精品解析：四川省广元市苍溪县2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试题

2024年秋八年级学段质量监测数学试题 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与这角对应相等的角是（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 4. 如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ）． A. 锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点 B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部 C. 直角三角形只有一条高线 D. 任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线 6. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 8. 如图，∠ACD是ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FGCE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=36°，则∠3=（ ） A. 36° B. 40° C. 34° D. 70° 9. 中，， ，以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则图中与相等的线段有（ ） A. B. C. 和 D. 和 10. 如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是_______． 12. 如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形． 13. 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 14. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 15. 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度． 16. 如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，c是三角形的三边长． （1）化简； （2）若，，，求（1）中式子的值． 18. 如图，已知，，，求和的度数． 19. 如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证； （2）若，，求的长． 20. 如图，已知：在中，，． （1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）求证：点是中点； （3）连接，求的度数． 21. 如图，在中，，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F． 求证：． 22. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 24. 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： （1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形是一个筝形，其中，，试猜想筝形的对角线有什么性质？然后用全等三角形的知识证明你的猜想． （2）知识拓展：如图2，如果为内一点，平分，且，试证明：． 25. 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． （1）求证： （2）求证：定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋八年级学段质量监测数学试题 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 2. 在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与这角对应相等的角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：在中，三角形的内角和等于180°， ∵， ∴、不能等于100°， ∴在△ABC中与这个100°的角对应相等的角只能是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据判断出这两个角都不能是100°是解题的关键． 3. 如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数． 【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条， 可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条， 可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条， 故可以作为三角形“高”的线段有5条 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键． 4. 如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把，，转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A、：，是，不能判断三角形全等，选项符合题意； B、∵， ∴， ∴，，利用可得三角形全等，不符合题意； C、，，，利用可得三角形全等，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，，，利用可得三角形全等，不符合题意； 故选A． 5. 下列说法错误的是（ ）． A. 锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点 B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部 C. 直角三角形只有一条高线 D. 任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线 【答案】C 【解析】 【详解】A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，不符合题意； B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部，不符合题意； C、错误，直角三角形也有三条高线，符合题意； D、正确，不符合题意． 故选C． 6. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵∠A=30°， ∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210° 故选A． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 8. 如图，∠ACD是ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FGCE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=36°，则∠3=（ ） A. 36° B. 40° C. 34° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的外角的性质列式计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 9. 中，， ，以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则图中与相等的线段有（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】由基本作图得到平分，所以，则利用等腰三角形的性质得，再利用三角形内角和定理计算出，于是得到，然后计算出，从而得到，所以． 【详解】解：由画法得平分，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，涉及等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，外角定理． 10. 如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 根据可证明，根据可证明；通过证明可证明，即乘平分；根据，四边形内角和以及平角的性质可求得；延长至N，使,连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系进一步判断即可；若，在中，和的高相等，即可得． 【详解】， ， 故①正确； ， 在和中 平分 故③正确； ， 在四边形中 又 故②正确； 延长至N，使,连接， ∵E是的中点， ∴ 在和中， 由①可知： 在中， 故④正确； 若 则 在中，和的高相等， ∴为的中点， 故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是_______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键． 12. 如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F， ∴PE=PF，∠1=∠2， 在△AOP与△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP， ∴AP=BP， 在△EOP与△FOP中， ， ∴△EOP≌△FOP， 在Rt△AEP与Rt△BFP中， ， ∴Rt△AEP≌Rt△BFP， ∴图中有3对全等三角形， 故答案为3． 考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． 13. 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 【答案】5或10 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形全等的判定方法，由，需再找两个边对应相等即可； 分类讨论：，求解两种情况下的长即可完成解答. 【详解】解：和中， ，， 要使与全等， 只有：和两种情况． 当时，． 当时，． 故答案为：或． 15. 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度． 【答案】70 【解析】 【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°. 【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°， 故答案为70. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 16. 如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，c是三角形的三边长． （1）化简； （2）若，，，求（1）中式子的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，得出，，再利用绝对值的性质化简即可； （2）将数据代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵a，b，c为三角形的三边长， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：当时，原式． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 ． 18. 如图，已知，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【详解】解：，， ． ， ． 19. 如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）利用证明； （）根据，得到，求出，即可得到； 此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，已知：在中，，． （1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）求证：点是中点； （3）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图所示， （2） 证明：∵在中，， ∵垂直平分， 即是的中点 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先求出，则由直角三角形的性质得到，再证明，则，进而得到，则，即E是中点． （3）证明，又，连接，由等腰三角形的性质可知，又，从而求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平分， ， 又， 连接， 则， 即 21. 如图，在中，，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F． 求证：． 【答案】 证明：如图 ∵CD平分， ， 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 22. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，由，， 根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的性质，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： （1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形是一个筝形，其中，，试猜想筝形的对角线有什么性质？然后用全等三角形的知识证明你的猜想． （2）知识拓展：如图2，如果为内一点，平分，且，试证明：． 【答案】（1） ，，理由如下： 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 证明：过点分别作，，垂足分别为，，如图2所示： 平分， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）证，得，再证，得，，得，即可得出； （2）过点分别作，，垂足分别为，，证，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 25. 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115； （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2）略 （3）略 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． （1）求证： （2）求证：定值 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ， 由三角形的外角的性质可得， ， ； （2） 证明：在轴上作点，使，连接， ，， ∴ ∴， 又∵， ∴垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质， （1）先求出，再由三角形外角的性质得到，，据此可证明 （2）在轴上作点，使，连接，则为等边三角形，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $