专题10直角坐标系中点的坐标规律与几何问题的九种题型（九种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题10直角坐标系中点的坐标规律与几何问题的九种题型（九种技巧精讲精练+过关检测） 题型01点的坐标规律探究题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，长方形如图所示，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿的路径循环爬行，则第50秒蚂蚁所在点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，规律型：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．根据点的坐标可得的长，从而求出长方形的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要16秒，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要16秒， ， 第50秒瓢虫爬行到点右方两个单位的位置， 第50秒瓢虫在处， 故选：D． 【例1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是明确题意，发现坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．根据题意知：点坐标的变化规律是每操作4次，点回到原来的位置，从而可以确定点的坐标． 【详解】解：由题意知：， 第一次操作后，， 第二次操作后，， 第三次操作后，， 第四次操作后，， 第五次操作后，， 由此可得，每4次一个循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【例1-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． (1)如果三个顶点的坐标分别是关于轴的对称图形为关于直线的对称图形为，写出三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】本题主要考查“轴对称”与坐标的相关知识，熟练掌握轴对称的性质和坐标与图形变化的性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出的三个顶点的坐标； （2）P与关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出的坐标，再由直线l的方程为直线，利用对称的性质求出的坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：三个顶点的坐标分别是， 且与关于轴对称， 三个顶点的坐标分别是， 直线过点，且平行于轴， 直线的方程为直线， 且与关于直线对称， 三个顶点的坐标为． （2）解：点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标是， 点关于直线的对称点的坐标是， ． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，正方形的顶点，的坐标分别为，，若正方形第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，则第次翻折后点对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的翻折，正方形的性质等知识点，由A，B的坐标分别为，，四边形是正方形，可得，经过第1次翻折后点C对应点的坐标为，第2次翻折后点C对应点的坐标为，第3次翻折后点C对应点的坐标为，第4次翻折后点C对应点的坐标为，根据规律即可得经过第2024次翻折后点C对应点的坐标，熟练掌握翻折的规律是解决此题的关键． 【详解】∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴第1次翻折后点C对应点的坐标为， 第2次翻折后点C对应点的坐标为， 第3次翻折后点C对应点的坐标为， 第4次翻折后点C对应点的坐标为， ， 故4次一循环, ∵， ∴经过第2024次翻折后点C对应点的坐标为， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，对配进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是 ． 经过第1次变换后得到A 坐标是， 则经过第2024次变换后所得的点坐标是 ． ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限， 点A第二次关于y轴对称后在第三象限， 点A第三次关于x轴对称后在第二象限， 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2024次变换后所得的A点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为， 故答案为． 【变式1-3】（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点C的坐标为 (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出点B的对应点的坐标：______； (2)观察图中对应点的坐标，关于x轴对称的两个点的坐标之间有何关系，请你写出这个关系：______； (3)如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等（点C和点D不重合），那么点D的坐标是______． 【答案】(1) (2)横坐标相等，纵坐标互为相反数 (3)或或 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （3）结合全等三角形的性质确定点D的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为； 故答案为：． （2）解：关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系为：横坐标相等，纵坐标互为相反数． 故答案为：横坐标相等，纵坐标互为相反数． （3）解：如图，点，，均满足题意， 点D的坐标是或或． 故答案为：或或． 题型02用直接法求图形的面积 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出点，连接，根据三角形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示， ∵点关于轴的对称点是， ∴点， 连接，，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2-2】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ． 【答案】4 【分析】根据得轴，轴，继而得到直角三角形，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键． 【详解】∵ ∴轴，轴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：4． 【例2-3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请直接写出点A、B的坐标； (2)请画出关于y轴的对称图形； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)8 【分析】本题考查了网格作图——关于y轴对称，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点． （1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置即可求出答案； （2）点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，即可画出图形； （3）由网格可知，的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为； （2）如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接， 就是所求作的图形， （3）由图可知，． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点C的坐标是，得到，根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：点C的坐标是，四边形是长方形， ， 长方形的面积是， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于轴对称． (1)画出，并写出点的坐标； (2)求的面积 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了轴对称图形的画法、点的坐标以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于轴对称点的性质得出对应点位置画出图形，即可得到点坐标； （2）运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）正确画出三角形如图所示；             （2） 【变式2-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，把经过平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，点的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的平移，平移作图，求网格中三角形的面积， 对于（1），将点向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点，可知点A，B，C的平移方式与其相同，即可得出点D，E，F，然后依次连接可得答案； 对于（2），根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案． 