第一章直角三角形的边角关系单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级下册

九年级下学期第一章直角三角形的边角关系单元测试 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1.如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列说法中,正确的是() A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡 C.的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关 2.已知在中,,那么的值为( ) A. B. C. D. 3.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为 ,大桥主架的顶端D的仰角为 ,已知测量点与大桥主架的水平距离,则此大桥主架顶端离水面的高为( ) A. B. C. D. 4.如图,在由小正方形组成的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在网格的格点上,连接,则等于( ) A. B. C. D. 5.某拦水坝横截面如图所示,若迎水坡的坡比是,坝高,则迎水坡的长度是( ) A. B. C. D. 6.如图,是一个中心对称图形,为对称中心,若,,,则的长为( ) A. B. C. D.4 7.已知为锐角,下列结论:若,则.其中正确的有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 8.如图,在中,,,,过点作,垂足为点,连接,则的值为( ) A. B. C. D. 9.把正方形中,点P在对角线上,且点P把线段分为两部分,如果点P到边的距离为2,那么=( ) A. B.1 C.3或1 D.或 10.在中,,,,则此三角形解的情况是( ) A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 二、填空题 11.在中,,D为垂足,,那么 . 12.已知,则的度数为 . 13.已知直线,相邻的两条平行直线间的距离均为,矩形的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,,则 . 14.“十一”期间,小华和妈妈到某景区游玩,小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度,他从点D处的观景塔出来走到点A处,沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点,此时回望观景塔,更显气势宏伟.在点观察到观景塔顶端的仰角为;再沿水平方向继续往前走到处,回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为,测得之间的水平距离为10米,则观景塔的高度约为 米.(结果保留根号) 15.如图,正方形的边长是3,,连接交于点O,并分别与边交于点,连接,下列结论:;;;当时,,其中正确结论的个数是 三、解答题 16.计算:. 17.计算:. 18.如图,在中,,于点,是的中点,连接,,. (1)求线段的长. (2)求线段的长. 19.如图,某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上,它向东匀速航行了60海里到达点C处,此时测得灯塔A在它的北偏东方向上,从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处,此时测得灯塔A在它的北偏西方向上,求该渔船航行的速度为每小时多少海里?, 20.实验是培养学生创新能力的重要途径,如图是小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图,已知试管,,试管倾斜角为.(参考数据:;). (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度: (2)实验时,导气管紧靠水槽壁,延长交的延长线于点,且于点(点在一条直线上),经测得:,,,求线段的长度(结果精确到). 21.如图,是某地计划为学校教师添置的一种用于午休的躺椅.图是将椅子水平摆放,已知座面宽,座面高,背垫为,且点到地面的垂直距离为,.图是水平摆放时的形状,脚垫长,,.(结果保留位小数) (1)求背垫的长; (2)如图(2),求午休躺睡时课椅点与点之间的水平距离. (参考数据:,,,) 22.某数学兴趣小组在学习完“,,角的三角函数值”这一节课后,做了如下探究:如图1,中,,,,延长至点D,使.根据,,得出,,,,又∵,,∴,则求出,同时还求出. (1)如图1,根据以上的思路和数据,得出_ ,_.(写出最后结果) (2)如图2,中,,,请你参考兴趣小组的思路,求的值. (3)如图3,某工程队在施工过程中,要对一个三角形区域进行勘探.已知,,,请帮助他们求出的面积. 23.阅读下面材料. 小明遇到这样一个问题: 如图,在四边形中,,,,,求的长. 小明发现,延长与相交于点,通过构造.经过推理和计算能够使问题得到解决(如图).解决下列问题: (1)请直接写出的长为_; (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长. (3)参考小明思考问题的方法,解决问题:如图,在四边形中,,,,,求的长. 试卷第2页,共6页 试卷第1页,共6页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 九年级下学期第一章直角三角形的边角关系单元测试 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．已知在中，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意，作出图形，再由勾股定理求出，最后由正切函数定义求解即可得到答案． 本题考查勾股定理及三角函数定义，熟练掌握勾股定理及正切函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 在中，， 则由勾股定理可得， ， 故选：B． 3．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的关键． 在和中，由三角函数得出，，根据即可求解． 【详解】在和中，，， ∴，， ∴． 故选C． 4．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 5．某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键． 利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得：， 则． 故选：B． 6．如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 7．已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，综合性较强，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 根据锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：①为锐角，，正确； ②为锐角，，，正确； ③∵为锐角， ∴， ∴，正确； 故选D． 8．如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【详解】过点B作于点F． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴，即 ∴ ∴， ， ． ， ， ． 故选：C． 9．