第03讲 线段的长短比较（1个知识点+3大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 线段的长短比较（1个知识点+3大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.学会比较线段长短的方法； 1.掌握比较线段长短的方法； 知识点01：线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 【即学即练1】 1．杭州到上海有条路可以走（如图所示），则其中最近的一条路线的序号是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【即学即练2】 2．下列图形中能比较大小的是(　　) A．两条线段 B．两条直线 C．直线与射线 D．两条射线 题型01 作线段 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 3．如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 题型02 两点之间线段最短1．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 2．如图，从A地到B地有五条路线，分别记为路线①②③④⑤，小华说走路线③从A地到B地最近．她这样说的依据是 ． 3．如图，已知点A，B，C，D，按要求画图：    (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)画点P，使最小，并写出画图的依据． 题型03 两点间的距离 1．如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点A B．点B C．之间 D．之间 2．已知线段，直线AB上有一点C，且，点M是线段AC的三等分点，则AM的长是 ． 3．如图在线段AB上有一点C，线段AB=6cm，AC=4cm，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， 求线段MN的长 1．下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 2．下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 4．下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 5．如图，某同学家在A处，现在该同学要去位于B处的同学家，请帮助他选择一条最近的路线为（    ） A． B． C． D． 6．数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 7．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 8．如图所示，小明家在点A处，学校在点B处，则小明家到学校有 条路可走，一般情况下，小明通常走 路，其中的数学道理是 ． 9．如图，琳琳将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为m和n，则m与n的大小关系是 ，理论依据是： ．    10．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．      11．已知线段，，请用尺规作线段． 12．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 13．如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 14．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 15．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 线段的长短比较（1个知识点+3大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.学会比较线段长短的方法； 1.掌握比较线段长短的方法； 知识点01：线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 【即学即练1】 1．杭州到上海有条路可以走（如图所示），则其中最近的一条路线的序号是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【详解】此题主要考查了线段的性质 根据两点之间线段最短的性质作答． 从杭州到上海共有4条路，第（2）条路最近，理由是两点之间，线段最短．故选B. 思路拓展：此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短． 【即学即练2】 2．下列图形中能比较大小的是(　　) A．两条线段 B．两条直线 C．直线与射线 D．两条射线 【答案】A 【分析】直接利用直线、射线、线段的性质分析得出答案． 【详解】A．两条线段可以比较大小，故此选项正确． B．直线没有长度，无法比较，故此选项错误； C．直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误； D．射线没有长度，无法比较，故此选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，正确掌握它们的性质是解题的关键． 题型01 作线段 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 2．已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图： （1）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 题型02 两点之间线段最短 1．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 2．如图，从A地到B地有五条路线，分别记为路线①②③④⑤，小华说走路线③从A地到B地最近．她这样说的依据是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查的是线段的性质，两点之间线段最短．根据两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：她这样说的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 3．如图，已知点A，B，C，D，按要求画图：    (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)画点P，使最小，并写出画图的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段，及两点之间线段最短， （1）根据线段的定义画图即可． （2）根据射线的定义画图即可． （3）根据直线的定义画图即可． （4）根据线段的性质：两点之间线段最短，连接，交于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）解：如图，射线即为所求；    （3）解：如图，直线即为所求；    （4）解：如图，连接，交于点P， 此时，为最小值， 则点P即为所求．    画图的依据为：两点之间线段最短． 题型03 两点间的距离 1．如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点A B．点B C．之间 D．之间 【答案】A 【分析】本题考查了比较线段的长短．由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则，则所有人的路程的和是：， ④当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则，则所有人的总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 2．已知线段，直线AB上有一点C，且，点M是线段AC的三等分点，则AM的长是 ． 【答案】4或8或或 【分析】应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即点C在点B的右侧或点C在点B的左侧两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①如图1所示，当点C在点A与B之间时， ∵线段，， ∴． ∵点M是线段AC的三等分点， 当点M靠近点A时，； 当点M靠近点C时，； ②当点C在点B的右侧时， ∵线段，， ∴， ∵点M是线段AC的三等分点， 当点M靠近点A时，； 当点M靠近点C时，； 综上所述，线段的长为4或8或或． 故答案为：4或8或或． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 3．