专题 平行线四大常考模型（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第7章 平行线的证明》 专题 平行线中四大常考模型 模型一 “铅笔模型” 模型解读 1．（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C． 【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB． ∵AB∥DE， ∴DE∥CF； ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°； ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，解题时需要作辅助线求解． 2．（2024春•道县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度 A．360 B．180 C．250 D．270 【分析】过点B作BG∥AE，利用平行线的性质可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，从而可得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，然后根据垂直定义可得∠BAE＝90°，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BG∥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝180°， ∵AE∥CD， ∴BG∥CD， ∴∠C+∠CBG＝180°， ∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°， ∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键． 3．（2024春•福田区期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 【分析】过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，从而可得AB∥FH∥EG∥CD，然后利用平行线的性质可得∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°，从而可得∠HFB＝102°，∠CEG＝90°，进而可得∠EFH＝∠GEF＝8°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FH∥EG∥CD， ∴∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°， ∴∠HFB＝180°﹣∠B＝102°，∠CEG＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝98°﹣90°＝8°， ∴∠EFH＝∠GEF＝8°， ∴∠EFB＝∠EFH+∠HFB＝102°+8°＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024•茌平区一模）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β﹣γ＝90° 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ， 因为AB∥EF，所以∠1＝∠2，于是 90°﹣α＝β﹣γ，故α+β﹣γ＝90°． 故选：D． 【点评】此题主要是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角． 掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质：两条直线平行，内错角相等． 5．（2024•济宁一模）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 　 　． 【分析】延长GE交CD于点H，先利用平行线的性质可得∠BGE＝∠EHF＝60°，再根据垂直定义可得∠GEF＝90°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：延长GE交CD于点H， ∵AB∥CD， ∴∠BGE＝∠EHF＝60°， ∵GE⊥EF， ∴∠GEF＝90°， ∵∠GEF是△EFH的一个外角， ∴∠EFD＝∠GEF﹣∠EHF＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【解答】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 7．（2024春•南充期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点M在两条平行线之间，∠AEM与∠CFM的平分线相交于点N，若∠EMF＝n°，则∠ENF＝ 度．（用含n的式子表示） 【分析】过点M作MG∥AB，利用猪脚模型可得∠EMF＝∠1+∠2＝n°，同理可得：∠ENF＝∠3+∠4，然后利用角平分线的定义可得∠3∠AEM，∠4∠CFM，从而利用等量代换和平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点M作MG∥AB， ∴∠1＝∠EMG， ∵AB∥CD， ∴CD∥MG， ∴∠2＝∠FMG， ∵∠EMF＝∠EMG+∠FMG， ∴∠EMF＝∠1+∠2＝n°， 同理可得：∠ENF＝∠3+∠4， ∵EN平分∠AEM，FN平分∠CFM， ∴∠3∠AEM，∠4∠CFM， ∴∠ENF＝∠3+∠4 ∠AEM∠CFM （180°﹣∠1+180°﹣∠2） [360°﹣（∠1+∠2）] （360°﹣n°） ＝（180n）°， 故答案为：（180n）． 【点评】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2024春•望奎县期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　 　°． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【分析】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数； ②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结论可知∠AFC的度数． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°， 故答案为：65°； （2）①过点E作EF//AB，如图： ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°； ②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE， ∴， ∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF＝65°， 由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 【点评】本题考查的重点是平行线的性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． 