北京理工大学附属中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

第1页/共13页 2024北京理工大附中高一 12月月考 数 学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合  *N 4A x x=   ，  2 3B x x= −   ，则 A B =（ ） A． 1, 2 B． 0,1, 2 C． 0,1, 2,3 D． ( )2,3− 2．已知命题 : 0,p x  2 0x  ，则 p 为（ ） A． 0 0,x  2 0 0x  B． 0,x 2 0x  C． 0 0,x  2 0 0x  D． 0,x  2 0x  3．已知 3log 0.3a = ， 5log 7b = ， 0.20.3c = ，则（ ） A．a b c  B．a c b  C． c a b  D．b c a  4．下列函数中，是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（ ） A． 1y x−= B． 1 2y x= C． 3y x= D． 1 2 logy x= 5．方程 2 ln 5 0x x+ − = 的解所在区间为（ ） A． ( )4,5 B． ( )3,4 C． ( )2,3 D． ( )1,2 6．若 0a b  ，则下列不等式中一定成立的是 A． 1 1 a b  B． 2 2a b C． ln( ) 0b a−  D． 2 2ac bc 7．函数 2 ln x y x = 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ( ) ( )2, 0, m f x x x x = + −  + 有两个零点，则实数m的取值范围是（ ） A． ( , 0− B． ( ,1− C． )1,− + D． ( )0,1 9．已知函数 ( )f x 是定义在R 上的偶函数，在区间 )0,+ 上单调递增，且 ( )1 0f = .则不等式 ( )2log 0f x  的解集为（ ） A． ( ) 1 , 2, 2   − +    B． ( ) 1 ,1 1,2 2       C． ( ) 1 ,1 2, 2       + D． ( ) 1 0, 2, 2    +    第2页/共13页 10．已知 k R ，则“对任意 ,a bR ， ( ) 2 a b kab+  ”是“ 4k  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用 85℃的水泡 制，再等到茶水温度降至 55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔 1min 测一次茶水 温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度 y℃与放置时间 minx 的关系，现有以下两种函数模型供选择： ① ( )25 R,0 1, 0xy ka k a x= +     ，② ( ), R, 0y kx b k b x= +   ． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ） （参考数据： lg 2 0.301 ， lg 3 0.477 ） A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min 12．我们把定义域为 )0, + 且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x 称为“函数”：①对任意的  )0,x + ， 总有 ( ) 0f x  ；②若 0x  ， 0y  ，则有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+  + 成立，给出下列四个结论：（1）若 ( )f x 为 “函数”，则 ( )0 0f = ；（2）若 ( )f x 为“函数”，则 ( )f x 在 )0, + 上为增函数；（3）函数 ( ) 0, 1, x Q g x x Q  =   在 )0, + 上是“函数”（Q 为有理数集）；（4）函数 ( ) 2g x x x= + 在 )0, + 上是“函 数”；其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．已知函数 ( ) 2 1 log 4 x f x x   = +    ，则 1 2 f   =    ． 14．函数 ( ) ( )3log 1 5 x f x x − = − 的定义域是 . 15．已知 0a  ， 0b  ， 1 1 4 a b + = ，则 a b+ 的最小值为 . 16．设函数𝑓(𝑥) = { e 𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 𝑎 −𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 6), 𝑥 < 𝑎 ，则当 3a = − 时， ( )f x 的最小值为 ；若 ( )f x 恰有两个零 点，则实数 a所在的区间是 . 17．