3.10 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

( -3,2),∴ S矩形MCOD = 3 × 2 = 6,∴ 四边形 MAOB 的面积 = S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD = 2+2+6 = 10. 第 4 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 要点归纳 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. (1)y= 1 4 x2 ; (2)y= x2 -2x+1 ; (3)解:设 y=ax2 +c,将(2,1)、( -1,-1)代入可得: 4a+c= 1, a+c= -1,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设 y = ax2 +bx+c,将(2,1)、(0,1)、( - 1,- 1) 代入 可得: 4a+2b+c= 1, c= 1, a-b+c= -1, ì î í ïï ïï 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , c= 1, ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 二次函数的表达式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 【思考】 解:答案不唯一,如经过 B、C 两点,且关于直线 x = 3 2 对称的 抛物线的表达式为 y= - 1 3 (x- 3 2 ) 2 + 13 12 . 2. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1. 3. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥减小　 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒y 轴　 􀃊􀁉􀁓左　 􀃊􀁉􀁔右 􀃊􀁉􀁕两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2　 (2) 3 2 例 3　 3　 例 4　 y2 <y3 <y1 例 5　 (1)3,0　 (2)4;0　 (3)3,0 对点练习 1. (1)如解图; 第 1 题解图 (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1) >;<;1; = ;> (2)3;>; = ;>;≤;b= -2a 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 要点归纳 ①x<x1 或 x>x2 　 ②x1 <x<x2 例　 m2 -4m+3+c;m2 -2m+c;-2m+3;m> 3 2 ;m≥2; 3 2 <m<2; m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3.解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ -t2 +2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 10　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +k(a ≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 ∵ - 1 4 < 0,∴ 当 x = 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD = 9 m. 例 2　 D 例 3　 y= - 1 2 x2 +5x 例 4　 解:设 y 与 x 之间的函数关系式 y= kx+b, 把(40,80),(50,60)分别代入 y= kx+b, 得 40k+b= 80, 50k+b= 60,{ 解得 k= -2, b= 160,{ ∴ y= -2x+160(x≤60); 设该超市日获利润为 W 元, W = (x-30)( -2x+160) = -2x2 +220x-4 800 = -2(x-55) 2 +1 250, ∵ -2<0, ∴ 抛物线开口向下,W 有最大值, 当 x= 55 时,W最大 = 1 250, 答:当销售单价为 55 元时,该超市日获利最大,最大获利 1250 元. 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③60　 ④60　 ⑤90° 　 ⑥相等　 ⑦180°　 ⑧相等　 ⑨相等　 􀃊􀁉􀁒PN　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔90　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖相等　 􀃊􀁉􀁗∠3　 􀃊􀁉􀁘∠8　 􀃊􀁉􀁙∠8　 􀃊􀁉􀁚∠5　 􀃊􀁉􀁛∠8　 􀃊􀁊􀁒∠7 􀃊􀁊􀁓∠8　 􀃊􀁊􀁔相等　 􀃊􀁊􀁕相等　 􀃊􀁊􀁖互补 对点练习 1. (1)24°20′;(2)114°20′;(3)32°50′　 2. D 3. PB　 拓展　 CP 4. (1)20;(2)130° 命题点 2　 三角形及其重要线段 要点归纳 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒>　 􀃊􀁉􀁓内部　 􀃊􀁉􀁔内部　 􀃊􀁉􀁕外部　 􀃊􀁉􀁖内部 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 1 4 　 􀃊􀁉􀁚90°+ 1 2 ∠A　 􀃊􀁉􀁛 1 2 ∠A 􀃊􀁊􀁒90°- 1 2 ∠A 对点练习 1. D 第 2 题解图 2. 证明: 如 解 图, 过 点 A 作 MN ∥BC. ∴ ∠MAB= ∠B,∠NAC= ∠C. ∵ ∠MAB + ∠BAC + ∠CAN = ∠MAN= 180°, ∴ ∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°, 即三角形的内角和为 180°. 变式 1　 45　 变式 2　 95 3. (1)①60　 ②1　 (2)①4　 ②5 4. 9 或 1 画图区 第 4 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④60°　 ⑤ 1 2 (180°-α)　 ⑥45° ⑦ 1 2 (180°-α)　 ⑧180°-2α　 ⑨2a+b　 􀃊􀁉􀁒2b+a 对点练习 1. (1)①24　 ②4　 (2)①30　 ②2　 (3)3　 2. C　 3. C 变式　 4 4.