第04讲 线段的和差（1个知识点+7大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第04讲 线段的和差（1个知识点+7大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.、线段中点的概念及表示方法 1、理解两点间距离的感念和线段中点的感念及表示方法 2.学会线段中点的简单应用 3.借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用 4.培养学生交流合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力 知识点01：线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即学即练1】 1．如图，线段，点为线段上一点，，点，分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．已知线段，，且A，B，C三点在同一直线上，则线段的长度为（    ） A．1 B．1或9 C．2或8 D．9 题型01 线段的和与差 1．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点C是线段的中点，点D是上的一点，若，则 ． 3．如图，，，且D是线段的中点，求的长． 题型02 线段中点的有关计算 1．如图，已知线段厘米，C为的中点，点D在上，E为的中点，且厘米，则的长为（   ）    A．4厘米 B．12厘米 C．14厘米 D．16厘米 2．如图，，点，在线段上，，是线段的中点，则线段的长度为 ． 3．如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长． 题型03 线段n等分点的有关计算 1．已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 2．已知点C在线段上，，，点M是的中点且点N是的三等分点，则线段的长度为 ． 3．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 题型04 线段之间的数量关系 1．已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．小明将一根细绳对折成线段，在对折后的细绳上标记一点C，使，从点C处把细绳剪断后展开，经过测量发现最短的一段为，则细绳原来的长度是 ． 3．数学课上，老师提出下面问题：如图，点是线段上一点，点分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明的解答过程，请你补充完整； 解答过程 因为点分别是线段的中点， 所以① ______．② ①+②得， ． (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你画出示意图，并说明理由． 题型05 与线段有关的动点问题 1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 3．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 题型06 两点之间线段最短 1．下列生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．①② B．①②③ C．②④ D．③④ 2．下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解稀的是（    ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直 C．植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 3．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．      题型07 两点间的距离 1．下列说法正确的个数有（    ） ①若，则点C是线段的中点； ②两点确定一条直线； ③射线与射线是同一条射线； ④线段就是点A到点B之间的距离； ⑤两点之间线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm． 出发，沿方向运动，运动到点停止；点出发后，点以的速度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留，按原速沿方向运动到点停止．设的运动时间为．    (1)___________，___________； (2)当从向运动时，若，求的值． 题型08 最短路径问题 1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 3．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求． 请你写出小明这样作图的依据： ． 1．、、三点在同一条直线上，、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，那么、两点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知点O在直线上，且，点E，F分别是的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 4．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知线段的长为12，M为线段的中点，若C点将线段分成，则线段的长为 ． 7．如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 8．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 9．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 11．如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 12．如图，点C为线段上一点，点M、点N分别是线段、的中点． (1)若，，求线段的值； (2)若点C在线段上移动，试说明与之间的数量关系． 13．如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 14．如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 15．如图，点在线段上，点、分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，你能求出的长度吗？并说明理由； (3)若点在的延长线上，且，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 线段的和差（1个知识点+7大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.、线段中点的概念及表示方法 1、理解两点间距离的感念和线段中点的感念及表示方法 2.学会线段中点的简单应用 3.借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用 4.培养学生交流合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力 知识点01：线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即学即练1】 1．如图，线段，点为线段上一点，，点，分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的性质；根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，可得的长． 【详解】由线段的和差，得 ， 由点是的中点， 所以； 由点是的中点，得 ， 由线段的和差，得 故选：D． 【即学即练2】 2．已知线段，，且A，B，C三点在同一直线上，则线段的长度为（    ） A．1 B．1或9 C．2或8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查线段的和与差关系，注意分两种情况进行讨论：当点C在线段上时，则；当点C在线段的延长线上时，则代入计算即可． 【详解】解：当点C在线段上时，则，所以； 当点C在线段的延长线上时，则，所以． 故选：B． 题型01 线段的和与差 1．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由，结合可判定B；由图形易判定C；现有条件无法判断D正确． 【详解】解：因为为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 即， 故A正确； 因为，， 所以， 故B正确； 由图形知，， 故C正确； 现有条件无法判断， 故D不正确． 故选：D． 2．如图，已知点C是线段的中点，点D是上的一点，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了线段的中点和线段的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据线段中点的定义得出的长度，再根据求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 3．如图，，，且D是线段的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，已知，，，根据中点的定义先求出，然后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴的长为． 题型02 线段中点的有关计算 1．如图，已知线段厘米，C为的中点，点D在上，E为的中点，且厘米，则的长为（   ）    A．