广东省肇庆市德庆县香山中学2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

第 1 页 共 4 页 2025届高三 12月联考试卷数学科目 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合  2 2 0A x x x    ，集合  1 3B x x   ，则 A B 等于（ ） A.  1 3x x   B.  1 1x x   C.  1 2x x  D.  2 3x x  2.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 3.在△ABC中，点 D在边 AB上， 2BD DA ．记CA mCD n     ， ，则CB   ( ) A．3 2m n  B． 3 2m n  C． 2 3m n  D． 2 3m n   4. 已知函数  f x 是定义域为R的偶函数，在区间  0,  上单调递增，且对任意 1 2,x x ，均有      1 2 1 2f x x f x f x 成立，则下列函数中符合条件的是（ ） A. lny x B. y x C. 3y x D. 2 xy  5．已知圆柱的高为 2，侧面积为 4π，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的 体积为（ ） A． 8 2π 3 B． 8 3π 3 C． 4 2π D．4 3π 6.已知 }{ na 是各项均为正数的等差数列，且 202 1076  aaa ，则 87 aa  的最大值为（ ） A．10 B．20 C．25 D．50 7.已知 π πsin sin cos sin 6 3                 ，则 πtan 2 4       （ ） A． 3 B． 3 3 C．2 3 D．2 3 8．已知  f x 是定义在 R上的奇函数，当  0,1x 时，   πcos 2 f x a x  ，若函数  1y f x  是偶函数， 则下列结论不正确的为（ ） A． 1a  B．  f x 的最小正周期 4T  C．   6logy f x x  有 4个零点 D．    2023 2022f f 第 2 页 共 4 页 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.设 1 2 3, ,z z z 为复数， 1 0z  ．下列命题中正确的是（ ） A. 若 2 3z z ，则 2 3z z  B. 若 1 2 1 3z z z z ，则 2 3z z C. 若 2 3z z ，则 1 2 1 3z z z z D. 若 2 1 2 1z z z ，则 1 2z z 10.如图是函数    sinf x A x   （ 0A  ， 0  ， π2 ）的部分图像，则（ ） A．  f x 的最小正周期为 π B． 5π 6 x  是的函数  y f x 的一条对称轴 C．将函数  y f x 的图像向右平移 π 3 个单位后，得到的函数为奇函数 D．若函数  y f tx （ 0t  ）在 0, π 上有且仅有两个零点，则 5 4,6 3t     11.如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M，N，P分别是 1AA ， 1CC ， 1 1C D 的中点，Q是 线段 1 1D A上的动点，则（ ） A．存在点 Q，使 B，N，P，Q四点共面 B．存在点 Q，使 PQ∥平面MBN C．三棱锥 P-MBN的体积为 1 3 D．经过 C，M，B，N四点的球的表面积为 9 2  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 记 nS 为等比数列 na 的前n项和，若 1 1a  ， 3 3 4 S  ，则 4S  ____ 13.曲线 x xy 2ln  在 x＝1处的切线的倾斜角为α，则 ) 2 2cos(   的值为__________ 14.已知   3 23 2, 0, ln , 0, x x x f x x x x        若函数    g x f x m  有两个零点，则m的取值范围为________ 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分 13 分) 在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，满足 a＝2cos B(bcos C＋ccos B)． (1)求 B； (2)已知点 D在边 AC上，且 BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求 a＋c的最小值． 16.(本小题满分 15 分) 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，侧面 1 1ABB A 是菱形，且 1CA CB . （1）证明： ACBCBA 11 平面平面  ； （2）若 01 60BAA  ， 1 1AC BC BA  ，求二面角 1 1 1C AB C  的余弦值． 