【详解】（1）∵对应的点为， ∴点向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， ∴点A，B，C的平移方式与其相同， ∴如图所示： （2）． 题型03用补形法求图形的面积 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果． 【详解】过点作轴，垂足为， 轴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的关键． 【例3-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 【例3-3】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2)22 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标； （2）由图可知，代入相关数据即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 点的坐标为； （2）由题意得： ． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积是______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，然后用补形法求出三角形的面积即可． 【详解】解：因为，，，建立平面直角坐标系如下图所示：    所以的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用割补法求三角形的面积以及平面直角坐标系，正确掌握割补法求面积是解题的关键． 【变式3-2】（20-21七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键． （1）观察图象可得出点的坐标． （2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图象可得，点的坐标分别为，，，． （2）解：如图：连接，过点作垂直于的延长线于点． 阴影部分的面积为： ． ∴图中阴影部分的面积为． 【变式3-3】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积． 【答案】． 【分析】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，根据S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF结合三角形面积公式解题． 【详解】解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图， 则E（5，3）， A（3，0），B（5，2），C（2，3）, 所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF =5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，会运用面积的和差计算不规则图形的面积． 题型04用分割法求图形的面积 【典例分析】 【例4-1】（21-22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ，， 则 故选A 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 【例4-2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 【例4-3】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质．过点作轴于点，作轴于点，连接，分别求出和的面积即可得出四边形的面积． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点，连接， 点坐标为， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， ． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）． A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值． 【详解】解：作轴于点P， ∵、、、， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ①当即时， 即，解得：， ∴； ②当即时， 即，解得：， ∴； 综上可知． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键． 【变式4-2】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2，8)、(-11，6)、(-14，0)、(0，0)，求这个四边形的面积 【答案】80 【分析】过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F，将四边形面积分成两个三角形面积和一个梯形面积去求． 【详解】如图，过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F， 把这个四边形分成了两个三角形和一个梯形， 各个点的坐标分别是：，，，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中四边形面积的求解，解题的关键是利用点坐标结合割补法，求规则图形的面积再加起来得到整个面积． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图中的四边形，请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标，并计算它的面积．    【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及面积计算，取点为坐标原点，使在 轴上，建立平面直角坐标系，连接，则四边形 的面积为， 和的面积之和，最后代入求解即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：取点为坐标原点，使在 轴上，建立平面直角坐标系如图，    则可得，，，的坐标分别为，，，， 连接，则四边形 的面积为， 和的面积之和， 即 题型05坐标系与全等 【典例分析】 【例5-1】．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，先得到，再由全等三角形的性质得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例5-2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【例5-3】（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知，点B为第一象限内的一点，点D在的角平分线上，且横坐标为2，过点D作，交于点，连接，，，回答下列问题： (1)证明：点D在线段的垂直平分线上． (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）过点作轴于点，则，利用点的坐标的特征和线段的垂直平分线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，利用角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，可求，则． 【详解】（1）证明：过点作轴于点，则，如图， ， ， 点在线段的垂直平分线上． （2）解：如上图，连接，过点作，交的延长线于点， 点在的角平分线上，，， ， 点在线段的垂直平分线上， ． 在和中， ， ∴， ． 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，点的坐标的特征，线段的垂直平分线的性质与判定，角的平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质与判定，角的平分线的性质定理是解题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，易证，结合A的坐标为，即得出，，从而可知． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵A的坐标为， ∴，， ∴． 故选B． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块含的等腰直角三角板的直角顶点放在点处，直角两边分别于轴和轴相交于点和点，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，解题的关键是证明，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作轴于M，轴于N，求出，证明，推出，即可求解． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵ ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 则， ∴． 故答案为：8 【变式5-3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为3 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，图形与坐标等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）过点C作轴，交于点H，证明，得出，即可求解． （2）过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴，可知四边形是长方形，得出，证明，得出，即可求出点坐标，再根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴， 则， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 由垂线段最短可知，，即最小值为3． 题型06坐标系与垂直平分线 【典例分析】 【例6-1】（2022八年级上·上海·专题练习）已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设C点的坐标为，根据两点间距离公式含y的式子表示出，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝AC，列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设C点的坐标为， 由勾股定理得：，， ∵点C在线段AB的垂直平分线上， ∴BC＝AC， ∴， 解得：y＝－2， ∴C点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、两点间距离公式，根据线段垂直平分线的性质得出BC＝AC是解题的关键． 【例6-2】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，， (1)点关于轴对称点的坐标为______；点关于轴对称点的坐标为______；线段的垂直平分线与轴的交点的坐标为______； (2)求以（1）中的，，为顶点的的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的坐标以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置； （2）利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 故，； 故答案为：，； （2）的面积为：． 【例6-3】（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为一边在第一象限作等边．点为轴的正半轴上一动点，连接．以为边在第一象限内作等边．直线交轴于点． (1)当点坐标为时，求证：直线是边的垂直平分线； (2)随着点的移动，的长是否会发生变化？若没有变化，求的长；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)随着点的移动．的长不会发生变化， 【分析】（1）先证明，，结合，从而可得结论； （2）先证明，可得．证明在中．．可得，从而可得结论． 【详解】（1）证朋：点坐标为点坐标为， ． 是等边角形， ， ． 又是等边三角形， ， 点都在的垂直平分线上， 直线是边的垂直平分线． （2）随着点的移动．的长不会发生变化， 是等边三角形． ． ． 即，而， ， ． 是等边三角形， ． ． 在中．． ， ， ． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得，，再由坐标证明，得到，然后设，表示出与的度数，最后求解即可． 【详解】如图： 过作于， ∵， ∴， ∴横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的垂直平分线与线段交于点，， ∵线段的垂直平分线与线段交于点P， ∴点P与点是同一个点， ∵线段的垂直平分线与线段交于点Q， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上的一点，且，B为x轴正半轴上的一点，． (1)求点的坐标； (2)直线是线段的垂直平分线，在直线t上是否存在一点M，使以三点为顶点的为等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （2）求得直线为，，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得，负值舍去， ∴ （2）解：存在， 由题意可得：直线为，即的横坐标为， ，即， 设， 当时，可得 解得，即； 当时， 解得，即； 当时，可得 解得，即或， 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，学会利用分类讨论的思想求解问题． 【变式6-3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，已知点的坐标为，且． (1)求的长度； (2)如图2，以为一边作等边三角形，过点作，交的垂直平分线于点，交轴于点，连接．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于．求证：为的中点． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形直接求出； （2）先判断出是等边三角形，再用是等边三角形，得出，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，进而求出，即可判断出，进而利用勾股定理求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：点B的坐标为， ， 在中，， ； （2）如图（2）， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （3）在图（2）中， 是等边三角形，是的垂直平分线， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， 如图（3），过点D作交于N， 在中，， ， ， 解得：（负数舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ∴点F是的中点． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解本题的关键． 题型07坐标系与等腰三角形 【典例分析】 【例7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．分为、，三种情况画图判断即可． 【详解】解：如图所示： 当时，符合条件的点有,3个； 当时，符合条件的点有，3个； 当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有，1个． 故符合条件的点C共有7个． 故选：C． 【例7-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，且点坐标为，是轴上的一点，若以，，三点组成的三角形为等腰三角形，求点的坐标 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意分当时，当时，当时三种情况分析即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 当，时， ∴，， 当时，； 当时，， 综上可知：以，，三点组成的三角形为等腰三角形，点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【例7-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；在平面直角坐标系中，画出与关于y轴对称的； (2)已知P为x轴上一点，若为等腰三角形，则点P有______个． 【答案】(1)，作图见解析 (2)4 【分析】本题考查了坐标与轴对称，画轴对称图形，等腰三角形的性质； （1）根据轴对称的性质找到关于轴的对称点，写出点的坐标，顺次连接，即可求解． （2）分分别为等腰三角形的顶点时，画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：，如图所示，即为所求， （2）解：如图所示， 当时，轴上有1个， 当时，轴上有2个， 当时，轴上有1个， 共有4个， 故答案为：． 【变式演练】 【变式7-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了长方形的性质，等腰三角形定义和性质，勾股定理的运用，根据题意可得，当是腰长为的等腰三角形时进行分类：当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；由点的位置可得，不存在；由此即可求解． 【详解】解：已知、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴，， 如图所示， 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形， 在中，， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 由点的位置可得，不存在； ∴当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为或或， 故答案为：或或 ． 