第05讲 角与角的度量（2个知识点+5大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 角与角的度量（2个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1、角的大小的比较方法 2、从图形中观察角的和、差关系。 1、 在现实情境中，进一步丰富锐角、钝角、直角及大小的认识； 2、 学会比较角的大小，能估计一个角的大小； 3、 在操作活动中认识角平分线，能画出一个角的平分线； 知识点01：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 【即学即练1】 1．在下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不能用三种方法表示同一个角，表示的角与表示的角不同，故A选项不合题意； B、不能用三种方法表示同一个角，可以表示多个角，故B选项符合题意； C、不能用三种方法表示同一个角，表示不同角，可表示多个角，故C选项不合题意； D、能用三种方法表示同一个角，故D选项符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，下列说法中不正确的是（ ） A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法即可得出结果． 熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故不符合题意； B、也可以用表示，说法错误，故符合题意； C、，说法正确，故不符合题意； D、图中有三个角，，说法正确，故不符合题意； 故选B． 知识点02：角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. 【即学即练3】 3．把用度、分、秒表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查度、分、秒的换算．运用度、分、秒的换算方法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【即学即练4】 4．用度、分、秒表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了度分秒的换算，根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可．分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法． 【详解】解：． 故选：A． 考查题型一 角的概念理解 1．有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 2．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 3．观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角 【分析】（2）根据图1直接数出即可； （3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1， 则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB， 共1+2+3=6个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2， 在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE， 共有6+4=10个不同的角； 若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 考查题型二 角的表示方法 1．如图所示，还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的表示方法，根据一个角可以用三个大写字母表示，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，还可以表示为； 故选B． 2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 3．请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： _________ _________ _________ _______ 【答案】见解析 【分析】本题考查了角的表示方法．根据角的表示方法分析即可，角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射线． 【详解】解：填表如下： 考查题型三 角的分类 1．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 2．如图所示，图中小于平角的角有 个. 【答案】9 【分析】根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：图中小于平角的角有：∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB和∠EOB，共有9个 故答案为：9． 【点睛】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 3．如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图： (1)作直线AC，射线BC，连接AB； (2)延长AB到点D，使得； (3)直接写出______°． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)180° 【分析】（1）按照题意用直尺作出图形； （2）按照题意作出图形即可； （3）由题意可知，180°． 【详解】（1）解：如图所示，直线AC，射线BC，线段AB即为所求； （2）解：如图所示线段 BD即为所求； （3）解：180°，理由是： ∵延长AB到点D，使得 ∴∠ABD是平角 ∴180° 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图． 考查题型四 方向角的表示 1．如图，下列说法错误的是（   ）    A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 【答案】A 【分析】此题考查了方位角．根据方位角的定义结合图形进行解答即可． 【详解】解：A. 的方向是北偏东，故选项错误，符合题意； B. 的方向是北偏西，故选项正确，不符合题意； C. 的方向是南偏西，故选项正确，不符合题意；     D. 的方向是东南方向，故选项正确，不符合题意； 故选：A 2．如图，我们知道射线表示的方向是北偏东，则射线表示的方向是 ，射线表示的方向是 ． 【答案】 北偏西 南偏东 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义，先南北再东西解答即可． 【详解】解：由图可知：射线表示的方向是北偏西；射线表示的方向是南偏东； 故答案为：北偏西；南偏东． 3．学校开展以回归自然为主题的冬季趣味定向运动，如图是定向路线图，请你认真观察并回答问题． (1)一号站在二号站的_______方向上，距离是_______m． (2)从起点出发，沿西北方向走600m，有一个观光亭．请在图中标出观光亭的位置． (3)请描述出从起点到达二号站所走的路线． 【答案】(1)西偏南30°，600米 (2)见解析 (3)向正北方向走400米，再沿东偏北30°方向走600米到达二号站 【分析】（1）根据图形可直接得出； （2）根据题意，找准西北方向，然后距离为600m，为标尺的三倍即可得； （3）根据图象，利用方位角及距离进行描述即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：一号站在二号站的西偏南30°方向上，距离为：， 故答案为：西偏南30°；； （2）解：根据题意：从起点出发，沿西北方向走600m，有一个观光亭，如图所示： 点Q即为观光厅的位置； （3）解：根据图形可得：先向正北方向走400米，再沿东偏北30°方向走600米到达二号站． 【点睛】题目主要考查方位角及距离的应用，理解图象中的位置关系，熟练运用方位角及距离描述是解题关键． 考查题型五 角的单位与角度制 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．利用度分秒之间的进率逐个分析选项即可． 【详解】解：，故A选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：A． 2．用度来表示 ． 【答案】 【分析】本题考查角度换算，涉及，先将秒化为分，再将分化为度即可得到答案，熟记角度之间的换算关系是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 3．（1）把转化为用度、分、秒表示的形式； （2）把转化为用度表示的形式. 【答案】（1）23°17′24″；（2）33.24°． 【分析】（1）根据大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒，可得答案； （2）根据小单位化大单位除以进率，可得答案． 【详解】解：（1）=23°+0.29×60=23°+17.4′=23°17′+0.4×60=23°17′24″； （2）=33°14′+24÷60=33°+14.4′=33°+14.4÷60=33.24°． 故答案为（1）23°17′24″；（2）33.24°． 【点睛】本题考查度分秒的换算，小单位化大单位除以进率，大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒． 1．某人下午6点多钟外出买东西时，看钟表上的时针和分针的夹角是，下午近7点回家时，发现时针与分针的夹角又是，则此人外出用了（  ） A．30分钟 B．40分钟 C．50分钟 D．60分钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角，正确掌握钟表时针与分针的夹角是解答本题的关键．根据钟面角为时针转过的角度与分针转过的角度之差，结合题中外出前后钟面角均为可设外出买东西的时间是分钟；由钟表的特点可知，此时时针走了度，分针走了度，而它们的差值即为钟面角的2倍，进而列出关于的方程，求解即可. 【详解】解：设此人外出用了分钟， 根据题意得：， 解得：， 此人外出用了40分钟． 故选：B． 2．如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、射线表示北偏东，故此选项正确，不符合题意； B、射线表示西北方向，故此选项正确，不符合题意； C、射线表示南偏西，故此选项错误，符合题意； D、射线表示南偏东，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，上午，时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据钟面角的定义，以及钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系进行计算即可．本题考查钟面角，理解钟面角的定义，掌握钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 由钟面角的定义可知，，， ∴， 故选：A． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案； 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意. 故选：D． 5．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一直线上，乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西方向，乙岛在丁岛的南偏东方向，那么丁岛在乙岛的（    ）方向 A．北偏西 B．北偏西 C．东偏南 D．东偏南 【答案】A 【分析】设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．作，根据两直线平行，内错角相等即可解决问题． 本题考查方向角的定义和平行线的性质，理解题意，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．作，如图， ∵丁岛在丙岛的正北方， ∴ ∵乙岛在丁岛的南偏东方向， 又∵， ， ∴丁岛在乙岛的北偏西方向． 故选：A． 6． 【答案】 【分析】本题考查了角度值的转化，大单位化小单位乘以进制，即可求解． 【详解】解： 故答案为：；． 7．在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键． 用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解． 【详解】解：寅时二刻是指， ∵时，时针与分针所成角度为， 再过15分钟，分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ∴， 故答案为：． 8．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 【答案】 / 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故答案为：，，，、、． 9．如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 10．下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 【答案】/ 【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟走，时针每分钟走，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解． 【详解】解：分针每分钟走，时针每分钟走， 四点整时，时针和分针之间的夹角是， 设小李开始钻研时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点10分时，小李开始钻研， 设结束时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点分时，小李结束钻研， ∴小李钻研了分， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒之间的计算． （1）按照度分秒之间的计算法则进行计算即可； （2）先计括号内的加法，再计算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 12．（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【分析】（）根据分针每分钟走小格，时针每分钟走小格即可求解； （）根据钟表分针和时针每走一分钟度数即可求解； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针），根据题意列出方程，然后解方程即可； 本题考查了钟表分针和时针所转过的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 所以时分时，时针与分针的夹角是， 时分时，时针与分针的夹角是． （）从时分到时分，，经过了， 所以分针转过的角度是， 时针转过的角度是； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）． 