9．（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点． （1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°； （2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数； （3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）先过点E作EF∥AB，根据平行公理的推论证明EF∥CD，由平行线的性质证明结论即可； （2）由（1）中的结论和已知条件，求出∠BED+∠D，再根据角平分线的性质求出∠DEF+∠EDF，最后根据三角形内角和定理求出答案即可； （1）根据已知条件，把∠FBE和∠BEF用∠BED和∠BED表示出来，利用（1）中的结论和三角形内角和定理，求出答案即可． 【解答】解：（1）如图所示：过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D+∠DEF＝180°， ∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝180°+180°， 即∠B+∠BED+∠D＝360°； （2）由（1）可知：∠B+∠BED+∠D＝360°； ∵∠B＝120°， ∴∠BED+∠D＝360°﹣120°＝240°， ∵∠BED，∠CDE的平分线相交于点F， ∴∠DEF， ∴∠DEF+∠EDF ＝120°， ∴∠DFE＝180°﹣（∠DEF+∠EDF）＝60°； （3）∵∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF， ∴， 由（1）可知：∠ABE+∠BED+∠D＝360°， ∴∠ABE+∠BEF＝360°﹣∠D＝360°﹣α， ∴∠FBE+∠BEF ， ∵∠F+∠FBE+∠BEF＝180°， ∴∠BFE＝180°﹣（∠FBE+∠BEF） ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理． 模型二 “猪蹄模型” 模型解读 1．（2024春•余姚市期中）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】过点A作AB∥b，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点A作AB∥b， ∴∠1＝∠DAB＝10°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠CAB＝∠DAC﹣∠DAB＝50°， ∵a∥b， ∴AB∥a， ∴∠2＝∠CAB＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键． 2．（2024•临颍县一模）如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】延长CB与AD交于点E，先利用平行线的性质可得∠2＝∠E＝45°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDE＝30°，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：延长CB与AD交于点E， ∵AE∥CF， ∴∠2＝∠E＝45°， ∵∠1是△BDE的一个外角， ∴∠BDE＝∠1﹣∠E＝75°﹣45°＝30°， ∴∠3＝180°﹣∠BDE＝150°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 3．（2024春•新昌县期末）李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 【分析】过点E作EF∥AB，先根据猪脚模型可得∠GEH＝∠3+∠4＝90°，然后利用对顶角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，从而利用等量代换可得∠1+∠2＝90°，即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF∥AB， ∴∠5＝∠3， ∵AB∥CD， ∴∠EF∥CD， ∴∠6＝∠4， ∵∠GEH＝∠5+∠6＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵∠3＝∠1，∠4＝∠2， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【分析】过点E作EG∥AB，根据猪脚模型可得：∠MEN＝∠1+∠CNE，∠F＝∠AMF+∠4，再利用角平分线的定义可得∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4，从而可得∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4），然后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB//CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 6．如图，，平分，，，则 ． 【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解． 【解答】解：过E点作EM∥AB， ∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MED=∠D， ∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°， ∴∠BED+∠D=66°， ∴∠BED+2∠D=132°， 即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°， ∴∠B=54°，∠D=26°， ∴∠BED=80°． 故答案为：80°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键． 7．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　． 【分析】过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据已知易得：AB∥GN∥MP∥KH∥CD，再利用锯齿模型可得∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD＝104°，然后利用角平分线的定义可得∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF，从而可得∠AEM+∠MHF＝52°，进而可得∠AEM+∠MHK＝32°，最后利用猪脚模型可得∠EMH＝∠AEM+∠MHK＝32°，即可解答． 