海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高三第三次月考试题 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则（ ） A． B．1 C． D．－1 2．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比不为1，且, , 成等差数列，则数列的公比为（ ） A．－2 B．2 C．－1 D． 4．在△ABC中，已知AB＝4，点O是△ABC的外心，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．－8 5．已知θ为第一象限角，且，则（ ） A．9 B． C． D．3 6．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 7．函数满足，且对任意的都有，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的。如图所示，作Rt△AOB，OA=1，∠AOB =30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，……，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止。则所作的所有三角形的面积和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知平面向量，，与的夹角为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A, B, C, D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则（ ） A．异面直线AE与DF所成角大小为 B．二面角A-EB-C的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球体积为 D．此八面体的内切球表面积为 11．已知定义在R上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ） A． B． C．为偶函数 D． 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是偶函数，则a ＝ . 13．如右图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点 和终点均在格点上，则 . 14．若，记，且为单调 递增函数. 若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知等差数列前项的和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）若 （n∈N*），求数列的前项和. 16.（本小题满分15分） 已知△ABC 中内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且满足 （1）求角A的大小； （2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值. 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点． （1）求证：BM⊥AB1； （2）若直线AB1与平面BCM所成的角为， 求点A1到平面BCM的距离． 18.（本小题满分17分） 已知函数. （1）求的极值； （2）设（a∈R） . （i）当 a＞0 时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 19.（本小题满分17分） 如图，直线分别与抛物线交于和，与 轴分别交于和，直线与的交点为,. （1）当为C的焦点F，且直线与轴垂直时， ，求抛物线C的方程； （2）是否成等比数列? 请给予说明； （3）在问题（1）的条件下，若OA2⊥OB2 ， 求面积S的最小值. 高三数学 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期高三第三次月考答案 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B D A D D 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ACD AB 【解析】 1．由题意知， 所以，. 故选：B. 2．由换底公式得，，， 所以. 故选：C. 3．设等比数列的公比为q，且， 由，，成等差数列，得，整理得，则. 故选：A 4．如图，过点O作于D，可知， 则 故选： 5．因为θ为第一象限角，且 ，所以+θ= 解得：θ=，所以 = =3 故选：D 6．设，则， 如图，连接，交于点，连接交于点，连接， 由正四棱台的几何性质可知分别是上､下底面的中心， 所以平面平面，所以为正四棱台的高， 所以由题可知，过点作交于点， 则，即，解得， 所以正四棱台的体积为×(8+32+16)× 故选：A. 7．根据题意可知函数的最小正周期为，所以， 因为，所以，结合，解得， 所以，于是， 对函数求导得， 于是，所以曲线在点处的切线方程为， 整理得， 故选：D． 8．因为， 设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 9．对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BCD 10． 连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则AC⊥BD， 又因为八面体的每个面都是正三角形， 所以、、三点共线，且EF⊥面， 所以以为原点，分别以、、为轴、 轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则 ，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则 ，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为， 故体积为V球，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 故选：ACD. 11．定义在上的函数满足：对，， 对于A，令，则，，A正确； 对于C，令，则， 于是， 则，因此不是偶函数，C错误； 对于B，由函数为偶函数，得， 即， 于是，即，， 因此函数的周期为，，B正确； 对于D，由，得， 因此，D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13．－8 14． 【解析】 12．由f(x)=f(-x)，可得a=1 13．将向量放入坐标系中考虑, 则，，，则, 所以 . 14．因为 ,易化简得 令 ，则 ,令 ，解得 X － + h(x) ↑ 易看出，则 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解： （1）因为，， 所以 ，解得， 所以 ……6分 （2）由（1）可得 = ， 所以 ……9分 ……12分 . ……13分 16．解： （1）由题意知 中, , 由正弦定理得： 因为A+B+C= , ……3分 即 , 所以 , ……4分 而 , 故 , 故 , 即 , ……6分 又 , 故 ; ……7分 （2）由余弦定理: , ……9分 又 , 所以 , 所以 ……12分 所以 , ……14分 当且仅当 时, 取等号, 则 的最小值为 . ……15分 17．解： （1）∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 设A1M＝a，a∈[0,1]， 则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， B1(1,0,1)，M(0，a,1)， ＝(－1，a,1)，＝(1,0,1)， ∵·＝0，∴⊥，∴BM⊥AB1. ……6分 （2）设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)， 由(1)知＝(－1，a,1)，＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)， ∴ 取x＝1，得n＝(1,1,1－a)， ……8分 ∵直线AB1与平面BCM所成的角为， ∴sin ＝＝＝， 解得a＝，∴n＝， ……11分 ∵＝(1,0,－1), ∴点A1到平面BCM的距离d＝＝＝. ……14分 即点A1到平面BCM的距离为 ……15分 18．解： （1） 的定义域为 , ……1分 所以 ，令 ，解得 , ……2分 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, ……3分 所以在处取得极大值，无极小值. ……4分 （2）（i） ……5分 当 时, 由 , 解得 或 ; 由 , 解得 , 所以函数 在(0,1)和 上单调递增, 在 上单调递减; ……6分 当 时, 由 , 解得 或 ; 由 , 解得 , 所以函数 在 和 上单调递增, 在 上单调递减; ……7分 当 时,由 , 得函数 在 上单调递增; …8分 当 时, 由 , 解得 ; 由 , 解得 , 所以函数 在 上单调递增,在(0,1)上单调递减. ……9分 综上,当 时, 函数 的单调增区间为(0,1)和 ,减区间为 ; 当 时, 函数 的单调增区间为 和 ,减区间为 ; 当 时,函数 的单调增区间为 , 无减区间; 当 时,函数 的单调增区间为 ,减区间为(0,1). …10分 (ii) 在 上恒成立可转化为 , 设 ,则 . ……12分 令 ,则 , 所以函数 在 上单调递减, 又 , 则函数 在 内存在唯一的零点 , 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, ……14分 又 ,得 , 则 , ……16分 所以 ,即实数 的取值范围为 . ……17分 19．解： （1）由题知 ,则 所以抛物线抛物线 的方程为 ……4分 （2）由题意知在抛物线上点不同时, 其纵坐标也不相同. 设 . 则 . 因为 过交点 ,所以 .① 同理, . 所以 , 即 . 所以 成等比数列. . ……10分 （3）由(1)知抛物线抛物线 的方程为 . 由(2)知 由 得 ,即 , 所以 . 因此 . 设直线 , 联立 ,化简得 所以 . 所以 面积 所以当 时, 因此 面积的最小值为 8 . ……17分 高三数学第三次月考题参考答案 第1页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$