解:(1)25,115,小; (2)当 DC= 2 时,△ABD≌△DCE, 理由:∵ ∠C= 40°,∴ ∠DEC+∠EDC = 140°,又∵ ∠ADE = 40°,∴ ∠ADB+∠EDC= 140°,∴ ∠ADB = ∠DEC,又∵ AB = DC= 2,∴ △ABD≌△DCE(AAS), (3)当∠BDA 的度数为 110°或 80°时,△ADE 的形状是等 腰三角形;理由略. 5.证明:图 1:∵ OC 平分∠AOB,∴ ∠AOC= ∠BOC, 又∵ CD∥OB,∴ ∠OCD= ∠BOC, ∴ ∠AOC= ∠OCD, ∴ OD=CD, ∴ △ODC 为等腰三角形. 图 8:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= 90° = ∠BAC, ∴ ∠DBE+∠BFD= 90°,∠ABE+∠AEB= 90°, 又∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABE= ∠CBE, ∴ ∠BFD= ∠AEB, ∵ ∠BFD= ∠AFE, ∴ ∠AFE= ∠AEB, ∴ AE=AF, ∴ △AEF 为等腰三角形. 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 要点归纳 ①互余　 ②斜边的一半　 ③平方和　 ④平方　 ⑤a2 +b2 = c2 ⑥互余　 ⑦c　 ⑧相等　 ⑨相等　 􀃊􀁉􀁒45　 􀃊􀁉􀁓1 ∶ 2 　 􀃊􀁉􀁔45° 􀃊􀁉􀁕60°　 􀃊􀁉􀁖一半　 􀃊􀁉􀁗30°　 􀃊􀁉􀁘1 ∶ 3 ∶ 2　 􀃊􀁉􀁙S1 +S2 =S3 􀃊􀁉􀁚S1 +S2 =S3 例 1　 7或 5 例 2　 5 3 或 4 3 ;3-x 对点练习 1. (1)70°;5　 (2)2;2　 (3)30°;1 ∶ 3 　 2. 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 10　 二次函数的实际应用(8 年 5 考) 类型 1 抛物线型、类抛物线型问题(2022 ~ 2024. 25) 【解读】 (1)关键词:涵洞、桥拱、喷泉、踢足球、投篮球、大棚等; (2)常考方式:结合图形建立平面直角坐标系,根据文字描述对应写出图中点的坐标,再 结合坐标求函数解析式. 特别提醒:①距离转化为点坐标的转化要注意正负;②最大高度、水平距离等词要正确 理解. 例 1　 (人教九上 P36 例 4 改编)某景点的“喷水巨龙”口中 C 处的水流呈抛物线形,该水流喷 出的高度 y(m)与水平距离 x( m)之间的关系如图所示,D 为该水流的最高点,DA⊥ OB,垂足为 A. 已知 OC=OB= 8 m,OA= 2 m,求该水流距水平面的最大高度 AD. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋思维点拨 (解读关键句) ①D 为…最高点→D 是抛物线顶点; ②OC=OB= 8 m,OA= 2 m,DA⊥OB→点 C(0,8),点 B(8,0),对称轴为直线 x= 2. 例 1 题图 【自主作答】解:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k=8, 36a+k=0,{ 解得 a=- 1 4 , k=9, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 1 4 (x-2) 2+9, ∵- 1 4 <0,∴当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD=9 m. 类型 2 面积问题(2021. 26、2020. 25) (1)常考方式: ①规则图形面积→直接用面积公式表示出面积 S 与自变量 x 之间的二次函数关系; ②不规则图形→利用割补法转化为几个图形面积的和差,再列函数关系; (2)常考设问: ①确定函数关系式; ②确定面积最值→能取到对称轴时,利用配方法或最值公式求解;不能取到对称轴 时,利用增减性求最值. 例 2 题图 例 2　 某农场拟建一间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙 足够长),并在如图所示位置留 2 m 宽的门,已知计划中的 建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为 50 m. 设饲养 室长为 x m,占地面积为 y m2,则 y 关于 x 的函数表达式是 ( D ) A. y= -x2 +50x　 　 B. y= - 1 2 x2 +24x　 　 C. y= - 1 2 x2 +25x　 　 D. y= - 1 2 x2 +26x 35 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 例 3　 (2020 陕西 25 题改编)如图,AB 是半☉O 的直径,AB= 10,点 C 是半圆上一动点,CP 平分 ∠ACB 交 AB 于点 P,PM⊥AC 于 M,PN⊥BC 于 N,若 AP= x,阴影部分的面积为 y,则 y 关 于 x 的函数关系式为　 　 　 　 　 . 例 3 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维模型】 先证四边形 PMCN 是正方形,再旋转△APM 使得 PM 和 PN 重合,由三角形面积公式 得解. 类型 3 销售利润问题 【解读】 (1)常考方式: ①单价每增加…销量减少… ②单价每减少…销量增加… ③已知再量与价格的一次函数关系(多以图象、表格形式呈现),再求利润(利润 = 单 价×销售量-成本); (2)常考设问:如何定价利润最大→二次函数性质求最值. 例 4　 (2024 西工大附中九下月考)某超市购进一种商品,成本为每盒 30 元,市场规定商品销售 价格不能高于商品成本价的 2 倍,经试销发现,日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)符合一 次函数关系,如图所示. 当销售单价为多少元时,该超市日获利最大? 最大获利是多 少元? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋审:(解读关键句、图中信息) ①成本为每盒 30 元,销售价格不能高于商品成本价的 2 倍→x≤2×30 = 60; ②日销售量 y 与售价 x…如图→y 是 x 的一次函数,经过点(40,80),(50,60); ③日获利=(销售单价-成本单价)×销售量 例 4 题图 解:设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b,把(40,80),(50,60)分别代入 y =kx +b 得 40k+b=80, 50k+b=60,{ 解得 k=-2, b=160.{ ∴ y=-2x+160(x≤60);设该公司日获利润为 W 元,W=(x-30)(-2x+160)= -2x2+220x-4 800=-2(x-55) 2+1 250,∵ a<0, ∴抛物线开口向下,W 有最大值,当 x=55 时,W最大 =1 250, 答:当销售单价为 55 元时,该公司日获利最大,最大获利 1 250 元. 温馨提示:请完成分层作业本 P41-44 习题 45