【变式7-3】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【答案】(1)； (2)存在，或或； (3)，证明见解析． 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1） 解：如图：过点作轴于． ， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3），证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 题型08坐标系与折叠 【典例分析】 【例8-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【例8-2】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴轴，轴，， ∴轴，， ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【例8-3】（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    【答案】D点坐标为 【分析】本题考查的是翻折变换、勾股定理，根据折叠的性质可以得到，然后根据题目中的数据，即可得到，最后根据勾股定理即可求得及的长，即可得出结论． 【详解】解：（按步骤酌情赋分） ∵， ∴， ∵C点坐标为， ∴，由勾股定理得，． 在直角三角形ABC中， 设，由折叠可知，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴D点坐标为． 【变式演练】 【变式8-1】（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，再求出AB=5，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴OA=3，OB=4， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设与交于点F，作于点E，根据证明，那么，设，利用勾股定理可得，，利用面积可得，利用勾股定理可得，进而可求出点的坐标． 【详解】解：设与交于点F，作于点E ∵纸片沿折叠 ∴ ∵ ∴ ∴， 设 ∴ ∴， 解得 ∴，， ∵ ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键． 【变式8-3】（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）综合与探究 如图，在中，，，，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求点和点的坐标． (2)如图2，当点在边上，沿线段所在直线折叠，使得点恰好落在边上的点处，请求出点的坐标． (3)若点是轴上一动点，是否存在等腰，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)   (2) (3)或或或 【分析】（1）过点作轴的垂线，交轴于点，根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可求得的长度，根据勾股定理可得，求解即可得到答案． （2）设，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理可得，求解即可得到答案． （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点．    根据题意可知点的坐标为． 在中 ． ∵，， ∴． 在中 ． 所以点的坐标为． （2）设． 根据图形折叠的性质可知，，， 则，． 在中 ， 即 ． 解得 ． 所以，点的坐标为． （3）根据题意可知． ①当时，如图所示． 点的坐标为或．    ②当时，过点作轴的垂线，交轴于点，如图所示．    ∵为等腰三角形， ∴． ∴． ∴点的坐标为． ③当时，过点作轴的垂线，交轴于点，如图所示．    设，则． 在中 ， 即 ． 解得 ． 所以，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理、图形的折叠，牢记勾股定理的定义和图形折叠的性质是解题的关键． 题型09坐标系与旋转 【典例分析】 【例9-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，，进而得出点的坐标变化规律，得出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点， 由题意可得出：，，， 则， ∵将线段按逆时针方向旋转， ∴每个点循环一圈， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在第象限， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形－坐标的变化规律，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，读懂题意，得出坐标的变化规律是解本题的关键． 【例9-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为将线段按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，…，（n为正整数），则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】首先根据题意，可得，，，，，……，，发现规律，可得，再根据每旋转8次为一个循环组，即可求出点的坐标． 【详解】解：由题意，可得， ， ， ， ， ……， ， ∴， ∵每一次都旋转，， ∴每旋转8次为一个循环组， ， ∴点是第253组的第7次变换对应的点，在x轴的正半轴上， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，规律型−点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质找出规律． 【例9-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． (1)求点的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【答案】(1) (2)不发生变化，10 【分析】（1）根据第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求解即可； （2）过点作轴于，于，，由角平分线的性质可得，由得到，证明得到，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：点在第一象限的角平分线上， ， ， ； （2）解：过点作轴于，于，   ， 则， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、坐标与图形，熟练掌握第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． 【变式演练】 【变式9-1】（21-22八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，AOB是等边三角形，点的坐标为(2，0)，将AOB绕原点逆时针旋转，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作D⊥y轴于D，根据等边三角形的三线合一的性质求出OD=1，利用勾股定理求出D即可得到点的坐标． 【详解】解：由旋转可得△O≌△ABO， 过点作D⊥y轴于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴OD=D==1， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，直角坐标系中点的坐标的表示，正确掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化：利用旋转的性质得，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【变式9-3】（22-23八年级上·吉林长春·）如图、在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a，b满足，点P从点O出发，沿的路径以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒． (1)图中线段的值为__________． (2)是否存在t，使得为等腰三角形，若存在，请求出所有t的值，若不存在，请说明理由． (3)线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连结，若该平面直角坐标系内的直线上存在一点Q，使得与的面积相等，则点Q的坐标为__________． 