几位同学在研究函数 ( ) ( ) 1 | | x f x x x =  + R 时给出了下面几个结论： ①函数 ( )f x 的值域为 ( 1,1)− ； ②存在 1 2x x ，使得 1 2( ) ( )f x f x= ； 第3页/共13页 ③ ( )f x 在 (0, )+ 是增函数； ④若规定 1( ) ( )f x f x= ，且对任意正整数 n都有： 1( ) ( ( ))n nf x f f x+ = ，则 ( ) 1 | | n x f x n x = + 对任意 *nN 恒成 立. 上述结论中正确结论的序号为 . 三、解答题 18．设全集U = R ，集合  |1 5=  A x x ，非空集合  | 2 1 2B x a x a= −   + ， aR . (1)若 3a = ，求 ( )U A B ；(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求a的取值范围. 19．设函数 2 1 ( ) 2 1 x x f x + = − (1)直接写出函数 ( )f x 的值域；(2)若 ( ) 2f a = ，求实数 a的值; (3)若 ( )f x m 对于  )1,x  + 恒成立，求实数 m的最小值. 20．已知________,且函数 ( ) 2 x b g x x a + = + . ①函数 ( ) ( )2 1 4f x x a x= + − + 在定义域为 1, 1b b− + 上为偶函数; ②函数 ( ) ( )0f x ax b a= +  在区间 1,2 上的值域为 1,2 . 在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出 ,a b的值,并解答本题. (1)判断 ( )g x 的奇偶性,并证明你的结论; (2)设 ( ) 2h x x c= − − ,对任意的 1 Rx  ,总存在  2 2,2x  − ,使得 ( ) ( )1 2g x h x= 成立,求实数c的取值范围. 21．设函数 ( )f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取 1 2,x x D ，都有 ( ) ( )1 2 1 2f x f x K x x−  − ，则 称 ( )f x 是 L 型函数，K 是这个 L 型函数的 L 常数 (1)判断函数 ( ) 2f x x= ，  1,2x − 是不是 L 型函数，并说明理由：如果是，给出一个 L 常数； (2)设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是定义在区间 ,m n 上的 L 型函数，a是一个常数，求证：函数 ( )y f x a= + 也是 L 型函 数； (3)设函数 ( )f x 是定义在 0,1 上的 L 型函数，其 L 常数 ( 0,1K  ，且 ( )f x 的值域也是 0,1 ，求 ( )f x 的解 析式 第4页/共13页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A C B B D D A 题号 11 12 答案 B B 1．A 【分析】利用自然数集的定义化简集合A ，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为    *N 4 1,2,3A x x=   =∣ ，又 { 2 3}B x x= −   ， 所以  1,2A B = . 故选：A. 2．B 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求出． 【详解】 p ： 0,x 2 0x  ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查写出特称命题的否定，属于基础题． 3．B 【分析】根据 , ,a b c与0,1的大小关系比较即可 【详解】依题意得， 3 3log 0.3 log 1 0a =  = ， 5 5log 7 log 5 1b =  = ， 0.2 00.3 0.3 1c =  = ，所以0 1c  ， 故a c b  ， 故选：B. 4．A 【分析】对各个选项逐一判断即可. 【详解】对于 A， 1 y x = 的定义域为 ( ,0) (0, )− + ，在定义域内为奇函数,且在(0,+∞)单调递减，故 A 正确； 对于 B， 1 2y x x= = 的定义域为[0, )+ ，所以 1 2y x= 不是奇函数，故 B 错误； 对于 C， 3y x= 是奇函数, 在(0, +∞)单调递增，故 C 错误； 对于 D， 1 2 logy x= 的定义域为 (0, )+ ，所以 1 2 logy x= 不是奇函数，故 D 错误； 故选: A. 5．C 第5页/共13页 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令 ( ) 2 ln 5f x x x= + − ， ( )f x 在 (0, )+ 上连续，且单调递增， 对于 A，因为 (4) 8 ln4 5 3 ln 4 0f = + − = +  ， (5) 10 ln5 5 5 ln 5 0f = + − = +  ， 所以 ( )f x 的零点不在 ( )4,5 内，所以 A 错误， 对于 B，因为 (4) 0f  ， (3) 6 ln3 5 1 ln 3 0f = + − = +  ， 所以 ( )f x 的零点不在 ( )3,4 内，所以 B 错误， 对于 C，因为 (3) 0f  ， (2) 4 ln2 5 ln 2 1 0f = + − = −  ， 所以 ( )f x 的零点在 ( )2,3 内，所以方程 2 ln 5 0x x+ − = 的解所在区间为 ( )2,3 ，所以 C 正确， 对于 D，因为 (2) 0f  ， (1) 2 ln1 5 3 0f = + − = −  ， 所以 ( )f x 的零点不在 ( )1,2 内，所以 D 错误， 故选：C 6．B 【解析】取特殊值排除 ACD 选项，由幂函数的单调性判断 B 选项. 【详解】当 2, 1a b= − = − 时， 1 1 1 1 2 a b − =  = − ； ln( ) ln1 0b a− = = ；则 AC 错误； 当 0c = 时， 2 2ac bc= ，则 D 错误； 因为函数 2y x 在 ( ,0)− 上单调递减， 0a b  ，所以 2 2a b 故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题. 7．B 【分析】先求函数定义域，排除 A，再根据函数奇偶性排除 B，再通过特殊值排除 D 得答案. 【详解】函数 2 ln x y x = 的定义域为 1x x   且 0x  ，排除 A项； ∵ ( ) ( ) 2 ln x f x f x x − − = = − ，∴ 2 ln x y x = 是奇函数，排除 C项； 再取特殊值当 2x = 时， 4 0 ln 2 y =  ，排除 D项. 故选：B. 【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档 题. 8．D 【分析】法一：转化成一元二次方程在(0, +∞)上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函 数图像在(0, +∞)上有两个交点的问题. 【详解】法一：因为 ( ) 2 2 2 m x x m f x x x x − + = + − = ，且 ( )f x 有两个零点， 第6页/共13页 所以方程 2 2 0x x m− + = 在(0, +∞)上有两个不同的解， 所以 0 Δ 4 4 0 m m   = −  解得0 1m  ． 法二：由 ( ) 0f x = 得 2 22 ( 1) 1m x x x= − = − − + ， 因为 ( )f x 有两个零点，所以直线 y m= 与函数 2( 1) 1, 0y x x= − − +  的图像有两个交点． 函数 2( 1) 1, 0y x x= − − +  的图像如图，由图可知0 1m  ． 故选：D． 9．D 【分析】根据函数是定义在 R上的偶函数，将不等式 ( )2log 0f x  化为 ( ) ( )2log 1f x f ，根据函数在区间  )0,+ 上单调递增，可得 2log 1x  ，解此不等式可得结果. 【详解】函数 ( )f x 是定义在R 上的偶函数，则有 ( ) ( )f x f x= ， 由 ( )1 0f = ，则 ( )2log 0f x  等价于 ( ) ( )2log 1f x f ， ( )f x 在区间 )0,+ 上单调递增，所以有 2log 1x  ， 即 2log 1x  − 或 2log 1x  ， 解得 1 0 2 x  或 2x  ， 所以不等式 ( )2log 0f x  的解集为 ( ) 1 0, 2, 2    +    . 故选：D. 10．A 【分析】先求得“对任意 ,a bR ， ( ) 2 a b kab+  ”时， k 的取值范围，从而判断出正确答案. 【详解】对于“对任意 ,a bR ， ( ) 2 a b kab+  ”， ( )2 22 0a b kb a b+ − +  恒成立， ( ) ( ) 2 2 2 22 4 4 0b kb b b k k = − − = −  恒成立， 所以 ( )2 4 4 0k k k k− = −  ，解得0 4k  . 所以“对任意 ,a bR ， ( ) 2 a b kab+  ”是“ 4k  ”的充分不必要条件. 故选：A 11．B 【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的 模型.利用前两组数据可以求得 k 和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质 第7页/共13页 求得 x的值，即可做出判断. 【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为 6,5.4,4.86,4.37,3.94, 呈现越来越小的变化趋势， 故选用模型①为更符合实际的模型. 由𝑥 = 0时， 85.00y = ，代入 25xy ka= + ，得85 25k= + ,解得 60k = . ∴ 60 25xy a= + . 由𝑥 = 1时 79.00y = ,可得79 60 25a= + ，解得 9 10 a = , ∴ 9 60 25 10 x y   = +    , 由 9 55 60 25 10 x   = +    ,得 1 9 2 10 x   =     ,∴ 1 9 9 lg lg lg 2 10 10 x x   = =    , 1 lg lg 2 lg 2 0.3012 6.5 9 2lg3 1 1 2lg3 1 2 0.477 lg 10 x − = = =   − − −  , 刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为 6.5min, 故选:B. 12．