb"是“a>b”的() A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既木充分也不必要条件 3.三个数a=032,b=log203,c=23能天小顺序是() A.b<c<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 4.函数fx)=cosx.In(Wx2+I-x)的图象大致为州) Anaaho he 5.设m, 是两条不同的直线，, B是两A 同的平面，给出下列四个命题： ①若mLa,n∥a,则m⊥n；@若mm,n∥a,则mHa:③若m/ln,n⊥B,ml∥a,则 a⊥B:回若m∩n=A,m∥&，m∥B,n∥ax,n∥B,则alB. 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 6《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的酒太源泉.在《九章算术 》卷五商功篇中介绍了类除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直 角三角形的五面体)体积的求法.在如图所示的类除中，平面ABD'是铅 垂面，下宽AA'=3m,上宽BD=4m,深3m,平面BDEC是水平面， 末端宽CE=5m,深，长6m(直线CE到BD的距离)，则该美除的体积为) A.24m3B.30m3C.36m3D.42m 2025届高三年级第四次面：调雀枚学学H第1听共4页 天津市平71A:V↓tPhA,h7A!iiGI SCHOU儿 7.若双曲线的中心为原点，F(0,一2)是双曲线的焦点，过F的直线I与双曲线相交于M,N两点， 且MN的中点为P(3,),则双曲线的方程为() B.号lc.号-2=1 D.2上=l 3 3 3 8.已知函数f=cos(2x+pX0<口π)的图象关于直线x=严对称，函数g)=in(2x-), 6 则下列四个命题中， ①y=g)的图象关于点(，0)成中心对称 ②若对x∈R,都有g(x)≤g(x≤g(x),则x一x|的最小值为π： ③将y=g(x)的图象向在平移云个单位，可以得到y=)的图象： 2 ④3北≤R使1/心)-g非分直命题有() A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 9.已知函数f)=c+aln_1 -a(a>0),若f(x)>0恒成立，则a的取值范围是() x+a A.(0,)B.(1,+∞)C[l,+o)D.(0,l] 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10是度数位。复致平 11.(x2-0x+2)的展开式中x2的系数为（用数字作答） 12.己知圆C的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线y=x对称，直线2x-y-3=0与圆C相 交于A,B两点，且|AB=2,则圆C的方程为 13.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6.这三个盒子中黑 球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的 概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概奉为 14.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，大正方形边长为2， F=3亚，则D.G= 2025商二年纱，第四次质员直数学/第7i共4页 天球市尖数中子IANJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL [xi+2ax+a,x50. 15.已知函数f(x)= g-@+id.x>0 若存在实数k,使得函数y=f(x)-k有6个要点，则实 数a的取值范围是 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题14分) 在△4BC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,已知aMBC的面积为35，b-c=2,cosM=一年 (I)求a和sinC的值： ②求cos2C+写到的值. 17.(本小题15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB∥CD, AD=CD=1,∠BAD=120,PA=V5,∠ACB=90', M是线段PD上的一点（不包括端点） ()求证：BC⊥平面PAC (2)求A点到平面PCD的距离： ()试确定点M的位理，使直线M与平面PCD所成角O的正弦值为西 18.(本小题15分) 设椭圆E:￡+=1(a>b之)的离心￥梦于V3】 抛物线x2=4y的焦点F是椭圆E的一个 2 顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆E的方程： (2)动点PQ为椭圆上异于AB的两点，设直线AP,BQ的斜率分别为k,k,且，=3%，求证： 直线P经过定点. 天*市尖验中季TLNJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL 19.(本小题15分) 设数列{gn(n∈N是公差不为每的等差数列，满足马+a。=4,,a,+G=6a,:数列 {亿}(n∈N)的前n项和为Sn,且满足4Sn+2b。=3. ()求数列{an}、{bn}的通项公式： ②☒求 k2 @-4+可值： (③)在6和b2之间插入1个数，使b,1,b成等差数列：在62和b之间插入2个数1， 2,使，a,2,成等差数列：：在b,和b之间插入n个数x,x2,,Xn) 使bn,xn’xn2,…xnn,bn成等差数列. 0求了= 间写出所有使乙=2会成立的正整数对似网.（直接写结果） 20.(本小题16分) 已知函数f)=alnx-x-J x+1 ()当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)=a(x2-1)nx-(x-1)(a≠0)有3个零点x,为2，为，其中x<2<3 ()求实数a的取值范围； ()求证：(3a-1(名+x+2)<2. 0们%屁离年绍迹ma出*“一…