把正方形中，点P在对角线上，且点P把线段分为两部分，如果点P到边的距离为2，那么=（    ） A． B．1 C．3或1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查求正切，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点P作于点F，则，，分①当时，②当时，两种情况讨论，证明，得到，从而求出，继而求出，从而得解． 【详解】解： ①当时，如图所示， 由可得， 又∵， ∴，即， 由正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，则为直角三角形， ∴， ②当时，如图所示， 由，可得， 又∵， ∴即 由正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，则为直角三角形， ∴， 综上所述：或2 故选：D． 10．在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意求出的值并画出图形，与的值进行比较即可得到此三角形解的情况. 【详解】由题意得： ， ， 如图， ∴此三角形解的情况有两种， 故选： B. 二、填空题 11．在中，，D为垂足，，那么 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意画出图形，根据，设，求出的长，利用角的转换以及正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，若，则，据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 13．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 14．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 15．如图，正方形的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是 【答案】2 【分析】证明得到，进而可判断①；证明得到，进而可判断②；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴ ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴=， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴==， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 故答案为：2个． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义的综合运用，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 16．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解： ． 18．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1)25 (2)7 【分析】本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键． （1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答； （2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即，解得：， ∵是的中点， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 19．如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    【答案】渔船航行的速度为每小时40海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．理解题意，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 过点作于点，设海里，用表示，，，根据列出关于的方程，解出，再求出，进而求出，由此即可求出该渔船的航行速度． 【详解】解：过点作于点，    由题意可得：，，， 设海里， 在中， 海里， 在中， ， ， ， 解得：， 即海里，海里， ， ， 又， 海里， 海里， 该渔船航行的速度为（海里/小时） 答：渔船航行的速度为每小时40海里． 20．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 21．如图，是某地计划为学校教师添置的一种用于午休的躺椅．图是将椅子水平摆放，已知座面宽，座面高，背垫为，且点到地面的垂直距离为，．图是水平摆放时的形状，脚垫长，，．（结果保留位小数） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点与点之间的水平距离． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，得，继而得到，在中，根据，代入数据计算即可； （2）过点作，过点作，，分别垂直于，垂足分别为，，，证明四边形是矩形，得，，在中，根据，延长交于点，证明四边形是矩形得，在中，，然后根据可得结论． 【详解】（1）解：过点作的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵点到地面的垂直距离为，座面高， ∴， ∴， 在中，， 答：的长为； （2）过点作，过点作，，分别垂直于，垂足分别为，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 延长交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：午休躺睡时课椅点与点之间的水平距离为． 22．某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 【答案】(1)75， (2) (3)平方千米 【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案； （2）延长到I，使，设，由勾股定理得：，，，则可得出答案； （3）过点H作，垂足为O，求出和，由三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ． 故答案为：75，； （2）解：延长到I，使，设， ∵，， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点H作，垂足为O，如图所示： 由兴趣小组的结论，可得， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由第（2）问可知，， ∴， ∴， ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 23．阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出； （2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长与相交于点， ∵，， ∴．， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长与相交于点． ∵， ∴， ∴，． 设，则，，． 在中，． ∵， ∴，即， ∴． 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 试卷第2页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$