【解答】解：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD， ∵GN∥AB， ∴∠AEG＝∠EGN， ∵GN∥KH， ∴∠GHK＝∠NGH， ∵KH∥CD， ∴∠KHF＝∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF＝∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHF＝104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠GHF， ∴∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF， ∴∠AEM+∠MHF（∠AEG+∠GHF）＝52°， ∵∠KHF＝20°， ∴∠AEM+∠MHK＝32°， ∵MP∥AB∥KH， ∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK＝∠EMP+∠PMH＝32°， 即∠EMH＝32°， 故答案为：32°． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2023秋•驿城区校级期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边AB∥CD． 猜想与证明：（1）如图2，当点E在AB，CD之间时，请写出∠B，∠BED与∠D之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点E在AB的上方，且∠BED＝90°，过点B作直线FG交直线CD于点G，使∠ABE＝∠EBF，过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H，求证：GH平分∠BGJ． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，利用猪脚模型即可解答； （2）延长EH交CJ于点M，利用平行线的性质可得∠GHM＝∠DEB＝90°，从而可得∠BHG＝∠GHM＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABE＝∠GMH，然后利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠FBE，再根据对顶角相等可得∠FBE＝∠GBH，从而可得∠ABE＝∠GBH，进而可得∠GBH＝∠GMH，最后利用AAS证明△GMH≌△GBH，从而利用全等三角形的性质可得∠MGH＝∠BGH，即可解答． 【解答】（1）解：∠BED＝∠B+∠D， 理由：过点E作EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠FED， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D； （2）证明：延长EH交CJ于点M， ∵GH∥DE， ∴∠GHM＝∠DEB＝90°， ∴∠BHG＝180°﹣∠GHM＝90°， ∴∠BHG＝∠GHM＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠GMH， ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵∠FBE＝∠GBH， ∴∠ABE＝∠GBH， ∴∠GBH＝∠GMH， ∵HG＝HG， ∴△GMH≌△GBH（AAS）， ∴∠MGH＝∠BGH， ∴GH平分∠BGJ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2024春•荆门期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝　 　（直接写出结果） 【分析】（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠HAB，再根据已知及角的和差关系可得∠CBP＝∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得∠HAF＝∠FAB＝β，从而可得∠HAB＝2β，再根据已知∠FCG＝2∠FCB＝2α，然后利用平行线的性质可得∠F＝∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝3（α+β ），进行计算即可解答； （3）利用角平分线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2∠NBM，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD， ∴∠ABP＝∠HAB， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG， ∴∠CBP＝∠BCG， ∴BP∥CE， ∴AD∥CE． （2）∵AF平分∠HAB， ∴∠HAF＝∠FAB＝β， ∴∠HAB＝2∠FAB＝2β， ∵∠BCF＝∠BCG＝α， ∴∠FCG＝2∠FCB＝2α， 由（1）可知∠B＝∠HAB+∠BCG， ∴∠F＝∠HAF+∠FCG， ∵α+β＝40°， ∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG ＝2β+α+β+2α ＝3α+3β ＝3（α+β） ＝120°． 答：∠B+∠F的度数为120°． （3）∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC， ∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC， ∵BM∥CR， ∴∠BCR＝∠MBC， ∴∠BCG＝2∠MBC， ∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC， ∵∠BAH＝50°， ∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG ＝2∠NBC﹣2∠MBC ＝2（∠NBC﹣∠MBC） ＝2∠NBM， ∴∠NBM25°． 故答案为：25°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定定理与性质定理，角平分线的定义，熟练掌握利用平行线的判定定理与性质定理是解题关键． 题型三 “鸡翅模型” 模型解读 1．（2024春•凉州区月考）如图，AB∥CD，E为AB上方一点，FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD．若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【分析】延长FG交CD于点M，先利用角平分线的定义可得∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4∠EFD，再利用猪脚模型可得∠FGH＝∠4+∠2，从而可得2∠FGH＝∠EHD+∠EFG，然后利用平行线的性质可得∠6＝∠EHM，再利用三角形的外角性质可得∠1＝∠E+∠6＝∠E+∠EHD，最后根据∠E+2∠G＝210°，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：延长FG交CD于点M， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠5，∠6＝∠EHM， ∵FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD， ∴∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4∠EFD， ∵∠FGH是△GHM的一个外角， ∴∠FGH＝∠4+∠5， ∴∠FGH＝∠4+∠2 ∠EHD∠EFG， ∴2∠FGH＝∠EHD+∠EFG， ∵∠1是△ENF的一个外角， ∴∠1＝∠E+∠6， ∴∠1＝∠E+∠EHD， ∵∠E+2∠G＝210°， ∴∠E+∠EHD+∠EFG＝210°， ∴∠1+∠EFG＝210°， ∴∠EFG+∠EFG＝210°， 解得：∠EFG＝140°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024春•西城区校级期中）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 【分析】设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，先利用角平分线的定义可得：∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，然后利用猪脚模型可得：∠MEN＝∠BMD+∠DNE（∠BMH+∠GND），再利用平行线的性质可得∠BMH＝∠DQH，最后利用三角形的外角性质可得∠H＝∠DQH﹣∠DNH，从而可得∠H＝∠BMH﹣180°+∠GND，进而可得∠BMH+∠GND＝180°+α，再进行计算即可解答． 【解答】解：设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB， ∴∠BMD＝∠MEP， ∵AB∥CD， ∴EP∥CD， ∴∠PEN＝∠DNE， ∵MD平分∠BMH，NE平分∠GND， ∴∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN ＝∠BMD+∠DNE ∠BMH∠GND （∠BMH+∠GND）， ∵AB∥CD， ∴∠BMH＝∠DQH， ∵∠DQH是△NQH的一个外角， ∴∠H＝∠DQH﹣∠DNH， ∴∠H＝∠BMH﹣（180°﹣∠GND）＝∠BMH﹣180°+∠GND， ∵∠H＝α， ∴∠BMH+∠GND＝180°+∠H＝180°+α， ∴∠MEN（∠BMH+∠GND）＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2024春•沈北新区期中）①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 4．（2024春•湛河区校级期末）已知，直线AB∥CD． （1）如图1，点E在AB、CD之间，求证：∠AEC＝∠A+∠C； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BAE的平分线交CE的延长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于点G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点E在直线AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分线交于点F，若∠E﹣∠F＝20°，请直接写出∠ECD﹣∠EAB的值． 【分析】（1）作EG∥AB，根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据题意，得出∠EAF+∠ECG∠BAE∠DCE∠AEC，再由2∠AEC∠AEC+∠F+∠G，即可得出答案； （3）根据三角形内角和定理与角平分线的定义，得出∠E﹣∠F∠ECD∠EAB＝20°，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD ∴∠A＝∠AEG，∠C＝∠CEG， ∵∠AEC＝∠AEG+∠CEG， ∴∠AEC＝∠A+∠C． （2）解：∵2∠AEC＝360°﹣∠AEF﹣∠CEG， ∠AEF+∠CEG＝360°﹣∠EAF﹣∠ECG﹣∠F﹣∠G， 且AF、CG分别为∠BAE、∠DCE的平分线， ∴∠EAF+∠ECG∠BAE∠DCE∠AEC， ∴2∠AEC∠AEC+∠F+∠G， ∴∠F+∠G∠AEC． （3）∵∠EAF+∠E＝∠FCE+∠F， ∴∠E﹣∠F＝∠FCE﹣∠EAF， ∵AF、CE是∠EAB、∠ECD的平分线， ∴∠E﹣∠F∠ECD∠EAB＝20°， ∴∠ECD﹣∠EAB＝40°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练运用这些知识是解答本题的关键． 5．（2024春•芜湖期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，则∠APD的度数为 　 　； （2）如图2，设∠A＝α，∠D＝β，猜想α，β，∠P之间的数量关系，并证明； （3）如图3，AP⊥PD，，AN交DP于点O，，求∠N的度数． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数； （2）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，根据平行线的性质可得∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，即可解答； （3）由AP⊥PD，得到∠P＝90°，根据题意求出∠NOD+∠OND＝90°，即可解答． 【解答】解：（1）如图，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°， ∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°， ∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°， 故答案为：80°； （2）α+β﹣∠DPA＝180°，证明如下： 如图，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠DPE＝∠D＝β，∠APE+∠A＝180°， ∴∠APE＝180°﹣α，∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α， ∴β＝∠DPA+180°﹣α， ∴α+β﹣∠DPA＝180°； （3）∵AP⊥PD， ∴∠P＝90°， ∵， ∴， ∵∠PAN+∠POA＝90°， ∴， ∵∠POA＝∠NOD， ∴， ∵， ∴， ∴∠N＝180°﹣（∠NOD+∠OND）＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2024春•宜春期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，AB∥CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM．证明：∠AMC＝∠BAM+∠MCD． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，AB∥CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN＝25°，∠ANF＝∠AEG，∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG．求∠MFC的度数． 【分析】（1）过点M作MQ∥AB，则AB∥MQ∥CD，利用平行线的性质可得证； （2）利用三角形内角和及邻补角定义可得证； （3）设∠MEG＝x，可得∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG＝50°+3x，∠AGE＝180°﹣∠MGE＝180°﹣（50°+3x）＝130°﹣3x，∠MFN＝y，可得∠ANF＝∠AEG＝2y﹣20°，∠ANF＝∠CAN+∠MFN＝25°+y，进而可求∠MFC． 【解答】证明：（1）如图：过点M作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MQ∥CD， ∴∠AMQ＝∠BAM，∠CMQ＝∠MCD， ∴∠AMC＝∠AMQ+∠CMQ＝∠BAM+∠MCD，即∠AMC＝∠A+∠C； （2）证明：在三角形MGE中，∠EGM+∠MEG+∠GME＝180°， ∵∠EGM+∠AGE＝180°， ∴∠GME+∠MEG＝∠AGE， ∵∠MAC+∠MEG＝∠AGE， ∴∠AME＝∠MAC， ∴AC∥EF； （3）解：∵AN平分∠MAC，∠CAN＝25°， ∴∠MAC＝2∠CAN＝50°， 设∠MEG＝x， ∴∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG＝50°+3x， ∴∠AGE＝180°﹣∠MGE＝180°﹣（50°+3x）＝130°﹣3x， ∵在（2）的条件下，∠AGE＝∠MAC+∠MEG＝50°+x， ∴50°+x＝130°﹣3x， 解得：x＝20°， ∴∠MEG＝20°， 设∠MFN＝y， ∵FN平分∠MFC， ∴∠MFC＝2∠MFN＝2y， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠MFC＝2y， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠MEG＝2y﹣20°， ∴∠ANF＝∠AEG＝2y﹣20°， ∵AC∥EF， 同理可得：∠ANF＝∠CAN+∠MFN＝25°+y， 即2y﹣20°＝25°+y， 解得：y＝45°， ∴∠MFC＝2y＝90°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定及性质，邻补角定义，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 7．（2024春•渝北区月考）已知，AE∥BD，∠A＝∠D． （1）如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为线段AB上一点，连接FG，∠CFG的平分线FM交线段AG于点H．如图2，若∠ECF＝120°，∠AFH＝20°，∠CFG＝110°，求∠E的度数； （3）如图3，连接AC，在（2）的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜50），已知∠CAB＝65°，请直接写出∠CFG的平分线FM与三角形ACE的边平行时t的值． 【分析】（1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点E作EP∥CD，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当FG旋转到FG′，FM′∥AC时；当FG旋转到FG′，FM′∥AE时；当FG旋转到FG′，FM′∥CE时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵AE∥BD， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠B+∠D＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图，过点E作EP∥CD， ∵FM平分∠CFG，∠AFH＝20°， ∴， ∴∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝55°﹣20°＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠CFA＝35°， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAE＝2∠BAF＝70°， ∵EP∥CD，AB∥CD， ∴AB∥EP， ∴∠AEP＝∠BAE＝70°， ∵EP∥CD， ∴∠PEC＝∠ECF＝120°， ∴∠AEC＝∠PEC﹣∠AEP＝120°﹣70°＝50°； （3）①当FG旋转到FG′，FM′∥AC时，如图， ∵∠CAB＝60°，FM′∥AC， ∴∠FH′B＝∠CAB＝65°， ∵AB∥CD， ∴∠FH′B＝∠CFH′＝65°， ∵FH′平分∠CFG′， ∴∠CFG′＝130°， 由（2）可知旋转前∠CFG＝110°， ∴旋转角为130°﹣110°＝20°， ∴t＝20°÷5°/s＝4s； ②当FG旋转到FG′，FM′∥AE时，如图， 由（2）可知∠EAB＝70°， ∵FM′∥AE， ∴∠FH′B＝∠EAB＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠FH′B＝∠CFH′＝70°， ∵FH′平分∠CFG′， ∴∠CFG′＝140°， 由（2）可知旋转前∠CFG＝110°， ∴旋转角为140°﹣110°＝30°， ∴t＝30°÷5°/s＝6s； ③当FG旋转到FG′，FM′∥CE时，如图， ∵FM′∥CE， ∴∠CFH′＝∠ECD＝120°， ∵FH′平分∠CFG′， ∴∠H′FG′＝∠CFH′＝120°， ∴∠CFG′＝360°﹣2∠H′FG′＝120°， 由（2）可知旋转前∠CFG＝110°， ∴旋转角为360°﹣120°﹣110°＝130°， ∴t＝130°÷5°/s＝26s． 综上所述：t为4s或6s或26s． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、与角平分线相关的计算等知识，正确理解题意，画出符合题意的图形是解题的关键． 模型四 “骨折模型” 模型解读 1．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【解答】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 2．