精品解析：河南省平顶山市宝丰县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 85 D. 100 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红，黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，甲认为黑棋放在位置就胜利了；乙认为黑棋放在位置就胜利了．你认为（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 8. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，等边的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 图象经过（1，2）的正比例函数的表达式为____________________． 12. 写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是______． 13. 当，时，代数式的值为 _____． 14. 已知点P（2a-6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为________． 15. 如图，在长方形中，，，点是长方形内一点，且，点为的中点，连接、、，则的最小值为_____． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4，z是的整数部分． 求：（1）x、y、z的值； （2）3x﹣2y+z的平方根． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，，，与关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点坐标是_____，题中“某直线”为_____； （3）判断的形状，并说明理由． 19. 已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 20. 如图，某植物t天后的高度为y厘米，l反映了y与t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）　　天后该植物的高度为10厘米？预测20天后该植物高度为 　　厘米． （2）植物的高度y（厘米）与生长时间t（天）的函数表达式是什么？ （3）图象对应的一次函数y＝kt+b中，k和b的实际意义分别是什么？ 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 22. 同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． （1）在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； （2）探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） （3）拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）点的坐标是_____，直线的函数表达式为______； （2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标； （3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒2个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是理解：无理数是无限不循环小数；有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 85 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 4. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的斜率判断函数的增减性． 对于正比例函数（为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】在函数中，，所以该函数随的增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． 故选：A． 5. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理求出点到原点距离，再根据点在原点左侧，即可求解． 【详解】解：点到原点的距离， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B ． 6. 冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红，黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键． 先找到最靠近原点的壶所在方位,然后指出其所在的象限即可． 【详解】解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右下方 ∴胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限． 故选：D． 7. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，甲认为黑棋放在位置就胜利了；乙认为黑棋放在位置就胜利了．你认为（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意白①的位置是，黑②题意建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案，根据题意建立适当平面直角坐标系坐标系进行求解是解决本题的关键 【详解】解析：根据题意建立平面直角坐标系，如图，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． 故选：C． 8. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 9. 如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，等边的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，根据等边三角形的三线合一性质，得；再根据坐标及勾股定理的性质计算，得，从而得；再根据轴对称、平移、数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：过点作交于点， ∵等边， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； 第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； 第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； … 当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得， 当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得， ∵2024为偶数， ∴第2024次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、轴对称、平移、勾股定理、坐标类规律探究的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、轴对称、平移、坐标类规律的性质，从而完成求解． 10. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令可判断③；令，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④． 【详解】由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时， ①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车， ③正确； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达城，； 综上可知当的值为或或或时，两车相距千米， ④正确； 综上可知正确的有①②③④共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 图象经过（1，2）的正比例函数的表达式为____________________． 【答案】y=2x 【解析】 【分析】设y=kx，直接将点代入解出k即可. 【详解】点（1，2）代入y=kx，解得k=2，故填y=2x 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，解题关键在于熟悉待定系数法解题方式. 12. 写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 当，时，代数式的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算和用完全平方公式分解因式．首先把代数式分解因式得到：，然后再把、代表的数代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为： ． 14. 已知点P（2a-6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为________． 【答案】(0，4)或(-8，0) 【解析】 【分析】分点P在x轴上，纵坐标为0；在y轴上，横坐标为0，分别列式求出a的值，再求解即可． 【详解】解：当P在x轴上时，a+1=0，解得a=-1，P（-8，0）； 当P在y轴上时，2a-6=0，解得a=3，P（0，4）． 所以P（-8，0）或（0，4）． 故答案为（-8，0）或（0，4）． 【点睛】本题考查了点的坐标，主要是对坐标轴上的点的坐标特征的考查，易错点在于要分情况讨论． 15. 如图，在长方形中，，，点是长方形内一点，且，点为的中点，连接、、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，取的中点，连接，，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵，为的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在长方形中，，， ∴， ∴； ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ； 17. 已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4，z是的整数部分． 求：（1）x、y、z的值； （2）3x﹣2y+z的平方根． 【答案】（1）x＝5，y＝2，z＝3；（2）±． 【解析】 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出x、y、z的值； （2）将x、y、z的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4， ∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16， ∴x＝5，y＝2； ∵3＜＜4，z是的整数部分， ∴z＝3； （2）3x﹣2y+z＝15﹣4+3＝14，14的平方根是± ． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键在于读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，，，与关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点坐标是_____，题中“某直线”为_____； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），轴 （3）直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，正确的画出坐标系，掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，进而画出坐标系即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）结合格点图，根据勾股定理得到各边长，运用勾股定理逆定理判定即可． 【小问1详解】 如图所示：建立直角坐标系如图， 【小问2详解】 ∵与关于某直线成轴对称． 又， 可知，与关于轴对称， 故关于对称的点坐标为。 故答案为：，轴 【小问3详解】 在中，， ，， ， ∴是直角三角形，是直角． 19. 已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴，求点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点到x轴、y轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标互为相反数或相等，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解： 在轴上， ， ， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：，点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：到轴、轴的距离相等， ， 或， 解得或， 当时，，，则 当时，，，则 综上所述，点的坐标为或． 20. 如图，某植物t天后的高度为y厘米，l反映了y与t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）　　天后该植物的高度为10厘米？预测20天后该植物高度为 　　厘米． （2）植物的高度y（厘米）与生长时间t（天）的函数表达式是什么？ （3）图象对应的一次函数y＝kt+b中，k和b的实际意义分别是什么？ 【答案】（1）10；17 （2） （3）k表示植株生长率，b表示原先植株高． 【解析】 【分析】（1）由图象可直接得出结论； （2）利用待定系数法求出y与t之间的函数关系式， （3）图象可知，k表示植株生长率，b表示原先植株高． 【小问1详解】 由表格可知，10天后该植物的高度为10厘米；预测20天后该植物高度为17厘米； 故答案为：10；17． 【小问2详解】 设y=kt+b， 把（0，3），（3，5）代入y=kt+b得：， 解得： ∴． ∴植物的高度y（厘米）与生长时间t（天）的函数表达式是：． 【小问3详解】 k表示植株生长率，b表示原先植株高． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 22. 同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． （1）在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； （2）探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） （3）拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）76 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； 【小问2详解】 （答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）点的坐标是_____，直线的函数表达式为______； （2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标； （3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒2个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； (2)设点P坐标为，先求出点C坐标，再求出的面积，表示出的面积，根据， 列方程求解即可； (3)根据点M在第二象限，当时，可知点M在线段 (不含端点)上运动，作点B关于线段的对称点．连接，交线段于点M，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得t的最小值． 【小问1详解】 解：点在轴上，直线过点， 点坐标为， 将点和点代入直线， 得， 解得 ， 直线的函数表达式为， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：设点P坐标为，直线过点，与轴交于点， 令，得， 点坐标为， 点，点， ，，， ， ， ， 解得或， 或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点在第二象限，当时，如图， 在过点且平行于的线段 (不含端点)上， 直线的函数表达式为， ， ， ， 作点关于线段的对称点，连接，，，交线段于点，连接，则的最小值即为的长， ，，， ， ， ， ， 点的运动速度始终为每秒2个单位长度， 运动的总时间为 (秒)， 的最小值为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $