3.9 二次函数的图象性质应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 9　 二次函数的图象性质应用(8 年 3 考) 要点 1 二次函数与方程、不等式的关系(二次函数图象与直线的交点问题)(8 年 2 考) 总体思想:数形结合. 判断一个一元二次方程根的情况,可转化为观察二次函数图象与直 线的交点个数;同样地,要确定二次函数与直线的交点个数,可联立方程组并整理成一元 二次方程后求根的判别式. (1)二次函数 y=ax2 +bx+c 与一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的关系 b2 -4ac>0 b2 -4ac= 0 b2 -4ac<0 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 有两个不相等的实 数根 有 两 个 相 等 的 实 数根 没有实数根 二次函数 y = ax2 +bx +c(以 a>0 为例)的 图 象 与 x 轴 交 点 情况 有两个不同的交点 只有一个交点 没有交点 (2)二次函数 y=ax2 +bx+c 与一元二次方程 ax2 +bx+c-t= 0 的关系 b2 -4a(c-t)>0 b2 -4a(c-t)= 0 b2 -4a(c-t)<0 一元二次方程 ax2 +bx+c-t= 0 有两个不相等的实 数根 有 两 个 相 等 的 实 数根 没有实数根 二次函数 y = ax2 +bx +c(以 a>0 为例)的 图象与直线 y = t 交 点情况 有两个不同的交点 只有一个交点 没有交点 (3)二次函数 y=ax2 +bx+c 与不等式 ax2 +bx+c>0 或 ax2 +bx+c<0 的关系(以 a>0 为例) ax2 +bx+c>0 ax2 +bx+c<0 全体实数 x≠x0 ①　 　 　 　 无解 无解 ②　 x1<x<x2 　 05 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图 对 点练 习 1. 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象. (1)方程 ax2 +bx+c= 0 的解是　 x1 =-1,x2 =3　 ; (2)方程 ax2 +bx+c= 2 的解是　 x1 =0,x2 =2　 ; (3)已知 t<2,则方程 ax2 +bx+c= t 的解有　 2　 个; (4)不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是　 -1<x<3　 ; (5)不等式 ax2 +bx+c<2 的解集是　 x<0 或 x>2　 . 要点 2 含参类大小比较(2022. 8) (1)已知 x 的大小比较 y. 基本方法有:增减性比较法、距离比较法、特殊值比较法等; (2)已知 y 的大小确定参数的取值范围 方法 1:代数比较法. 将含参两点的横坐标代入二次函数解析式得到关于参数的代数 式,作差并因式分解,转化成两个一次因式的乘积与 0 的大小关系,再结合已知比较 大小; 方法 2:图象比较法. 先定图象开口方向、对称轴得增减性,再根据已知分类:两点在对 称轴同侧,根据增减性得取值范围;两点在对称轴两侧,找其中一点关于对称轴的对 称点,再结合增减性得范围. 例　 已知点 A(m-1,y1 ),B(m,y2 )是二次函数 y = x2 - 2x+c 上两点,且 y1 <y2,求 m 的取值 范围. 方法 1: 由题意得 y1 = (m-1) 2 -2(m-1) +c= 　 m2-4m+3+c　 ,y2 = 　 m2-2m+c　 . 由 y1 <y2 得 y1 -y2 = 　 -2m+3　 <0, 解得　 　 　 　 　 ; 方法 2: 分类 点 A,B 均在对称轴直 线 x= 1 的右侧 点 A,B 分别在对称轴直线 x= 1 的两侧 图示 计算求值 由增减性得 m>m- 1≥ 1,解得　 m≥2　 ; 先求点 A 关于直线 x= 1 的对称点 A′的横坐标为 3-m,再得不等式组 m-1<1, 3-m<m,{ 解得　 　 　 　 　 ; 结论 综上,m 的取值范围为　 　 　 　 . 15 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 含参类最值问题 (1)轴动区间定类 基本思路:将对称轴直线 x=h 从自变量取值范围的左侧向右侧移动(相当于将抛物线从 左向右平移),结合图象定最值,图示如下: 分类 h<x1 x1≤h< x1 +x2 2 x1 +x2 2 ≤h<x2 h≥x2 图示 (a>0) 图示 (a<0) (2)轴定区间动类 基本思路:保持抛物线及其对称轴(x=h)固定不动,将自变量取值范围(m≤x≤n)从左向 右移动,按 n≤h;m +n 2 ≤h<n;m≤h<m +n 2 ;m>h 分类讨论,图示与(1)基本一致. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 已知二次函数 y= -(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与其对应的 函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 ( B ) A. 3 或 6　 　 　 　 　 　 　 B. 1 或 6　 　 　 　 　 　 　 C. 1 或 3　 　 　 　 　 　 　 D. 4 或 6 3. 已知抛物线 y= -x2 +2x+c 经过点 A(3,0),当 t≤x≤t+2 时,y 有最小值 7 4 . 求 t 的值. 解:由题意得易抛物线为 y=-x2+2x+3,开口向下,对称轴是直线 x=1. 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值,∴-t2+2t+3= 7 4 ,解得 t=- 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x = t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+2) +3 = 7 4 ,解得 t = 1 2 (舍)或 t = - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ t= 1 2 或 t=- 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值,∴ t=- 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 温馨提示:请完成分层作业本 P37-40 习题 25 ( -3,2),∴ S矩形MCOD = 3 × 2 = 6,∴ 四边形 MAOB 的面积 = S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD = 2+2+6 = 10. 第 4 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 要点归纳 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. (1)y= 1 4 x2 ; (2)y= x2 -2x+1 ; (3)解:设 y=ax2 +c,将(2,1)、( -1,-1)代入可得: 4a+c= 1, a+c= -1,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设 y = ax2 +bx+c,将(2,1)、(0,1)、( - 1,- 1) 代入 可得: 4a+2b+c= 1, c= 1, a-b+c= -1, ì î í ïï ïï 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , c= 1, ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 二次函数的表达式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 【思考】 解:答案不唯一,如经过 B、C 两点,且关于直线 x = 3 2 对称的 抛物线的表达式为 y= - 1 3 (x- 3 2 ) 2 + 13 12 . 2. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1. 3. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥减小　 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒y 轴　 􀃊􀁉􀁓左　 􀃊􀁉􀁔右 􀃊􀁉􀁕两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2　 (2) 3 2 例 3　 3　 例 4　 y2 <y3 <y1 例 5　 (1)3,0　 (2)4;0　 (3)3,0 对点练习 1. (1)如解图; 第 1 题解图 (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1) >;<;1; = ;> (2)3;>; = ;>;≤;b= -2a 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 要点归纳 ①x<x1 或 x>x2 　 ②x1 <x<x2 例　 m2 -4m+3+c;m2 -2m+c;-2m+3;m> 3 2 ;m≥2; 3 2 <m<2; m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3.解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ -t2 +2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 10　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +k(a ≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911