4厘米 B．12厘米 C．14厘米 D．16厘米 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，先由线段中点的定义得到厘米，厘米，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：∵厘米，C为的中点， ∴厘米， ∵E为的中点，且厘米， ∴厘米， ∴厘米， 故选：C． 2．如图，，点，在线段上，，是线段的中点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段长度的计算，一元一次方程的应用，设，则，，根据列方程求，则可求，根据线段的和差关系求线段长度是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长． 【答案】21 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，先求出，再结合得出，即可得解． 【详解】解：因为，点是线段的中点， 所以． 因为， 所以， 所以． 题型03 线段n等分点的有关计算 1．已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵C是线段的中点，， ∴， 点D是线段的三等分点， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ． ∴线段的长为和， 故选：B． 2．已知点C在线段上，，，点M是的中点且点N是的三等分点，则线段的长度为 ． 【答案】30或20/20或30 【分析】本题主要考查了线段中点的相关计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，先求出，分两种情况：当点N是靠近点的三等份点时，当点N是靠近点的三等份点时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，点M是的中点， ∴， 当点N是靠近点的三等份点时，如图所示： ∴； 当点N是靠近点的三等份点时，如图所示： ∴， 综上分析可知，线段的长是30或20． 故答案为：30或20． 3．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析，两点之间线段最短 (2)①8；②5或10 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）①根据两点确定一条线段求解即可；②根据三等分点的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短； （2）解：①图中有线段，共有8条线段， 故答案为：8； ②∵，M是的一个三等分点， ∴或， 故答案为：5或10． 题型04 线段之间的数量关系 1．已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 2．小明将一根细绳对折成线段，在对折后的细绳上标记一点C，使，从点C处把细绳剪断后展开，经过测量发现最短的一段为，则细绳原来的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想；由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况进行讨论，讨论中抓住最短线段即可解决问题． 【详解】∵ ∴， ①若绳子是关于A点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、， ∴剪断后的三段绳子中最短的一段为 ∴ ∴三细绳原来的长度是， ∴②若绳子是关于B点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、， ∴剪断后的三段绳子中最短的一段为 ∴ ∴三细绳原来的长度是 故答案为：或． 3．数学课上，老师提出下面问题：如图，点是线段上一点，点分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明的解答过程，请你补充完整； 解答过程 因为点分别是线段的中点， 所以① ______．② ①+②得， ． (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你画出示意图，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不会，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）点是线段的中点，结合，即可得的长度； （2）在线段的延长线上，此时，可求解是否变化． 【详解】（1）因为点分别是线段的中点， 所以① ② ①+②得， ． 故答案为：；；； （2）不会．理由如下： 因为点分别是线段的中点， 所以， 所以， 所以如果点运动到线段的延长线上，的长度不会发生变化． 题型05 与线段有关的动点问题 1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 2．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 【答案】或 【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可． 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 3．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 题型06 两点之间线段最短 1．下列生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．①② B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项． 【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线的概念，熟练掌握直线的相关定义是解题的关键． 2．下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解稀的是（    ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直 C．植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 【答案】B 【分析】根据“两点之间，线段最短”进行判断即可得解. 【详解】A、 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，体现的是“两点确定一条直线”； B、为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直，体现的是“两点之间，线段最短”； C、植树时定出两棵树的位置后确定同一行树所在的直线，体现的是“两点确定一条直线”； D、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，体现的是“两点确定一条直线”， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了两点间线段最短的性质，熟练区分与两点确定一条直线的不同点是解决本题的关键. 3．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．      【答案】4 【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过． 【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，如下图：      线段与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短， 故答案为：4 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移． 题型07 两点间的距离 1．下列说法正确的个数有（    ） ①若，则点C是线段的中点； ②两点确定一条直线； ③射线与射线是同一条射线； ④线段就是点A到点B之间的距离； ⑤两点之间线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据射线的表示法以及两点之间的距离的定义即可作出判断． 【详解】①若，且A、B、C三点共线时，则点C是线段的中点，故原说法错误； ②两点确定一条直线，说法正确； ③射线与射线不是同一条射线，故原说法错误； ④线段的长度就是点A到点B之间的距离，故原说法错误； ⑤两点之间线段最短，说法正确． 即正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了射线、线段、直线的基础知识，掌握相关的定义是解答本题的关键． 2．在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm． 【答案】5 【分析】根据题意画出图，由已知条件得到，设，则，得到，求出的值即可． 【详解】解：根据题意画出图如图， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 3．如图，已知线段，点为线段上一点，且．动点以的速度，从点 出发，沿方向运动，运动到点停止；点出发后，点以的速度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留，按原速沿方向运动到点停止．设的运动时间为．    (1)___________，___________； (2)当从向运动时，若，求的值． 【答案】(1)8，16 (2)2 【分析】（1）根据，即可解答； （2）根据运动时间和运动速度可用含的代数式表示出和，再根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：线段，， ， ， 故答案为：8，16； （2）设的运动时间为， 当从向运动时，，， ， ， 解得：， 当从向运动时，若，的值为2． 【点睛】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用、两点间的距离，解题关键是掌握两点间距离的表示方法． 题型08 最短路径问题 1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M， 根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短． 故选：B． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是两点之间，线段最短，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别． 2．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 【答案】A 【分析】根据图形，找到从到的最短路径（两长两短），再找到从到的最短路径（两长一短），综合起来即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条； 从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条； 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数， 故选：A． 【点睛】本题考查数学图形解决实际问题，用列举法找到各个最短路径是解决问题的关键． 3．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求． 请你写出小明这样作图的依据： ． 【答案】两点之间线段最短． 【分析】根据轴对称变换点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，根据对称性质得出AM=A′M，进而得出AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，利用两点之间线段最短得出A′M′+ BM′≥A′B即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， ∴AM=A′M， ∴AM+BM=A′M+BM=A′B， 在直线l的取M′，连接A′M′，BM′， 则AM′=A′M′， ∴A′M′+ BM′≥A′B， 小明这样作图的依据：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1．、、三点在同一条直线上，、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，那么、两点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和与差，分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别利用线段的和与差求解即可． 【详解】①若点在点左侧，如图， 两点之间的距离为，两点之间的距离为， ； ②若点在点右侧，如图， 两点之间的距离为，两点之间的距离为， ； ∴，之间的距离为或， 故选：C． 2．已知点O在直线上，且，点E，F分别是的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查线段中点的定义及线段长的求法．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．根据题意，画出图形，此题分两种情况：点O在点A和点B之间；点O在点A和点B外，即可求解． 【详解】解：如图，（1）点O在点A和点B之间，如图①， ∵，点E，F分别是的中点， 则； （2）点O在点A和点B外，如图②，   则 故选：C． 3．如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长． 【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为； 当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为． 所以这条绳子的原长为12cm或24cm． 故选：C． 4．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据已知条件项求出的长，进而求出的长，再由线段中点的定义求出的长，即可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：因为，， 所以①． 因为②，而是的中点， 所以③． 所以④， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 6．已知线段的长为12，M为线段的中点，若C点将线段分成，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了两点间的距离，由已知条件知，根据，得出，的长，故可求． 【详解】解：∵长度为12的线段的中点为M， ∴， ∵C点将线段分成， ∴，， ∴． 故答案为：8． 7．如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查线段中点的定义，线段和、差、倍的计算，一元一次方程的实际应用，根据点E为的中点，设，由，列方程求出即可求解． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴． 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：9.6． 8．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 9．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 10．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意，弄清题中各条线段之间的和差关系是解题的关键． 依据已知条件及题中各条线段之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：是的中点，是的中点， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 【答案】50 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．设，根据线段的和差关系，中点的概念，结合，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则． 因为N是的中点， 所以． 因为，所以， 解得， 所以． 12．如图，点C为线段上一点，点M、点N分别是线段、的中点． (1)若，，求线段的值； (2)若点C在线段上移动，试说明与之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，得到，，再根据线段的和可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得，，再根据线段的和可得答案． 本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点M、点N分别是线段、的中点，，， ∴， ∴； （2）∵点M、点N分别是线段、的中点， ∴， ∴． 13．如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①＞；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ， ， ． 14．如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的定义，分类讨论思想，理解图示，中点的定义，掌握线段和差的计算方法，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段和差的计算，中点的定义进行计算即可求解； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在点左边时，；当点在点右边时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：求线段的长，补全下面过程如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 为线段的中点 ∴ （线段中点的定义）； 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 故答案为：或． 15．如图，点在线段上，点、分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，你能求出的长度吗？并说明理由； (3)若点在的延长线上，且，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，，见解析 (3)能，结论：，理由见解析 【分析】本题考查线段的和差，熟练掌握整体法求线段和差的方法以及正确根据题意画出图形是解题的关键． （1）利用中点分别求出和，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用中点定义得出，，再利用即可解决； （3）先画出图形，先利用中点定义得出，，再利用即可解决． 【详解】（1）解：（1）∵点、分别是、的中点，，， ∴，， ∴； （2）解：能求出的长，理由： ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴能求出的长，； （3）解：能求出的长，结论：，理由： 如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$