第07讲 角的和差（2个知识点+7大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第07讲 角的和差（2个知识点+7大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.角的和差计算； 2.角平分线的相关概念； 1.掌握用量角器量角的过程与步骤； 2.掌握角平分线的相关概念和计算； 知识点01、画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【即学即练1】 1．（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【即学即练2】 2．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 知识点02、角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【即学即练3】 3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是平角，、分别是、平分线，等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．80° 【即学即练4】 4．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，，则的度数等于（ ） A． B． C． D． 考查题型一 与方向角有关的计算题 1．如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（    ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 2．如图，是北偏东方向的一条射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线，则的方位角是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 3．如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 4．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是 ． 5．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是东偏南，且，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向； (2)若射线平分，求的度数． 考查题型二 三角板中角度计算问题 1．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 4．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    5．如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 考查题型三 几何图形中角度计算问题 1．根据如图所示，下列式子错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知， ，那么 度． 4．如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，则度数为 ． 5．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 考查题型四 角度的四则运算 1．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 2．下列有关角度的运算：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 3．如果，，则 ， ． 4．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．计算： (1)； (2)． 考查题型五 实际问题中角度计算问题 1．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 2．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻． 3．如图，直线，交于点，将一个三角板的直角顶点放置于点处，使其两条直角边分别位于的两侧．若刚好平分，，求的度数． 考查题型六 角平分线的有关计算 1．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．已知是的平分线，，∠的平分线，则∠的度数为 ． 3．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，平分，，，求的度数．    考查题型七 角n等分线的有关计算 1．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（　　） ①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线． （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 3．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 1．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 4．如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 6．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 7．如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °． 8．如图，若是的平分线，则①；②；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 9．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 10．如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 11．已知：如图，，，平分．求的度数． 12．探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 13．如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 14．如图，已知，，是的平分线． (1)图中共有________个角； (2)当时，求的度数； (3)若，求的度数． 15．与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 角的和差（2个知识点+7大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.角的和差计算； 2.角平分线的相关概念； 1.掌握用量角器量角的过程与步骤； 2.掌握角平分线的相关概念和计算； 知识点01、画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【即学即练1】 1．（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案． 【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键. 【即学即练2】 2．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 知识点02、角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【即学即练3】 3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是平角，、分别是、平分线，等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据和分别是与的角平分线，是平角，则，从而可以求解 【详解】解：， 又平分，平分， ， ． 故选：C． 【即学即练4】 4．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，，则的度数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据题意得，即可得，根据角平分线的定义可得，即可得． 【详解】解：，， ， ， ∵是的角平分线， ， ， 故选D． 考查题型一 与方向角有关的计算题 1．如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（    ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的计算，根据题意得到，根据平角再求出，则此时乙位于地的南偏东． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴此时乙位于地的南偏东， 故选：A． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线，则的方位角是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的计算，理解图示，掌握方位角的计算是解题的关键． 根据题意，，可得在北偏西方向即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∴的方位角是北偏西， 故选：B ． 3．如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 4．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据题意结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 5．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是东偏南，且，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)南偏西（或西偏南） (2) 【分析】本题考查方向角、角的运算，根据图形找到角之间的关系是解答的关键． （1）求得的度数即可； （2）根据角平分线的定义的度数即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， 所以． 又因为， 所以， 所以射线的方向是南偏西20°（或西偏南70°）； （2）解：因为， 所以． 因为射线平分， 所以， 所以． 考查题型二 三角板中角度计算问题 1．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，掌握角度的和差计算方法是解题的关键． 根据题意可得，得到的度数，再根据，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 2．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，根据图形得，则，计算得出答案即可，熟练掌握角度关系、正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 3．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【答案】180 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：180． 4．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了角的定义和角的比较与计算，解题的关键掌握三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据三角板的特征知，则写出即可； （3）根据求出，代入求出即可； （4）求出，代入求出即可． 【详解】（1）图中所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，，． （2）图中相等的角有，， 故答案为：，； （3）解； ∵，， ∴， ∵， ∴． （4），理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 考查题型三 几何图形中角度计算问题 1．根据如图所示，下列式子错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的计算，根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【详解】解：A.