【答案】(1)5 (2)存在，的值为或3或 (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形，图形的旋转，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论思想和数形结合思想是解决本题的关键 （1）根据非负数的性质求出的值，进而利用勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的判定与性质分三种情况讨论求解即可； （3）设，分，和三种情况，结合三角形面积的求法解答即可 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴ 故答案为：5； （2）解：存在，为等腰三角形，共有三种情况： ①当时，取的中点C，过点C作轴，交于点P，如图， 则 ∴ ∴ ∴ ∴, ∴； ②当时，； ③当时，过点O作于点D，则，如图， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或3或； （3）解：当时，， 所以，直线经过点， 由旋转得，是等腰直角三角形，且 ∴； 设， ①当时，如图，分别过点B，Q作于点F，交轴于点E， 则 又 ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，此种情况不存在； ③当时，如图，过点Q作轴于点G，则 ∵ ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或， 故答案为：或 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质及坐标与图形，根据全等三角形的性质得出，确定，结合图象求解即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律，列举几次滚动后点的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，据此即可求解，找到滚动次数与点坐标之间的规律是解题的关键． 【详解】解：滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， ， 每滚动次为个循环 ， ∴，，，， ∵， ∴，即， 故选：． 二、填空题 5．（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，图形的折叠问题．先过D作于G，设，则，根据在中，根据勾股定理可得关于x的方程，进而得到，再根据面积法得到，根据勾股定理得到中，可得，即可得到D的坐标． 【详解】解：如图，过D作于G， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， ∵， 在中，， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质与含度角的直角三角形的性质，分别求得前几个点的坐标，找到规律，即可求解． 【详解】解：，，…都是等边三角形，， ∵，， ， ， ，则的纵坐标为， ， ，则的纵坐标为， 同理可得，则的纵坐标为， …… ∴的纵坐标是 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积为36 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可； （2）过点P作轴于点C，轴于点D，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）证明四边形为矩形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 8．（24-25八年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． (2)在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． (3)在（1）问条件下，求的面积． 【答案】(1)画图见解答； (2) (3)6 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意可得，求出的值，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：∵点，直线轴， ， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：的面积为． 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点，点，且a、b满足． (1)填空：_______； (2)如图1，作等腰，，，求C点坐标； (3)如图2，点在x轴负半轴上，分别以、为腰，点B为直角顶点，在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于点F，求点F的坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的非负性，平方的非负性解答； （2）过点C作轴于点K，则，证明，可得，即可求解； （3）在y轴上取点G，使，连结，证明，可得，再证明，可得，然后根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5 （2）解：如图，过点C作轴于点K，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）得：点，点， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图，在y轴上取点G，使，连结， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标为． 【点睛】此题考查绝对值的非负性，平方的非负性，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角坐标系中点坐标，这是全等三角形的一道综合题，较基础，解题中多次证明三角形全等，辅助线的引出是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理等知识，正确作出辅助构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点E，轴于点F，证明，得到，继而得，根据得，可得点C的坐标；②过点O作，连接，根据角平分线的性质易得，由，得，同理可得，设，则,继而得解； （2）过点I作于点M，于点N，于点K，连接得，，证明，，同理可得，求出，在线段上截取，使得，证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，轴于点F， ∵， 轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作，连接 , 平分， 又的平分线交射线于点P， , 又在和中 同理可证： 设，则 , , ， 又 ， ， 即, （2）解：如下图中，过点I作于点M，于点N，于点K，连接 ∵I是的三个内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∵I是三个内角平分线的交点， , ∴， ∴， 在线段上截取，使得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10直角坐标系中点的坐标规律与几何问题的九种题型（九种技巧精讲精练+过关检测） 题型01点的坐标规律探究题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，长方形如图所示，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿的路径循环爬行，则第50秒蚂蚁所在点的坐标为（） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为 ． 【例1-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． (1)如果三个顶点的坐标分别是关于轴的对称图形为关于直线的对称图形为，写出三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，正方形的顶点，的坐标分别为，，若正方形第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，第次沿轴翻折，则第次翻折后点对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【变式1-2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，对配进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是 ． 经过第1次变换后得到A 坐标是， 则经过第2024次变换后所得的点坐标是 ． ． 【变式1-3】（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点C的坐标为 (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出点B的对应点的坐标：______； (2)观察图中对应点的坐标，关于x轴对称的两个点的坐标之间有何关系，请你写出这个关系：______； (3)如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等（点C和点D不重合），那么点D的坐标是______． 题型02用直接法求图形的面积 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ． 【例2-3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请直接写出点A、B的坐标； (2)请画出关于y轴的对称图形； (3)求的面积． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    【变式2-2】（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于轴对称． (1)画出，并写出点的坐标； (2)求的面积 【变式2-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，把经过平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，点的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 题型03用补形法求图形的面积 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 【例3-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【例3-3】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积是______． 【变式3-2】（20-21七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点的坐标分别为，，． (1)请写出点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式3-3】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积． 题型04用分割法求图形的面积 【典例分析】 【例4-1】（21-22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【例4-2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【例4-3】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）． A． B． C． D．或 【变式4-2】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2，8)、(-11，6)、(-14，0)、(0，0)，求这个四边形的面积 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图中的四边形，请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标，并计算它的面积．    题型05坐标系与全等 【典例分析】 【例5-1】．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【例5-3】（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知，点B为第一象限内的一点，点D在的角平分线上，且横坐标为2，过点D作，交于点，连接，，，回答下列问题： (1)证明：点D在线段的垂直平分线上． (2)求的长度． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块含的等腰直角三角板的直角顶点放在点处，直角两边分别于轴和轴相交于点和点，则的值为 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 题型06坐标系与垂直平分线 【典例分析】 【例6-1】（2022八年级上·上海·专题练习）已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 ． 【例6-2】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，， (1)点关于轴对称点的坐标为______；点关于轴对称点的坐标为______；线段的垂直平分线与轴的交点的坐标为______； (2)求以（1）中的，，为顶点的的面积． 【例6-3】（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为一边在第一象限作等边．点为轴的正半轴上一动点，连接．以为边在第一象限内作等边．直线交轴于点． (1)当点坐标为时，求证：直线是边的垂直平分线； (2)随着点的移动，的长是否会发生变化？若没有变化，求的长；若有变化，请说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 【变式6-2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上的一点，且，B为x轴正半轴上的一点，． (1)求点的坐标； (2)直线是线段的垂直平分线，在直线t上是否存在一点M，使以三点为顶点的为等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，已知点的坐标为，且． (1)求的长度； (2)如图2，以为一边作等边三角形，过点作，交的垂直平分线于点，交轴于点，连接．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于．求证：为的中点． 题型07坐标系与等腰三角形 【典例分析】 【例7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例7-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，且点坐标为，是轴上的一点，若以，，三点组成的三角形为等腰三角形，求点的坐标 ． 【例7-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；在平面直角坐标系中，画出与关于y轴对称的； (2)已知P为x轴上一点，若为等腰三角形，则点P有______个． 【变式演练】 【变式7-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【变式7-3】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 题型08坐标系与折叠 【典例分析】 【例8-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【例8-3】（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    【变式演练】 【变式8-1】（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ． 【变式8-3】（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）综合与探究 如图，在中，，，，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求点和点的坐标． (2)如图2，当点在边上，沿线段所在直线折叠，使得点恰好落在边上的点处，请求出点的坐标． (3)若点是轴上一动点，是否存在等腰，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型09坐标系与旋转 【典例分析】 【例9-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为将线段按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，…，（n为正整数），则点的坐标为 ．    【例9-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． (1)求点的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【变式演练】 【变式9-1】（21-22八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，AOB是等边三角形，点的坐标为(2，0)，将AOB绕原点逆时针旋转，则点的坐标为 ． 【变式9-2】如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【变式9-3】（22-23八年级上·吉林长春·）如图、在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a，b满足，点P从点O出发，沿的路径以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒． (1)图中线段的值为__________． (2)是否存在t，使得为等腰三角形，若存在，请求出所有t的值，若不存在，请说明理由． (3)线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连结，若该平面直角坐标系内的直线上存在一点Q，使得与的面积相等，则点Q的坐标为__________． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 8．（24-25八年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． (2)在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． (3)在（1）问条件下，求的面积． 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点，点，且a、b满足． (1)填空：_______； (2)如图1，作等腰，，，求C点坐标； (3)如图2，点在x轴负半轴上，分别以、为腰，点B为直角顶点，在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于点F，求点F的坐标（用含m的式子表示）． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$