17. (本小题满分 15 分) 已知函数    ln mf x x m m x    R . （1）求  f x 的极值； （2）对任意  0,1x ，不等式   1 e f x   恒成立，求m的取值范围. 第 4 页 共 4 页 18.(本小题满分 17 分) 设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)若数列{bn}满足 b1＝a2，bn＋1＝ an，n为奇数， an－bn，n为偶数， 求数列{bn}的前 n2 项的和． 19.(本小题满分 17 分) 记  f x 、  g x 分别为函数  f x ，  g x 的导函数.若存在 0x R满足    0 0f x g x 且    0 0f x g x  ， 则称 0x 为函数  f x 与  g x 的一个“S点”. (1)证明:函数  f x x 与   2 2 2g x x x   不存在“S点”; (2)若函数   ² 1f x ax  与   lng x x 存在“S点”，求实数 a的值 (3)已知函数   2f x x m   ，   e xng x x  对任意 0m  ，判断是否存在 0n  ，使得函数  f x 与  g x 在 区间  0,  内存在“S点”，并说明理由. 2025届高三12月联考试卷数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.【答案】A解析：集合A={x-1<x<2},则AUB={x-1<x<3}。 2.【答案】B【详解】设圆锥的母线长为1，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 πl=2π×√2，解得1=2√2， 3.【答案】D解析：因为点D在边AB上，BD=2DA,所以BD=2DA,即CD-CB=2(CA-CD), 所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3i. 4.【答案】B【详解】对于A:f(xx)=nx=ln+ln=f(x)+f(x),故A错误： 对于B:f(xx)=x=xlx=f(x)f(x), 又y=f(x)=定义域为全体实数，它关于原点对称，且f(-x)=上x==f(x), 即函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)=x单调递增，满足题意. 对于C:f(-1)=-1=-f(),故y=x3不是偶函数，故C错误： 对于D:f(x)f(x)=22=2=f(k+x),故D错误： 5.【答案】A由圆柱侧面积S=2wh=4π=4π，解得r=1,因为圆柱的上、下底面圆周都在某一 球的球面上，所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为R,则由R =P+=2, 所以r--25-。 3元 6.【答案】C解：由a。+2a,+ao=20得2(a,+a)=20,即a,+ag=10,由基本不等式 a+as=10≥2Va,a得a7a≤25，当且a,=a=5时，等号成立。 7.【答案】C 【详解】由sinasin 6 cos'a-Isinacosa, 2 2 cos2a=1 即3(cos2a-sim2a)=sin a cosa,所以3 sin2a,所以tan2a=V5,所以 -引-6 第1页共8页 8.【答案】D对于A:由题意可得：f(0)=a-1=0,解得a=1,故A正确；对于B:·y=f(x+l) 是偶函数，则f(x+I)=f(-x+1),则f(2+x)=f(-x),又，f(x)为奇函数，则f(-x)=-∫(x),可 得f(2+x)=-f(x),.f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=fx),则f(x)的最小正周期T=4,故B 正确；对C:令f(x)-log=0,则f(x)=logx,注意到此时x>0,分别作出y=f(x)y=log6的 图象， 由图象可知：y=f(x),y=log6有4个交点，故y-f(x)-logx有4个零点，故C正确； 对D::f(3)=-f(-3)=-f(0)=-1,f(2)=f(0)=0,则f(2023)=f(3)=-1,f(2022)=f(2)=0,可得 f(2023)<f(2022),故D不正确.故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.