，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C.由于不确定，所以，故此选项符合题意； D. ，正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何图形中角的运算，要求学生灵活掌握运用．根据平面各角和为，又因为各角与有关系，用表示其余角，设故有，解之可得，又因为，即可得解． 【详解】解：设，由题意， 可得，即， 又因为，即． 故选：C． 3．如图，已知， ，那么 度． 【答案】133 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，结合图形得出，代数进行计算，得出的值，然后把的值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 则把代入， ∴， 故答案为：133． 4．如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，则度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的运算，数形结合是正确解答的前提．先求出，然后根据可求出度数． 【详解】∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线有关的计算问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据直接求解即可． （2）利用求出，再运用平分得到，最后利用计算即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以； （2）因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 考查题型四 角度的四则运算 1．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 2．下列有关角度的运算：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度的加减乘除的运算法则进行判断即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误； ∴正确的个数有个； 故选． 【点睛】本题考查了角度的运算，熟记角度的运算法则是解题的关键． 3．如果，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的和差计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据角度的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ； ∴， ， ． 故答案为：，． 4．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 /116度20分 /11度40分20秒 /106度25分 /58度57分20秒 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，按照实数的运算顺序“先算乘除，后算加减”进行运算，注意是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考查题型五 实际问题中角度计算问题 1．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 2．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻． 【答案】24 【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解． 【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻， ∴24×1=24（次）， 即从0时到24时共有24个平衡时刻； 故答案为24． 【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键． 3．如图，直线，交于点，将一个三角板的直角顶点放置于点处，使其两条直角边分别位于的两侧．若刚好平分，，求的度数． 【答案】 【分析】设∠COE=α，则∠BOE=2α，∠BOC=3α，依据角平分线即可得出∠BOC=∠BOF=45°+α，求得α的值，即可得到∠BOC的度数，进而得到∠BOD的度数． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角的和差关系进行计算是解决问题的关键． 考查题型六 角平分线的有关计算 1．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 2．已知是的平分线，，∠的平分线，则∠的度数为 ． 【答案】或 【分析】试题分析：由于与的位置关系不能确定，故应分在内和在外两种情况进行讨论． 【详解】解：当与的位置关系如图所示时， 是的平分线，是的平分线，，， ，， ﹣﹣； 当与的位置关系如图所示时， 是的平分线，是的平分线，，， ，， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 3．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，平分，，，求的度数．    【答案】 【分析】首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可． 【详解】∵平分， ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差计算． 考查题型七 角n等分线的有关计算 1．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（　　） ①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确． 【详解】解：因为∠AOB＝∠BOD， 所以∠AOB=∠AOD， 因为OC平分∠AOD， 所以∠AOC=∠DOC=∠AOD， 所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB， 故①错误，③正确； 因为∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD， 所以∠DOC＝3∠BOC 故②错误，④正确． 【点睛】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断． 2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线． （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】（1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可； ②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线． ∵ ∴, 故答案为： （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 3．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数； （2）由角平分线得出，，继而由得出结论． （3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； 答：的度数为． （2）解：是的平分线． ， 是的平分线， ， ， ， 答：的度数为． （3）解：由（2）得 ， ， 又， ， ， ， ，， ， 当， ， ； 当， ， 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 1．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，如图可知，的度数正好是两直角相加减去的度数，进而即可解出答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 3．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向分别为点C、D，根据题意求得的度数即可求解． 【详解】解∶如图， 正南方向，正北方向分别为点C、D， 由题意，得，， 又， ∴， ∴B地在灯塔O的南偏东方向， 故选：B． 4．如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可． 【详解】设，则，． 因为，所以，解得． 所以 故选：C． 5．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 6．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题考查了角度直角的和差关系，角平分线，先求出，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40． 7．如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °． 【答案】10 【分析】设，，则，，根据，列式计算即可． 本题考查了角的和，角的倍分计算，解方程，熟练掌握角的和，倍分计算，解方程是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 8．如图，若是的平分线，则①；②；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故答案为：③④． 9．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/43度 【分析】本题主要考查角的计算，题目中已经给出，设，就可以表示出，继续表示，最后用就可以求出答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，，； 设； ； ； 即； ； ； ； 故答案为：． 10．如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据角平分线的定义求出，推出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：平分， ． ． 平分， ． 故答案为：． 11．已知：如图，，，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和平面图形角度的计算，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 根据题意可得，根据平分，可得，进而求解； 【详解】解：， (已知)， ． 平分(已知）， (角平分线定义）． ． 12．探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先由平角的定义求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可； （2）由角平分线的定义得到，再用分别表示出和，据此可得结论； （3）先由平角的定义和角平分线的定义得到，，再由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 13．如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．如图，已知，，是的平分线． (1)图中共有________个角； (2)当时，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，角的个数问题： （1）根据有公共顶点的两条射线可以确定一个角即可得到答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （3）先求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：图中有，共6个角， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵是的平分线，， ∴， ∴，即． 15．与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析， (2)，理由见解析 (3)不成立， 【分析】本题考查的是角的计算，周角的定义，掌握角的和差关系是解答关键． （1）根据角的和差关系来求解； （2）根据角的和差关系，得到即可求解； （3）根据周角的下定义，角的和差关系求解． 【详解】（1）解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵， ； （3）解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$