如图在线段AB上有一点C，线段AB=6cm，AC=4cm，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， 求线段MN的长 【答案】3 【分析】根据题意可得BC＝AB﹣AC＝6﹣4＝2，由点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可得MC＝AC，NC＝BC ，即MN＝MC+NC即可得出答案． 【详解】解：∵AB＝6cm，AC＝4cm， ∴BC＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， ∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， ∴MC＝AC ＝，NC＝BC=， ∴MN＝MC+NC＝2+1＝3． ∴线段MN的长3(cm)． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解决本题的关键． 1．下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 【答案】D 【分析】依据两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 从张庄去李庄走直线最近，属于“两点之间线段最短”的知识，故选项不符合题意； B. 向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延长”的知识，故选项不符合题意； C. 数轴是一条特殊的直线，属于数轴的定义知识，即“数轴是一条有方向、有刻度的直线”，故选项不符合题意； D. 一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标，属于“经过两点有且只有一条直线”，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键． 2．下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和线段的性质．根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ③从地到地架设电线，尽可能沿线段架设，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可． 【详解】A. 延长线段和延长线段的含义不同，延长方向不同，则延长后的端点不一样，故该选项错误； B. 射线和射线不是同一条射线，射线是有方向的，故该选项错误； C. 两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离，故该选项正确； D. 直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，故该选项错误， 故选：C． 4．下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故选A． 5．如图，某同学家在A处，现在该同学要去位于B处的同学家，请帮助他选择一条最近的路线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段的长度，所以想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：，据此解答即可． 【详解】解：根据两点之间线段最短可知两点之间的最短距离为线段的长度， ∴一条最近的路线为， 故选：B． 6．数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查了两点间的线段，分类讨论是解题关键．分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的差，可得答案． 【详解】解：当在线段．上时，． 当在线段的反向延长线上时，， 综上所述：， 故答案为：8或4． 7．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 【答案】 小 两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．利用两点的所有连线中，线段最短，可以得出结论． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴四边形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原四边形的周长， 故答案为：小；两点之间线段最短． 8．如图所示，小明家在点A处，学校在点B处，则小明家到学校有 条路可走，一般情况下，小明通常走 路，其中的数学道理是 ． 【答案】 3 ② 两点之间，线段最短 【分析】此题主要考查了线段的性质：两点之间，线段最短．根据两点之间线段最短的性质作答． 【详解】解：从A处到B处共有3条路，一般情况下，小明通常走第②条路，其中的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：3；②；两点之间．线段最短． 9．如图，琳琳将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为m和n，则m与n的大小关系是 ，理论依据是： ．    【答案】 两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答． 【详解】解：根据两点之间，线段最短， 得． 故答案为：，两点之间，线段最短． 10．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．      【答案】4 【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过． 【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，如下图：      线段与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短， 故答案为：4 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移． 11．已知线段，，请用尺规作线段． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是画线段，射线，直线，作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，熟练的画图是解本题的关键．先作射线，在上依次截取，再在线段上截取，则线段即为所求． 【详解】解：先作射线，在上依次截取，再在线段上截取，则线段即为所求． 12．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 【答案】(1)见解析 (2)；两点之间线段最短 【分析】本题考查了画线段、直线、射线；两点之间线段最短，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． （1）根据线段、直线和射线的定义即可画出图形； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线、直线，即为所求； （2）解：根据两点之间线段最短得． 故答案为：，两点之间线段最短． 13．如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了应用与设计作图、直线、射线、线段、两点之间线段最短等知识，解决本题的关键是区别直线、射线、线段． （1）①连接即可；②画直线即可；③画射线，交于点O即可； （2）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：画图如图所示． （2）解：通过测量线段的长度，可知，可以解释这一现象的基本事实为两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 14．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 15．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，． 【分析】本题考查了整式的加减，数轴等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． （1）以所在点为原点，到的距离为半径即可在数轴上画出原点； （2）利用尺规作图作出表示的点和表示的点，现根据点和点在数轴上的位置即可比较与的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴，表示的点之间为1个单位长度，先用刻度尺或圆规量出，两点间的距离，再从右侧画出距离1个单位长度的点，这个点就是原点；如图所示： ； （2）解：如图，∵，， ∴作，，则点表示， 作，则点表示， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$