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 解答】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点评】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 3．（2023秋•郸城县期末）已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． （1）如图1，求∠EPF的度数； （2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点G作GM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB， ∴∠MPE＝∠AEP＝50°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠PFC＝∠MPF＝120°， ∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°； （2）如图2所示， ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴，， 过点G作GM∥AB， ∴∠MGE＝∠AEG＝25°， ∵AB∥CD， ∴GM∥CD， ∴∠GFC＝∠MGF＝60°， ∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 4．（2023春•蒙阴县期末）如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P． （1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 【分析】（1）过点P作PE∥l1，求出PE∥l2∥l1，根据平行线的性质得出∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，即可得出答案； （2）分为两种情况：①当点P在l2下方时，②当点P在l1上方时，根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：（1）如图，当P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下： 过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2∥l1， ∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD； （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合）， 则有两种情形：①如图， 当点P在l2下方时，有结论：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD． 理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠APE＝∠APB+∠BPE， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②如图， 当点P在l1上方时，有结论：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵∠BPE＝∠APE+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB， ∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似． 5．（2024春•抚远市期末）探索发现： （1）如图①，AB∥CD，当点E在AB与CD中间时，连接EB，ED．小明同学利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，直接写出∠ABE，∠BED，∠CDE之间的数量关系； 变式迁移： （2）如图②，AB∥CD，当点E与CD分别位于AB的两侧时，连接EB，ED．试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的数量关系，并说明理由； 尝试应用： （3）如图③，AB∥CD，当点F与CD分别位于AB的两侧，点E在AB与CD中间时，连接FB，FD，EB，ED．若DE平分∠CDF，BF⊥BE，∠ABE＝50°，∠BED＝80°，直接写出∠BFD的度数． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，先根据平行线的性质可得∠ABE＝∠BEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠CDE＝∠DEF，最后根据∠BED＝∠BEF+∠DEF即可得出结论； （2）过点E作EF∥AB，先根据平行线的性质可得∠ABE＝∠BEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠CDE＝∠DEF，最后根据∠BED＝∠DEF﹣∠BEF，即可得出结论； （3）先根据（1）的结论可得∠CDE＝30°，再根据角平分线的定义可得∠CDF＝60°，然后根据垂直的定义可得∠ABF＝40°，最后根据（2）的结论即可解答． 【解答】解：（1）∠BED＝∠ABE+∠CDE． 如图，过点E作EF∥AB， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CDE＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE； （2）∠BED＝∠CDE﹣∠ABE，理由如下： 如图，过点E作EF∥AB， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CDE＝∠DEF， ∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝∠CDE﹣∠ABE； （3）∵∠ABE＝50°，∠BED＝80°，∠BED＝∠ABE+∠CDE， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠ABE＝30°， ∵DE平分∠CDF， ∴∠CDF＝2∠CDE＝60°， ∵BF⊥BE，∠ABE＝50°， ∴∠ABF＝90°﹣∠ABE＝40°， 由（2）得∠BFD＝∠CDF﹣∠ABF＝20°． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加合适的辅助线是解题关键． 6．