第十六章 二次根式单元复习（专题训练）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

第16章 二次根式的九类题型 【题型目录】 题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围 题型二、二次根式的双重非负性 题型三、二次根式的计算 题型四、二次根式的化简 题型五、二次根式求值 题型六、二次根式比较大小和估值 题型七、二次根式规律题 题型八、二次根式的实际应用 题型九、二次根式综合应用 【题型讲解】 题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围 【典例分析】 例1．（2024·云南昆明·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【针对训练】 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）若式子有意义，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·乐山·期中）若式子有意义，则a的取值范围为____________ 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 题型二、二次根式的双重非负性 【典例分析】 例1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的算术平方根的平方根为 ． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 2．（2023·宁夏银川·二模）已知a，b满足等式，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ． 题型三、二次根式的计算 （一）二次根式的加减乘除 【典例分析】 例1．（23-24九年级下·全国·期末）（1）计算：； (2)； (3)． （二）用完全平方公式和平方差公式计算 【典例分析】 例2.（1）． (2) (3)； （三）化简求值 【典例分析】 例3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4) 2. （23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)． (2) (3) 3．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 题型四、二次根式的化简 （一）已知取值范围化简二次根式 【典例分析】 例1.．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． （二）需求取值范围化简二次根式 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·上海·期中）化简： 【针对训练】 1.（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 2.化简++ （三）已知化简结果反求取值范围 【典例分析】 例1.若,则m的取值范围是___________ 【针对训练】 1.若,则的取值范围是___________ 2.若化简为2x-5,则x的取值范围_________ 3.若化简结果为2，则a的取值范围是_________ 题型五、二次根式求值 【典例分析】 例1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，，则 ． 例2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．-5 例3．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 【针对训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，且，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型六、二次根式比较大小和估值 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）估计的值更靠近整数（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 例2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“”、“”、“”）． 例3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（24-25九年级上·江苏·期中）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 5．（24-25九年级上·重庆开州·期中）比较大小：2，，的大小顺序是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 题型七、二次根式规律题 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　　． 2（24-25九年级上·重庆万州·期中）．观察下列各式： 11+（1）， 11+（）， 11+（）， … 请利用你发现的规律，计算： ． 3.（24-25八年级上·四川成都·期中）．阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子：　 　（n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 题型八、二次根式实际应用 【典例分析】 例1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【针对训练】 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． (1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 题型九、二次根式综合应用 【典例分析】 例1．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【针对训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 3．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式的九类题型 【题型目录】 题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围 题型二、二次根式的双重非负性 题型三、二次根式的计算 题型四、二次根式的化简 题型五、二次根式求值 题型六、二次根式比较大小和估值 题型七、二次根式规律题 题型八、二次根式的实际应用 题型九、二次根式综合应用 【题型讲解】 题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围 【典例分析】 例1．（2024·云南昆明·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零，理解相关知识是解答关键． 根据二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零列出不等式组来求解． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得且． 故答案为：且． 【针对训练】 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式分母不为零．利用二次根式和分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且x≠4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且x≠4 故答案为：． 3．（24-25八年级上·乐山·期中）若式子有意义，则a的取值范围为____________ 【答案】a≥﹣1且a≠2，a≠3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件,分式有意义和零次幂的条件．根据二次根式被开方数不小于零的条件，分母不为零，底数不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 即a≥﹣1且a≠2，a≠3 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 【典例分析】 例2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】5或/或 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，即，解得， ∴， ∴或， 故答案为：5或． 3．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 题型二、二次根式的双重非负性 【典例分析】 例1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的算术平方根的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出、的值，然后根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 的算术平方根的平方根为． 故答案为：． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质，平方根，解二元一次方程组．先根据平方和被开方数的非负性得出，，联立求出x和y的值，再求平方根即可． 【详解】解：，，且与互为相反数， ，， 联立，解得， ， 的平方根为． 故答案为：． 2．（2023·宁夏银川·二模）已知a，b满足等式，则 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b，然后根据积的乘方逆运算法则解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，属于常考题型，熟练掌握非负数的性质、能逆用积的乘方法则求解是关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的性质和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意求得x的取值范围，再结合已知不等式确定其随x的增大而增大即可求得其最小值，m小于其最小值即可． 【详解】解：由题意知，解得，则， ∵在是随x的增大而增大的， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型三、二次根式的计算 【典例分析】 （1） 二次根式的加减乘除 例1．（23-24九年级下·全国·期末）（1）计算：； (2)； (3)． 【答案】（1）； (2)； (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，根据二次根式的性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）根据立方根，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可； （3）根据零指数幂，绝对值，化简二次根式进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）解：原式； （3）解：原式． （二）用完全平方公式和平方差公式计算 例2.（1）． (2) (3)； 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据平方差公式，乘方、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再算乘法，后算加减． （2）先计算乘方，零指数幂，再运用平方差公式，计算即可； （3）先利用完全平方公式、平方差公式计算，再进行二次根式加减运算； 【详解】 解：（1） ． （2）原式 ； （3）原式= ； （三）化简求值 例3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则． 先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先算乘方、开方、绝对值，再算加减； （2）利用二次根式乘法法则，负整数指数幂法，则以及绝对值的代数意义，计算即可． （3）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （4）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）原式 ． （3）原式； （4）原式 ． 2. （23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． （2）先将括号展开，化简二次根式，再算乘除法，最后合并． （3）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． （3）解：原式 ； 3．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分数的化简求值，分母有理化，根据分式的混合运算进行化简，然后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 当时，原式． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，进行加减运算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是根据题意得到．先求得，代入，再根据二次根式分母有理化，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型四、二次根式的化简 （1） 已知取值范围化简二次根式 【典例分析】 例1.．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题关键． 首先根据数轴确定，的符号，然后根据二次根式的性质即可进行化简． 【详解】解：根据数轴可以得到：， ，， 原式 ． 故选：D． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ∴ ； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． （2） 需求取值范围化简二次根式 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 例2.（24-25八年级上·上海·期中）化简： 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，∴ ∴ ∵原式 又∵ ∴ ∴原式 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 【针对训练】 1.（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 【答案】． 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出x的取值范围是解题关键．首先利用三角形三边关系得出的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ∴，即， ∴，， ∴． 2.化简++ 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，∴， ∴ ∵原式 又∵ ∴ ∴原式 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． （3） 已知化简结果反求取值范围 【典例分析】 例1.若,则m的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可知即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【针对训练】 1.若,则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质列不等式求取值范围即可 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2.若化简为2x-5,则x的取值范围_________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质列不等式求取值范围即可 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3.若化简结果为2，则a的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质列不等式求取值范围即可 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型五、二次根式求值 【典例分析】 例1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 例2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．-5 【答案】B 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的运算，根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 例3．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ． 【针对训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ∴，， ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，以及二次根式的化简公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 将所求式子左右两边平方，利用二次根式的化简公式及完全平方公式变形后，将已知的的值代入，开方即可求出值． 【详解】解：， ， ， ，即， 则． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，根据题意得出，进而，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)11 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得m值，进而利用完全平方公式求得，然后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ，即， ， 的值为2； （2）解：∵，即， ，即， ， ， 即的值为11． 题型六、二次根式比较大小和估值 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）估计的值更靠近整数（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，先化简二次根式，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴的值更靠近整数10， 故选：D． 例2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先把化成，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 例3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 故答案为：． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏·期中）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的化简和无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行化简、估算． 先计算原式得到，再运用算术平方根知识进行估算． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式的值应在7和8之间． 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 将转换为，转换为，比较大小即可． 【详解】解：，， ， 故， 故答案为： 5．（24-25九年级上·重庆开州·期中）比较大小：2，，的大小顺序是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】先化简这三个二次根式就可以判断它们的大小． 【详解】解：22， ， ∵， 故选：B． 【点睛】主要考查了二次根式的化简，掌握把外面的系数移到根号里面是解题关键． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 题型七、二次根式规律题 【典例分析】 例1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　73　． 【答案】见试题解答内容 【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可求得a+b的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数）， ∵a•， ∴a＝8，b＝82+1＝65， 则a+b＝8+65＝73． 故答案为：73． 【点睛】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键． 2（24-25九年级上·重庆万州·期中）．观察下列各式： 11+（1）， 11+（）， 11+（）， … 请利用你发现的规律，计算： ． 【答案】2018． 【分析】将各项按照规律写出来，小括号外共有2018个1，所有的小括号内抵消，剩下第一项1和最后一项，即可得出答案． 【解答】解：原式＝1+111...+1 ＝2018+1 ＝2018． 【点睛】本题考查了探索规律，二次根式的性质与化简，注意小括号外共有2018个1． 3.（24-25八年级上·四川成都·期中）．阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子：　　（n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意给出的运算过程即可求出答案． 【解答】解：（1） （2）原式11 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解分母有理化，本题属于基础题型． 题型八、二次根式实际应用 【典例分析】 例1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 【针对训练】 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解，，可得，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和12； ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． (1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，二次根式的混合运算． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ． 【详解】（1）解：根据题意，需要彩纸的面积为 ； （2）解：当，时． ． 题型九、二次根式综合应用 【典例分析】 例1．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 【针对训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【详解】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，整式的加减中的化简求值等知识点，利用所发现的规律正确列式计算是解题的关键． （1）直接列式计算即可得出答案； （2）从（1）中的计算结果，即可猜出的值，然后列式计算说明理由即可； （3）将，，，，代入进行化简，得到，然后把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解：从（1）中的计算结果，可猜出， 理由如下： ， 故答案为：； （3）解： ， 的值是． 3．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 【答案】(1)④； (2)； 【分析】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，进行分析判定即可求解； （2）根据材料提示方法变形，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且二次根式中被开方数为非负数， ∴④出错了，， 故答案为：④，； （2）解： ； ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $$