精品解析：河南省信阳市罗山县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度上期期中质量监测试卷 八年级数学 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 3. 如图是两个全等的三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 一个正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和是（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 如图，在中，已知点，，分别是边，，的中点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 8. 《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 12. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________． 13. 已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 14. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝_______． 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 三、解答题：本题共8小题，共64分． 16. 一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 17. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）求证：； （2）求长． 18. 如图，在平面直角坐标系中： （1）请画出关于y轴对称，并写、点的坐标； （2）直接写出的面积为_________________； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置． 19. 如图1，在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线； （1）填写下面的表格． ∠A的度数 50° 60° 70° ∠BOC的度数 （2）试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样数量关系，并证明你的猜想； （3）如图2，△ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中∠A与∠BOD的关系． 20. 如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 21. 过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． （1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）； ①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 （2）如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度； （3）在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数． 22. 如图，，都是等边三角形，直线与直线交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 已知，．点P在AB上以1cm/s速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上期期中质量监测试卷 八年级数学 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形稳定性，即可得到答案． 【详解】跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性． 故选B 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 3. 如图是两个全等的三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；三角形内角和定理求出的度数，全等三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：如图， 由三角形的内角和定理，得：， ∵两个三角形全等，由图可知，为对应角， ∴， 故选：C． 4. 一个正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和是（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形外角求得该多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】解：∵多边形外角和为360°，一个外角是60°， ∴该正多边形的边数为360°÷60°=6， 多边形内角和为：（n-2）×180°=（6-2）×180°=720°，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形内角和公式，灵活运用相关公式是解答本题关键． 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 6. 如图，在中，已知点，，分别是边，，的中点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握中线的基本性质，熟练推理三角形面积之间的关系是解题关键． 直接根据三角形中线的性质进行求解即可：三角形中线平分三角形面积． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】因为△ABE与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点E在AB的上边、点E在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】△ABE与△ABC有一条公共边AB， 当点E在AB的下边时，点E有两种情况①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）； 当点E在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）； 点E的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键． 8. 《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：两锐角互余；由题意知是直角三角形，，则由直角三角形的性质可求得的度数． 【详解】解：由题意知直角三角形，， 则； 故选：B． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 10. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA， ∴OC=OD=OP=4，∠COD=∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD=OC=OD=4． ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=DM+MN+CN≥CD=4． 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称--最短路线问题，将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 12. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小， 当PM⊥OC时， 又∵OP平分∠AOC，，， ∴PM=PD=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 13. 已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了关于x轴对称的点的特征，代数式求值以及有理数乘方运算，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的特征． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：1． 14. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝_______． 【答案】315°##135度 【解析】 【详解】解：根据题意得：∠1+∠7=∠2+∠6=∠3+∠5=90°，∠4=45°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 =90°×3+45° =315°． 故答案为∶135° 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质求出， 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 ，及的度数，找出规律即可得出. 的度数，根据题意得出，及的度数，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理可得，，，， ∴ 故答案为： ． 三、解答题：本题共8小题，共64分． 16. 一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】边数为，一个外角为 【解析】 【分析】设这个多边形边数是，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形边数是，根据题意得， ， 解得：， ∴这个正多边形的边数为， 则一个外角的度数为． 【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角度公式是解题的关键． 17. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由得，又，，则，根据同角的余角相等即可求解； （）由（）得：，，证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中： （1）请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标； （2）直接写出的面积为_________________； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置． 【答案】（1）见解析，B1(−2，−4)，C1(−4，−1)；（2）5；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的定义直接画图，写坐标即可； （2）如图，用矩形面积减轻多余三角形的面积即可； （3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，即为所求作点． 【详解】解：（1）如图所示： B1(−2，−4)，C1(−4，−1) ； （2）如图：面积为：； （3）如图所示：点P即为所求点． = 【点睛】平面直角坐标系中如果图形面积不易直接计算，一般采用割补法进行；求直线同侧两定点到直线上一点的距离之和最短，一般称为“将军饮马”问题，一般做其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点构造线段，与直线交点即为所求做点，是中考常见模型，要深刻领会． 19. 如图1，在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线； （1）填写下面的表格． ∠A的度数 50° 60° 70° ∠BOC的度数 （2）试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图2，△ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中∠A与∠BOD的关系． 【答案】（1）表格见解析； （2）∠BOC=90°+∠A，理由见解析； （3）∠A=∠BOD，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线得∠BOC=180°-（∠OBC＋∠OCB）＝，然后将∠A的度数分别代入即可求解； （2）OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再由三角形的内角和定理即可得∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A； （3）由△ABC的高BE、CD交于O点得∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，利用同角的余角相等即可得结论． 【小问1详解】 解：当∠A=50°时， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∠A=50°， ∴∠BOC=180°- =； 当∠A=60°时， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∠A=60°， ∴∠BOC=180°- =； 当∠A=70°时， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∠A=70°， ∴∠BOC=180°- =； 故填表如下： ∠A的度数 50° 60° 70° ∠BOC的度数 115° 120° 125° 【小问2详解】解：∠BOC=90°+∠A，理由如下： ∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线； ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A． 【小问3详解】 解：∠A=∠BOD，理由如下： ∵△ABC的高BE、CD交于O点， ∴∠BDC=∠BEA=90°， ∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°， ∴∠A=∠BOD． 【点睛】本题主要考查了角平分线和高的定义以及三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键． 20. 如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 故． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 21. 过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． （1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）； ①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 （2）如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度； （3）在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1）② （2）4 （3），，，或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，画出对应的图形解决问题． （1）根据“友好分割线”的定义对①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形分别进行判断即可． （2）根据为的“友好分割线”，得出或为等腰三角形，证出不是等腰三角形，则是等腰三角形，根据等腰三角形性质得出，根据直角三角形的性质得出． （3）根据，算出，根据“友好分割线”的定义画图后分为当时，当时，当时，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 小问1详解】 解：根据“友好分割线”的定义可知， 如图，等腰直角三角形，顶角为的等腰三角形存在“友好分割线”． 等边三角形不存在“友好分割线”． 故答案为：； 【小问2详解】 解：为的“友好分割线”， 或为等腰三角形， 为边上的高， ， ， ， 不是等腰三角形，则是等腰三角形， ， ，， ． 【小问3详解】 解：， ， 如图， 当时，， 当时，， 当时，． 如图， 当时，， 当时，， 如图， 当时，， 综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或． 22. 如图，，都是等边三角形，直线与直线交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为，都是等边三角形，所以，，，又因为公共角，得到，进而通证三角形全等得； （2）根据三角形全等，以及外角性质再加上等量代换，求得的度数． 【小问1详解】 因为都是等边三角形， 所以，， 因为，， 所以， 在和中， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 【点睛】本题主要考查了三角形全等的证明，找到对应边及对应角是解题的关键． 23. 已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）与全等，理由见解析；此时 （2）存在，，或， 【解析】 【分析】（1）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可． 【小问1详解】 解：当时，与全等，此时．理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：点的运动速度为，运动的时间为， ∴， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，和全等； ②当，时，， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，和全等． 综上所述：当，或，时，和全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$