B 【解析】利用“函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“函数”的两个条件，才是“函数”. 【详解】解：对（1），由①得 ( )0 0f  ， 在②中令 0x y= = ， 即 ( ) ( )0 2 0f f= ， 解得： ( )0 0f  ， ( )0 0f = ，故（1）正确； 对（2），当 ( ) 0f x = 时，满足①②，但在 )0, + 不是增函数，故（2）错误； 对（3），当 x， y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4）， ( ) 2g x x x= + ， 当  )0,x + 时， min( ) (0) 0 0g x g= =  ， 即满足条件①， 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x y g x g y x y x y x x y y xy+ − − = + + + − − − − =  ， 即满足条件②， 函数 2( )g x x x= + 在[0, )+ 上是“函数”，故（4）正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“函数”的定义，必须同时满足“函数”的两个条件，才是 第8页/共13页 “函数”. 13． 1 2 − / 0.5− 【分析】根据题意结合分数指数幂以及对数的定义运算求解即可. 【详解】因为 ( ) 2 1 log 4 x f x x   = +    ， 所以 2 2 1 1 1 1 1 1 1 log 1 1 2 4 2 4 2 2 f     = + = − = − = −        . 故答案为： 1 2 − . 14． ( ) ( )1,5 5, + 【分析】根据自变量的取值条件来求定义域即可. 【详解】函数 ( )f x 的自变量满足： 1 0 5 0 x x −   −  ， 解得𝑥 > 1且 5x  ， 所以函数 ( )f x 的定义域是 ( ) ( )1,5 5, + ， 故答案为： ( ) ( )1,5 5, + . 15．1 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由 0a  ， 0b  ， 1 1 4 a b + = ， 则 ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 1 4 4 4 a a b a b a b a a b b b b a      + = + + = + +   + =            ， 当且仅当 b a a b = ，即 1 2 a b= = 时等号成立， 所以 a b+ 的最小值为 1. 故答案为：1. 16． 3 1e− − (2,3] 【分析】当 3a = − 时得到 ( ) ( )2 e 1, 3 5 6 , 3 x x f x x x x x  −  − =  − − +  − ，令 ( ) 3 25 6g x x x x= − + − ， ( ), 3x  − − 再利用定义 法证明 ( ) 3 25 6g x x x x= − + − 在 ( ), 3− − 上单调递减，从而得到 ( ) min 90g x = ，令 ( ) e 1xh x = − ，  )3,x − + ，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出 ( )h x 的最小值，即可得到 ( )f x 的最小 值；分别求出 e 1xy = − 与 ( )2 5 6y x x x= − − + 的零点，根据 ( )f x 恰有两个零点，即可求出 a的取值范围； 【详解】解：当 3a = − 时 ( ) ( )2 e 1, 3 5 6 , 3 x x f x x x x x  −  − =  − − +  − ，令 ( ) ( )2 3 25 6 5 6g x x x x x x x= − − + = − + − ， 第9页/共13页 ( ), 3x  − − ，设 ( )1 2, , 3x x  − − 且 1 2x x ，则 ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 3 2 21 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 25 6 5 6 5 6 5 6g x g x x x x x x x x x x x x x− = − + − − − + − = − + − − + ( )( ) ( )( ) ( )2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 15 6x x x x x x x x x x x x= − + + + − + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 3 5 6 2 4 x x x x x x x x x    = − + + + − + + −          因为 ( )1 2, , 3x x  − − 且 1 2x x ，所以 2 2 0x x−  ， 1 2 6x x+  − ，所以 ( )1 25 6 0x x− + +  ，所以 ( ) ( )1 2 0g x g x−  ，所以 ( )g x 在 ( ), 3− − 上单调递减，所以 ( ) ( )3 90g x g − = ，令 ( ) e 1 xh x = − ，  )3,x − + ，函数 ( )h x 在定义域上单调递增，所以 ( ) ( ) n 3 mi 3 e 1 90h x h −− −= = ，所以 ( ) ( )2 e 1, 3 5 6 , 3 x x f x x x x x  −  − =  − − +  − 的最小值为 3e 1− − ； 对于 e 1xy = − ，令 0y = ，即 e 1 0x − = ，解得 0x = ，对于 ( )2 5 6y x x x= − − + ，令 0y = ，即 ( )2 5 6 0x x x− − + = ，解得 0x = 或 2x = 或 3x = ，因为𝑓(𝑥) = { e 𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 𝑎 −𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 6), 𝑥 < 𝑎 恰有两个零点，则0 和 2 一定为 ( )f x 的零点，3不为 ( )f x 的零点，所以 2 3a  ，即 ( 2,3a ； 故答案为： 3e 1− − ； ( 2,3 ； 17．①③④ 【分析】按 0, 0x x  分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③；利用归纳推理的求解判断④. 【详解】函数 ( ) 1 | | x f x x = + ， 当 0x  时， 1 ( ) 1 [0,1) 1 1 x f x x x = = −  + + ，且 ( )f x 在[0, )+ 上单调递增，③正确； 当 0x  时， 1 ( ) 1 ( 1,0] 1 1 x f x x x = = − +  − − − ，且 ( )f x 在 ( ,0]− 上单调递增， 因此函数 ( )f x 的值域为 ( 1,1)− ，①正确； 函数 ( )f x 在R 上单调递增，则 1 2x x  ，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，②错误； 由 1( ) ( )f x f x= ，得 2 1 1 | | ( ) ( ( )) | | 1 2 | | 1 1 | | x xx f x f f x x x x + = = = + + + ， 3 2 1 2 | | ( ) ( ( )) | | 1 3 | | 1 1 2 | | x xx f x f f x x x x + = = = + + + ， ，归纳推理得 ( ) 1 | | n x f x n x = + ，④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；分段函数在判断单调 性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系. 第10页/共13页 18．(1)答案见解析 (2) 1 | 1 3 a a        【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合 B 是集合A 的真子集，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】（1）  |1 5A x x=   ， { | 1U A x x =  或 5}x  当 3a = 时，  | 1 7B x x= −   ， ( ) { | 1 1U A B x x = −   或5 7}x  . （2）“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件等价于非空集合 B 是集合A 的真子集， 易知 2 1 2a a−  + ，即 1 3 a  ， 则有 2 1 1 2 5 a a −   +  ，且等号不能同时取到，解得 1a  . 故 a的取值范围为 1 | 1 3 a a        . 19． ( ) 2 1 2 1 x x f x + = − 值域 【详解】 （1） ( ) ( ), 1 1,− −  + （2）因为 ( ) 2f a = ，所以 2 1 2 2 1 a a + = − ，所以 2 1 2 2 2a a+ =  − 且 2 1a  ， 所以2 3a = ，所以 2log 3a = ； （III）因为 ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x f x + − + = = = + − − − ， 又因为 2 1xy = − 在 )1,+ 上递增，所以 2 2 1x y = − 在 )1,+ 上递减，所以 ( ) ( ) 1max 2 1 1 3 2 1 f x f= = + =   − ， 又因为 ( )f x m 对于  )1,x  + 恒成立，所以 ( ) max m f x    ，所以 3m  ， 所以m的最小值为3 . 20．(1)奇函数,证明见解析; (2) 3 5 4 4 c−   【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于 y 轴对称,求出 ,a b , 选②时,根据 ( )f x 单调性,代入函数值可求出 ,a b , 根据两种情况下所求出的 ,a b的值,代入 ( )g x 中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可; 第11页/共13页 (2)由(1)结论求出 ( )g x 在 R上的值域,再求出 ( )h x 在 2 2− , 的值域,因为 1x R ,  2 2,2x  − ,使得 ( ) ( )1 2g x h x= 成立,只需 ( )g x 值域是 ( )h x 值域的子集即可,进而求出 c的取值范围. 【详解】（1）解:当选①时:因为 ( ) ( )2 1 4f x x a x= + − + 在定义域为 1, 1b b− + 上为偶函数, 所以 1 1 0b b− + + = ,所以 0b = , 且 ( )f x 为偶函数,所以 ( ) ( )1 1f f− = 故 ( ) ( )1 1 4 1 1 4a a− − + = + − + 所以 1a = , 0b = ; 当选②时:因为 ( ) ( ) ( )0 ,f x ax b a f x= +   单调递增, ( )f x 在区间 1,2 上的值域为 1,2 , 所以 ( ) ( )1 1, 2 2,f f= = 即 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 f a b f a b  = + =  = + = , 解得 1, 0a b= = , 综上: 1, 0a b= = . 因为 1, 0a b= = , 所以 ( ) 2 1 x g x x = + , 所以 ( ) 2 1 x g x x − − = + , 故 ( ) ( ) 0g x g x+ − = , 所以 ( )g x 是奇函数; （2）解:由(1)知, ( ) 2 1 11 x g x x x x = = + + , 当 0x  时, 1 1 2 2x x x x +   = ,当且仅当 1x = 时成立, 所以 1 1 0 1 2 x x   + , 即 0x  时, ( ) 1 0, 2 g x       , 当 0x = , ( )0 0g = , 因为 ( )g x 是奇函数, 所以即 0x  时, ( ) 1 ,0 2 g x    −    , 第12页/共13页 综上: ( ) 1 1 , 2 2 g x    −    , 记 ( )g x 值域为集合A , 1 1 , 2 2 A    = −    , ( ) 2h x x c= − − , 记 ( )h x 值域为集合 B ,  2 2 ,2 2B c c = − − − , 1 Rx  ,  2 2,2x  − ,使得 ( ) ( )1 2g x h x= 成立, A B  , 1 2 2 2 1 2 2 2 c c  − −  −   −   , 3 5 4 4 c−   . 21．(1)是， 4K  ； (2)证明见解析 (3) ( )f x x= ，  0,1x 或 ( ) 1f x x= − ，  0,1x 【分析】根据定义 L 型函数的定义求解（1）（2），对（3）先根据 L 型函数的定义演绎推理求得 K，再利用 反证法和分类讨论求出函数的解析式. 【详解】（1）假设 ( )  2 , 1, 2f x x x=  − 是 L 型函数， 则任取 1 2,x x D ，都有 ( ) ( )1 2 1 2f x f x K x x−  − 恒成立 即 2 2 1 2 1 2x x K x x−  − 当 1 2x x= 时，K R 当 1 2x x 时， 1 2 max 4K x x K +   综上所述， 4K  （2）设 ( ) ( )  , ,g x f x a x m a n a= +  − − ， 任取  1 2, ,x x m a n a − − 则  1 2, ,x a x a m n+ +  则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2g x g x f x a f x a K x a x a K x x− = + − +  + − + = − 则 ( )y f x a= + 也是 L 型函数. （3）假设 ( ) ( )  1 2 1 20, 1, , 0,1f x f x x x= =  且 1 2x x 则 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 f x f x K x x x x K −   −   − 第13页/共13页 由于  1 2 1 2 1 2 1 , 0,1 , 1, 1x x x x x x k   −   − = = 1 2 0 1 1 x x k =   =  = 或 1 2 1 0 1 x x k =   =  = ①当 1 20, 1, 1x x k= = = 时，假设存在 ( )0 0,1x  且 ( )0 0f x x 若 ( )0 0f x x ，则 ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 1 f x f x f x x x x − =  − 若 ( )0 0f x x ，则 ( ) ( ) ( )2 1 0 2 1 0 1 1 1 f x f x f x x x x − − =  − − 均矛盾，故对任意  0,1x ，都有 ( )f x x= 此时， ( )f x 的解析式为 ( )  , 0,1f x x x=  ②同理，当 1 21, 0, 1x x k= = = 时， ( )f x 的解析式为 ( )  1 , 0,1f x x x= −  综上， ( )f x 的解析式为 ( )  , 0,1f x x x=  或 ( )  1 , 0,1f x x x= − 