【答案】BC 【详解】由复数模的概念可知，=不能得到2=士3，例如2=1+i,33=1-i,A错误： 由2=，23可得2(32-23)=0，因为31≠0，所以22-23=0，即22=23，B正确： 因为3川21，‖，而2=23，所以月3日21，所以32=3，C正确： 取=1+名=1-1，显然满足2=，但名≠2，D错误， 故选：BC 10【答案】加【详解1由图像可知，42，子-骨吾-子，即1=，故人正确： o-2径-2，此时e)=2n2x+p,又：合2)在图像上，2=2sn2x号+0)，解得 T 12 +2k(()-2sim(2x++2)-2sim(2x+ :f)=2sim(2x+爱，2x+号-+-hz(keZ),x=吾+低ke, 32 122 当x=是函数y=()的一条对称轴时，此时：不符合题意，故B错误 6 将因的图象向右平移等个单位后得到的图象对应的解析式为： gt)=2sm2x-孕+孕=2sm2r-孕不为奇函数，故c错误： 第2页共8页 令fm)=2sin(2m+受=0，解得x=-元+红keZ), 6t 2t 6 又因为函数y=f(x)>0)在[0，π]上有且仅有两个零点 (54水 61 4 故选：AD. 4 ，解得3≤t<牛，故D正确. 6 3 ->π 11.【答案】ABC 【详解】如图，在正方体ABCD-ABCD中，连接AB,CD, 因为N,P分别是CC,CD的中点，所以CD∥PN,又因为CD∥AB,所以AB∥PN, 所以A,B,N,P四点共面，即当Q与A重合时，B,N,P,Q四点共面，故选项A正确； 连接PQ,AC,当Q是DA的中点时，因为PQ∥AC,AC∥MN,所以PQ∥MN, 因为PQt平面BMN,MNc平面BMN,所以PQM平面BMN,故选项B正确： D 连接D,M,D,N,DB,因为DM∥BN, 11 所以V三收P-Wax=V三棱w-P限v='三枝A-Pav=V三校m-nm=气××l×lx2=习 32 故选项C正确； 分别取BB,DD的中点E,F,构造长方体MADF-EBCN, 则经过C,M,B,N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球， 设所求外接球的直径为2R,则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径 即(2R)=AB+BC°+CN2=4+4+1=S,所以经过C,M,B,N四点的球的表面积为4πR2=9π，故 选项D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案：8 解析：设等比数列公比为9，由已知得：4=1，S,=4+a+4=4 -所以S,=8 :atagtag=q= 第3页共8页 13.答案：3 解标：依题志，少十是， ，所以tana=+=3, 所以cos(2a+)=-sin2a=- =2tana =2x3 3 sin2 a+cos2 a tan2a+1-32+1-“5 4【答案】(2u2习 【解析】当x≤0时，f(x)=x2+3r2-2,则f(x)=3x2+6xr=3x(x+2当xe(-o,-2)时，f(x)>0,函 数∫(x)单调递增：当x∈(-2,0)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减所以x≤0时， f国=2小(-2八+3x-2y-2=2当x>0时，f=则f()=1-n 当x∈(0，e)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增：当x∈(e,+o)时，'(x)<0,函数f(x)单调递减 所以x>0时，f)=fe)=e-上画出函数f(x)的图象如图所示： 因为函数g(x)=f(x)m有两个零点，所以y=m与y=f(x)的图象有两个交点， 由图可知m<-2或。<m<2所以m的取值范围为（←-2U2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：()油正孩定理得：a=b C sin A sin B sin C =2R1分 sin A=2cos B(sin Bcos C+sin Ceos B)=2cos Bsin A,.......................3 国为inA0,所以c0sB=）4分 2 又B(0动所以B=胥5分 (2)图为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD= 6 6分 又SMBc=SCD+SaMB,所以acsin=la-2:sin+ 32 Gc-2-sinI 6 8分 第4页共8页 ac=a+c,所以+1=3 化简得3 10分 所以a+c= +。+-哥+片丹小+周9 12分 /3 当且仅当=9时，等号成立，即a十c的最小值为83 …13分 a c 16.解：(1)设AB∩AB=O,连接CO.因为侧面ABB,A是菱形，所以AB⊥AB,1分 又因为CA=CB,所以CO⊥AB2分 又AB∩CO=O,3分 所以AB⊥面CAB,4分 又AB,C面CAB,,所以面CBA⊥面CB,A.5分 (2)因为CA=CB,所以CO⊥A,B,由(1)知CO⊥AB,则CO⊥平面ABB,A6分 设OB=1.