二项式定理限时训练-2025届高三数学二轮复习

二项式定理 一、单项选择题 1．(★)(2023·沈阳模拟)若(2＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a6x6，则a3的值为(　　) A．20 B．8 C．120 D．160 答案　D 解析　由二项式定理可得a3＝C23＝160. 2．(★)在(x＋1)5的展开式中，一次项的系数与常数项之和为(　　) A．33 B．34 C．35 D．36 答案　D 解析　因为(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k1k＝Cx5－k， 所以在(x＋1)5的展开式中，一次项的系数为2C＋C＝25， 常数项为C＋2C＝11， 所以一次项的系数与常数项之和为25＋11＝36. 3．(★)在n的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为(　　) A．20 B．10 C．－20 D．－10 答案　C 解析　由在n的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，可知C＝C， 则n＝2＋4＝6，所以6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝(－1)kCx6－2k， 当k＝3时得到展开式中的常数项为－C＝－20. 4．(★)(2023·温州模拟)若(1＋x)n的展开式中二项式系数最大的是C，则n不可能是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　A 解析　当n＝9时，C是最大的二项式系数，符合要求； 当n＝10时，C是最大的二项式系数，符合要求； 当n＝11时，C＝C是最大的二项式系数，符合要求； 当n＝8时，显然C<C，不符合要求． 5．(★★)(2023·福州模拟)若二项式n的展开式中存在常数项，则正整数n可以是(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　二项式n展开式的通项为Tk＋1＝C(3x2)n－kk＝3n－kCx2n－4k， 令2n－4k＝0，解得k＝，又因为0≤k≤n且k为整数，所以n为2的倍数， 所以n可以为6. 6．(★★)用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为(　　) A．99 000 B．99 002 C．99 004 D．99 005 答案　C 解析　9.985＝5＝105－C×104×0.02＋C×103×0.022－C×102×0.023＋C×101×0.024－0.025 ≈105－C×104×0.02＋C×103×0.022 ＝100 000－1 000＋4＝99 004. 二、多项选择题 7．(★)(2023·青岛模拟)在8的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．常数项是1 120 B．第四项和第六项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为256 D．各项的系数之和为256 答案　AC 解析　根据二项式定理可知，8的通项公式为Tk＋1＝C28－k(－1)kx8－2k， 对于A，常数项为C24(－1)4＝1 120，故A正确； 对于B，第四项的系数为C28－3(－1)3＝－1 792，第六项的系数为C28－5(－1)5＝－448，故B错误； 对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确； 对于D，令x＝1，得各项的系数之和为1，故D错误． 8．(★)(2023·保山模拟)已知二项式n的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有(　　) A．展开式共有7项 B．所有二项式系数之和为128 C．二项式系数最大的项是第4项 D．展开式的有理项共有4项 答案　BD 解析　因为二项式n的展开式中各项系数之和是128，所以令x＝1，可得n＝7，因为n＝7，所以展开式共有8项，故A不正确； 因为n＝7，所以所有二项式系数之和为27＝128，故B正确； 因为n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，故C不正确； 二项式7的展开式通项为Tk＋1＝C·(－1)k37－k·，k＝0,1,2，…，7，当k＝1,3,5,7时，对应的是有理数，即对应项为有理项，故D正确． 9．(★★)(2023·宁德质检)若(x－1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a6(x＋1)6，则(　　) A．a0＝64 B．a0＋a2＋a4＋a6＝365 C．a5＝12 D．a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝－6 答案　ABD 解析　令x＝－1，则(－1－1)6＝a0，即a0＝64，故A正确； 令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(0－1)6＝1， 令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－2－1)6＝729， 则a0＋a2＋a4＋a6＝＝365，故B正确； (x－1)6＝[(x＋1)－2]6，则Tk＋1＝C(x＋1)6－k(－2)k，令k＝1，则a5＝C(－2)1＝－12，故C错误； 对(x－1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a6(x＋1)6两边求导， 得6(x－1)5＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋6a6(x＋1)5， 令x＝0，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝6×(0－1)5＝－6，故D正确． 三、填空题 10．(★)(2024·武汉调研)(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2项的系数为__________． 答案　－48 解析　(2x＋1)6的通项公式为Tk＋1＝C×(2x)6－k×1k＝26－k×C×x6－k， 所以(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2的项为－C·(2x)2＋C(2x)·x＝(12－60)x2＝－48x2， 所以(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2项的系数为－48. 11．(★★)(2023·长沙雅礼中学模拟)若n的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为________． 答案　1 解析　由题知，Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kC， 因为第4项为常数项，所以当k＝3时，－3＝0，所以n＝18， 则718＝(9－2)18＝C918－C917×2＋C916×22－…－C9×217＋C218 ＝9×(C917－C916×2＋C915×22－…－C217)＋C218， 而218＝86＝(9－1)6＝C96－C95＋C94－C93＋C92－C9＋C ＝9(C95－C94＋C93－C92＋C9－C)＋C， 1除以9的余数为1，所以7n除以9的余数为1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二项式定理 一、单项选择题 1．(★)(2023·沈阳模拟)若(2＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a6x6，则a3的值为(　　) A．20 B．8 C．120 D．160 2．(★)在(x＋1)5的展开式中，一次项的系数与常数项之和为(　　) A．33 B．34 C．35 D．36 3．(★)在n的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为(　　) A．20 B．10 C．－20 D．－10 4．(★)(2023·温州模拟)若(1＋x)n的展开式中二项式系数最大的是C，则n不可能是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 5．(★★)(2023·福州模拟)若二项式n的展开式中存在常数项，则正整数n可以是(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 6．(★★)用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为(　　) A．99 000 B．99 002 C．99 004 D．99 005 二、多项选择题 7．(★)(2023·青岛模拟)在8的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．常数项是1 120 B．第四项和第六项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为256 D．各项的系数之和为256 8．(★)(2023·保山模拟)已知二项式n的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有(　　) A．展开式共有7项 B．所有二项式系数之和为128 C．二项式系数最大的项是第4项 D．展开式的有理项共有4项 9．(★★)(2023·宁德质检)若(x－1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a6(x＋1)6，则(　　) A．a0＝64 B．a0＋a2＋a4＋a6＝365 C．a5＝12 D．a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝－6 三、填空题 10．(★)(2024·武汉调研)(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2项的系数为__________． 答案　－48 解析　(2x＋1)6的通项公式为Tk＋1＝C×(2x)6－k×1k＝26－k×C×x6－k， 所以(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2的项为－C·(2x)2＋C(2x)·x＝(12－60)x2＝－48x2， 所以(x－1)(2x＋1)6的展开式中含x2项的系数为－48. 11．(★★)(2023·长沙雅礼中学模拟)若n的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为________． 答案　1 解析　由题知，Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kC， 因为第4项为常数项，所以当k＝3时，－3＝0，所以n＝18， 则718＝(9－2)18＝C918－C917×2＋C916×22－…－C9×217＋C218 ＝9×(C917－C916×2＋C915×22－…－C217)＋C218， 而218＝86＝(9－1)6＝C96－C95＋C94－C93＋C92－C9＋C ＝9(C95－C94＋C93－C92＋C9－C)＋C， 1除以9的余数为1，所以7n除以9的余数为1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$