（2023秋•社旗县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　，∠C＝　 　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•雨花区期末）如图1，已知，AB∥CD，点F在CD上，射线FG交AB于点G，点E为射线FG上一点． （1）当点E在线段FG上时，若∠ABE＝36°，∠DCE＝30°，则∠CEB＝　 ； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时AB与CE交于点H，则∠CEB、∠ECD、∠EBA之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，BI平分∠ABE，交CE于点K，交CI于点Γ，且∠ECI：∠DCI＝1：2，∠CEB＝22°，∠I＝20°，求∠BKE的度数． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，即可得到∠DCE＝∠CEH，∠ABE＝∠BEH，然后进一步求解即可； （2）过点E作EP∥AB，则AB∥CD∥EP，即可得到∠DCE＝∠CEP，∠ABE＝∠BEP，然后进一步求解即可； （3）设∠ECI＝α，则∠DCE＝3α，∠DCI＝2α，则∠ABE＝3α﹣22°，∠ABI＝2α﹣20°，根据∠ABE＝∠IBE＝2∠ABI，列方程求出α的值，即可得出∠BKE的度数． 【解答】解：（1）过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠DCE＝∠CEH＝30°，∠ABE＝∠BEH＝36°， ∴∠CEB＝∠CEH+∠BEH＝30°+36°＝66°； （2）∠BEC＝∠DCE﹣∠ABE， 过点E作EP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP， ∴∠DCE＝∠CEP，∠ABE＝∠BEP， ∴∠BEC＝∠CEP﹣∠BEP＝∠DCE﹣∠ABE； （3）∵∠ECI：∠DCI＝1：2， 设∠ECI＝α，则∠DCE＝3α，∠DCI＝2α， ∵∠CEB＝22°，∠I＝20°， 由（2）可知，∠ABE＝3α﹣22°，∠ABI＝∠IBE＝2α﹣20°， ∵BI平分∠ABE， ∴∠ABE＝∠IBE＝2∠ABI， 即3α﹣22°＝2（2α﹣20°）， 解得：α＝18°， ∴∠ABI＝∠IBE＝2α﹣20°＝16°， 在△BKE中， ∠EKB＝180°﹣∠IBE﹣∠CEB＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练作出辅助线构造内错角是解题的关键． 8．（2024春•平南县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　 　度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【分析】（1）利用平行线和垂线性质求解． （2）作辅助线，利用平行线和三角形内角和定理求解． （3）作辅助线，利用平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°． 又∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB＝50°． 故答案为：50． （2）∠DAB+∠C＝90°，理由如下： 如图2，过点B作BG∥AM． ∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∴∠DAB＝∠ABG，∠C＝∠CBG． ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠ABG+∠CBG＝90°． ∴∠DAB+∠C＝90°． （3）如图3，作BG∥AM． 又∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴设∠DBE＝∠ABE＝x，∠AFB＝y， 则∠DBF＝∠FBC＝2x+y．∠ABD＝2x，∠GBF＝∠AFB＝y，∠BFC＝3∠DBE＝3x．∠DBF＝90﹣y ∴∠AFC＝3x+y． ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°． ∴∠FCB＝∠AFC＝3x+y． 在△BCF中，∠CBF+∠FCB+∠BFC＝180°． ∴90﹣y+3x+3x+y＝180°①． ∴x＝15°． ∵AB⊥BC． ∴∠EBC＝15°+90°＝105°． 【点评】本题考查平行线，角平分线以及三角形内角和定理，作辅助线理清角之间的关系是求解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第7章 平行线的证明》 专题 平行线中四大常考模型 模型一 “铅笔模型” 模型解读 1．（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 2．（2024春•道县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度 A．360 B．180 C．250 D．270 3．（2024春•福田区期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 4．（2024•茌平区一模）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β﹣γ＝90° 5．（2024•济宁一模）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 　 　． 6．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 7．（2024春•南充期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点M在两条平行线之间，∠AEM与∠CFM的平分线相交于点N，若∠EMF＝n°，则∠ENF＝ 度．（用含n的式子表示） 8．（2024春•望奎县期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　 　°． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 9．（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点． （1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°； （2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数； （3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）． 模型二 “猪蹄模型” 模型解读 1．（2024春•余姚市期中）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（2024•临颍县一模）如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 3．（2024春•新昌县期末）李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 4．（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 5．（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 6．如图，，平分，，，则 ． 7．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　． 8．（2023秋•驿城区校级期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边AB∥CD． 猜想与证明：（1）如图2，当点E在AB，CD之间时，请写出∠B，∠BED与∠D之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点E在AB的上方，且∠BED＝90°，过点B作直线FG交直线CD于点G，使∠ABE＝∠EBF，过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H，求证：GH平分∠BGJ． 9．（2024春•荆门期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝　 　（直接写出结果） 题型三 “鸡翅模型” 模型解读 1．（2024春•凉州区月考）如图，AB∥CD，E为AB上方一点，FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD．若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 2．（2024春•西城区校级期中）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 3．（2024春•沈北新区期中）①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•湛河区校级期末）已知，直线AB∥CD． （1）如图1，点E在AB、CD之间，求证：∠AEC＝∠A+∠C； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BAE的平分线交CE的延长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于点G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点E在直线AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分线交于点F，若∠E﹣∠F＝20°，请直接写出∠ECD﹣∠EAB的值． 5．（2024春•芜湖期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，则∠APD的度数为 　 　； （2）如图2，设∠A＝α，∠D＝β，猜想α，β，∠P之间的数量关系，并证明； （3）如图3，AP⊥PD，，AN交DP于点O，，求∠N的度数． 6．（2024春•宜春期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，AB∥CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM．证明：∠AMC＝∠BAM+∠MCD． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，AB∥CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN＝25°，∠ANF＝∠AEG，∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG．求∠MFC的度数． 7．（2024春•渝北区月考）已知，AE∥BD，∠A＝∠D． （1）如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为线段AB上一点，连接FG，∠CFG的平分线FM交线段AG于点H．如图2，若∠ECF＝120°，∠AFH＝20°，∠CFG＝110°，求∠E的度数； （3）如图3，连接AC，在（2）的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜50），已知∠CAB＝65°，请直接写出∠CFG的平分线FM与三角形ACE的边平行时t的值． 模型四 “骨折模型” 模型解读 1．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 2．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 3．（2023秋•郸城县期末）已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． （1）如图1，求∠EPF的度数； （2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 4．（2023春•蒙阴县期末）如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P． （1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 5．（2024春•抚远市期末）探索发现： （1）如图①，AB∥CD，当点E在AB与CD中间时，连接EB，ED．小明同学利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，直接写出∠ABE，∠BED，∠CDE之间的数量关系； 变式迁移： （2）如图②，AB∥CD，当点E与CD分别位于AB的两侧时，连接EB，ED．试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的数量关系，并说明理由； 尝试应用： （3）如图③，AB∥CD，当点F与CD分别位于AB的两侧，点E在AB与CD中间时，连接FB，FD，EB，ED．若DE平分∠CDF，BF⊥BE，∠ABE＝50°，∠BED＝80°，直接写出∠BFD的度数． 6．（2023秋•社旗县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　，∠C＝　 　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 7．（2023秋•雨花区期末）如图1，已知，AB∥CD，点F在CD上，射线FG交AB于点G，点E为射线FG上一点． （1）当点E在线段FG上时，若∠ABE＝36°，∠DCE＝30°，则∠CEB＝　 ； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时AB与CE交于点H，则∠CEB、∠ECD、∠EBA之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，BI平分∠ABE，交CE于点K，交CI于点Γ，且∠ECI：∠DCI＝1：2，∠CEB＝22°，∠I＝20°，求∠BKE的度数． 8．（2024春•平南县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　 　度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$