如图，以O为原点，分别以OA,OB,OC方向为x轴、y轴、z轴 正方向建立空间直角坐标系，7分 则C0,0,5B(-5,0.0,4(0,-1,0),B(01,0),因为 CC=BB=(-V5,-1,0),易得C(-5,-1,5) 48=(5,l0,Ac=(0,15),AC=(-5,0,5) 10分 (或者不求C的坐标，利用AC=AC也可得出AC的坐标) 设n=(xy,二)是面CAB,的一个法向量，则 4瓜i=0即-5x+%=0,可取n=5,-） 4c,n=0by+5a,=0 12分 设m=(x,y2,2)是面C4B的一个法向量，则 4gn=0即-5x+=0 4Cm=0-√5x,+V5z,=0 可取m=山5， 14分 cos(m.i) 丽 所以二面角C-AB-C的余弦值为 15分 5 第5页共8页 解：0的定义城0/)-是- r2。l分 当m≤0时，∫'(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增，f(x)无极值；2分 当m>0时，令f(x)=0,得x=m.3分 故当x∈(0，m)时，'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(m,+oo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，5分 此时f(x)在x=m处取到极小值nm-m+l,无极大值.…6分 (②)方法-一：对在意0<x<1时，了)>-恒成立，即、+ m>- e恒成立.7分 x-1 x-Inx-1-I )x-xe0少则g)= 令 ·9分 (x-1) 令h()=x-nr-1-。xe(0.1,则h()=<0,10分 即A)在区间Q)上单调递说。又日=0， 1分 所以当xe0日时，A)>0,即g'()>0,此时g()单调递增：…2分 当x时，4<0，即g()<0,此时8)单调适减 13分 ln-+ 所以g()m=8 -eee 11 ，14分 所以m>。即m的取值范围为。+切15分 方法二：由(1①知了()=华，当m≤0时，()在区间0,1)上单调递增.…7分 因为得-1m+me=(e-m-1<。所以m50不符合愿意：8分 当0<m<1时，当x∈(0，m)时f(x)单调递减，当xe(m,)时∫(x)单调递增. 第6页共8页 对在意0<x<1时，f(x)>恒成立，即f)m=m-m+1>-， 即ln1-m+1+二>0.10分 令g(m）=lhm-m+1+me(0,gm）=-1=1-m>0,g(m)在区间(0，)上单调道增。 e 又8（日=-1-1+0.所以<m<1,…l12分 当m之时，了)-”<0倒在区间Q)上单调送流3分 所以f(x)>f)=0>-】,符合题意： 14分 综上，m的取值范围为 ,+0…15分 e 18.解析：(1)证明：当n=1,得S1=a1=2a1一1十1，解得a1=01分 由题意Sn=2an一n十1①得：则Sm+1=24n+1一(n十1)十1②，2分 ②-①，得am+1=2aa+1-2a-1,3分 即an41=2an十1,4分 所以a41十1=2a,十i,即+tl=2.…5分 an十1 又因为1十1=1,6分 所以{n十1}是首项为1，公比为2的等比数列.7分 (2)由(1)知an十1=2m-l,则an=2n-1-1,9分 2n1一1，n为奇数， 所以b+1=21-1-b,n为偶数，10分 且b1=a2=22-1=1,11分 又因为当n为偶数时，bn+1=2m-1一1一bnm,即bn十bn+1=2m-l一1,13分 所以b1十b2+..+b2n=b1十(b2十b3)+(b4十bs)+..十(b2m-2十b2-)+b2m14分 =1十21-1+23-1+..十22m-3-1+22m-2-1,15分 =1420-4）-a-0+222-116分 1-4 =5-22-2-3n+1 3 …….17分 第7页共8页 19.证明：(1)因为f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f(x)=1,g(x)=2x+2,..1分 假设存在函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2存在“S点” 即存在x满足 =x+2x-2 1=2x+2 ’…2分 方程组无解，..3分 所以函数f(x)=r与g()=x+2x-2不存在“S点”..4分 (2②)因为)=2-1与g(=h,则f)=2加与g到-5分 ax2-1=Inx 设“S点”为X，X满足 2a1= ，.6分 =e 解得 ，.7分 2 所以a= 2·…8分 (3)因为/=-r+m,g()=e(x0,所以f)=-2x,g)-C-, .9分 1 由f'(x)=g'(),x∈(0，+0)，显然x≠1， 假设>0，得心。-2二>0，解得0<无<，…10分 %-1 6一！得m=2 由/()=8(6，得-+m-e-2式， -’…12分 令)=-2-m=-+3+m=(m0.0<x,.13分 x-1 I-x 设F(x=-x+3x2+r-m(m>0,0<x<I),则F(0)=-m<0,F()=2>0,得F(0)F()<0,.15分 又F(x)的图象在(0,1)上不间断，则F(x)在(0,1)上有零点，则h(x)在(0，)上有零点，·...16分 则存在n>0,使f(x)与g(x)在区间(0，+0)内存在“S”点...17分 第8页共8页