因为时整时针与分针的夹角是， 所以列方程得， 解得， 所以， 所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 13．分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【答案】(1)共有6个角，它们分别是，，，，， (2)个角 【分析】本题主要考查了角的概念，有理数的运算等知识点， （1）按照图示罗列出所有角即可； （2）罗列射线的条数n与角的个数，得出规律即可； 在规律探究时，按规则罗列一些代数式能够发现其中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）共有6个角，它们分别是，，，，，； （2）如果在的内部作1条射线，这样一共有（个）角； 如果在的内部作2条射线，一共有（个）角； 如果在的内部作3条射线，一共有（个）角； ……以此类推； 如果在的内部以点O为端点作n条射线，一共有个角． 14．看图回答问题． (1)根据淘淘从家去学校的路线图填写下表． 方向 路程 时间 陶陶家-美食城 6分 美食城-商场 3分 商场-书店 3分 书店-学校 8分 (2)淘淘从家到学校的平均速度是多少？ 【答案】(1)见详解 (2)55米/分钟 【分析】本题主要考查了方位角，有理数四则混合运算等知识，通过图形获得所需信息是解题关键． （1）根据方位角的定义和比例尺，逐一填写即可； （2）根据“速度总路程总时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：根据淘淘从家去学校的路线图填写下表； 方向 路程 时间 陶陶家-美食城 东偏北 300米 6分 美食城-商场 东偏南 200米 3分 商场-书店 东偏北 200米 3分 书店-学校 南偏东 400米 8分 （2） （米/分钟）， 答：淘淘从家到学校的平均速度是55米/分钟． 15．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 角与角的度量（2个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1、角的大小的比较方法 2、从图形中观察角的和、差关系。 1、 在现实情境中，进一步丰富锐角、钝角、直角及大小的认识； 2、 学会比较角的大小，能估计一个角的大小； 3、 在操作活动中认识角平分线，能画出一个角的平分线； 知识点01：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 【即学即练1】 1．在下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的图形是(    ) A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，下列说法中不正确的是（ ） A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角，， 知识点02：角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. 【即学即练3】 3．把用度、分、秒表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．用度、分、秒表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考查题型一 角的概念理解 1．有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 3．观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 考查题型二 角的表示方法 1．如图所示，还可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 3．请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： _________ _________ _________ _______ 考查题型三 角的分类 1．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 2．如图所示，图中小于平角的角有 个. 3．如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图： (1)作直线AC，射线BC，连接AB； (2)延长AB到点D，使得； (3)直接写出______°． 考查题型四 方向角的表示 1．如图，下列说法错误的是（   ）    A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 2．如图，我们知道射线表示的方向是北偏东，则射线表示的方向是 ，射线表示的方向是 ． 3．学校开展以回归自然为主题的冬季趣味定向运动，如图是定向路线图，请你认真观察并回答问题． (1)一号站在二号站的_______方向上，距离是_______m． (2)从起点出发，沿西北方向走600m，有一个观光亭．请在图中标出观光亭的位置． (3)请描述出从起点到达二号站所走的路线． 考查题型五 角的单位与角度制 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用度来表示 ． 3．（1）把转化为用度、分、秒表示的形式； （2）把转化为用度表示的形式. 1．某人下午6点多钟外出买东西时，看钟表上的时针和分针的夹角是，下午近7点回家时，发现时针与分针的夹角又是，则此人外出用了（  ） A．30分钟 B．40分钟 C．50分钟 D．60分钟 2．如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 3．如图，上午，时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一直线上，乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西方向，乙岛在丁岛的南偏东方向，那么丁岛在乙岛的（    ）方向 A．北偏西 B．北偏西 C．东偏南 D．东偏南 6． 7．在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 8．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 9．如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 10．下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 11．计算： (1)； (2)． 12．（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 13．分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 14．看图回答问题． (1)根据淘淘从家去学校的路线图填写下表． 方向 路程 时间 陶陶家-美食城 6分 美食城-商场 3分 商场-书店 3分 书店-学校 8分 (2)淘淘从家到学校的平均速度是多少？ 15．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$