3.8 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

( -3,2),∴ S矩形MCOD = 3 × 2 = 6,∴ 四边形 MAOB 的面积 = S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD = 2+2+6 = 10. 第 4 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 要点归纳 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. (1)y= 1 4 x2 ; (2)y= x2 -2x+1 ; (3)解:设 y=ax2 +c,将(2,1)、( -1,-1)代入可得: 4a+c= 1, a+c= -1,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设 y = ax2 +bx+c,将(2,1)、(0,1)、( - 1,- 1) 代入 可得: 4a+2b+c= 1, c= 1, a-b+c= -1, ì î í ïï ïï 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , c= 1, ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 二次函数的表达式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 【思考】 解:答案不唯一,如经过 B、C 两点,且关于直线 x = 3 2 对称的 抛物线的表达式为 y= - 1 3 (x- 3 2 ) 2 + 13 12 . 2. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1. 3. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥减小　 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒y 轴　 􀃊􀁉􀁓左　 􀃊􀁉􀁔右 􀃊􀁉􀁕两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2　 (2) 3 2 例 3　 3　 例 4　 y2 <y3 <y1 例 5　 (1)3,0　 (2)4;0　 (3)3,0 对点练习 1. (1)如解图; 第 1 题解图 (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1) >;<;1; = ;> (2)3;>; = ;>;≤;b= -2a 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 要点归纳 ①x<x1 或 x>x2 　 ②x1 <x<x2 例　 m2 -4m+3+c;m2 -2m+c;-2m+3;m> 3 2 ;m≥2; 3 2 <m<2; m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3.解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ -t2 +2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 10　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +k(a ≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 8　 二次函数的图象与性质(必考) 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔抛物线)(在选择题,常与解析式确定结合考查) 三种表达式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 大 致 图 象 a>0 ↕ 开口向上 a<0 ↕ 开口向下 对称轴 直线 x= ①　 　 　 　 直线 x= ②　 h　 直线 x= ③　 　 　 　 顶点坐标 ④　 　 　 ⑤　 (h,k) 　 — 最 值 a>0 在对称轴处,y 取最小值(顶点纵坐标) a<0 在对称轴处 y 取最大值(顶点纵坐标) 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而⑥　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而⑦　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而⑧　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而⑨　 减小　 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系 xOy,已知每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C,D 均在网格的格点上,二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象恰好经过点 A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还能经过网格中的哪个格点? 在图中描出这个点,并用描点画 图法画出这个二次函数的图象; (2)观察这个二次函数图象,回答下列问题. ①图象的开口向　 下　 ,对称轴是直线　 x=1　 ,顶点坐标为　 (1,4) 　 ; ②当 x= 　 1　 时 y 有最　 大　 值(填“大”或“小”)为　 4　 (填数字); ③比较大小:若点( -2,m),( -1. 5,n)在该函数图象上,则 m　 <　 n; 若点(2,d),(4,t)在该函数图象上,则 d　 >　 t; 若点( -2,m),点(4,t)在该函数图象上,则 m　 = 　 t. 第 1 题图 74 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 二次函数的图象与 a、b、c 的关系(8 年 3 考,不单独设题) a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为􀃊􀁉􀁒　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁓　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁔　 右　 侧 ü þ ý ï ïï ï ïï 左同 右异 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 ü þ ý ï ï ï ï 与 y 轴 必有交点 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有􀃊􀁉􀁕　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 先把含 a、b、c 的项移到等式(或不等式)的一边; 看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小; 看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; 看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值; 看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; 看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值; 看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x= 1. 请结合图象,回答下列问 题. (1)基本信息 ①开口向上→a　 >　 0;与 y 轴交于负半轴→c　 <　 0; ②对称轴是直线 x= 1→- b 2a = 　 1　 ; ③与 x 轴的一个交点横坐标是-1→a-b+c　 = 　 0; ④与 x 轴有两个交点→b2 -4ac　 >　 0 (2)推导信息 ①与 x 轴的另一个交点横坐标是　 3　 ; ②abc　 >　 0;9a+3b+c　 = 　 0;4a-2b+c　 >　 0; ③a+b　 <　 am2 +bm;2a 和 b 的关系是　 b=-2a　 84 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 解二次函数基本性质问题必备技能 技能 1　 找出“隐藏”的对称轴 (1)二次项系数和一次项系数比是常数(如 b a =m)→对称轴为直线 x= - b 2a = -m 2 ; (2)看到抛物线上纵坐标相等的两点(x1,n),(x2,n)→对称轴为直线 x= x1 +x2 2 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋例 1　 抛物线 y=ax2 +2ax+c(a≠0)的对称轴为直线 x= 　 -1　 ; 例 2　 写出下列抛物线的对称轴. (1)与直线 y=n 交于点(1,n),(3,n)的抛物线:对称轴是直线 x= 　 2　 ; (2)x,y 的几组对应值如表所示的抛物线:对称轴是直线 x= 　 　 　 　 . x … -2 0 1 3 … y … 6 -4 -6 -4 … 技能 2　 巧用对称轴 (1)求纵坐标相等两点的横坐标→A(m,t)和 B(n,t)关于直线 x=h 对称,则 m+n= 2h; (2)利用对称轴比较函数值大小→看开口找对称轴定增减; 方法一:增减性比较法. 由 a 定开口方向→确定对称轴→把所有点转化到对称轴的同一 侧→由增减性得大小(如图 1,图 2) . 图 1 图 2 图 3 　 图 4 方法二:距离法. 先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大(如图􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 3),开口向下,距离对称轴越远的值越小(如图 4)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (3)定轴定区间最值问题 利用对称轴 x=h 求 m≤x≤n 内函数最值→确定 h 和 m,n 的大小关系,分类讨论 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋例 3　 若抛物线与 x 轴交于 A(1,0)和 B,对称轴是直线 x= 2,则点 B 的横坐标为　 3　 ; 例 4　 多解法 ∙∙∙ 　 若二次函数 y=a(x-3) 2 +c(a>0)的图象过 A( -1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是用“ <”连接为　 y2<y3<y1 　 . 例 5　 已知二次函数 y= -(x-1) 2 +4,填空. (1)当-1≤x≤0 时,函数的最大值是　 3　 ,最小值是　 0　 ; (2)当-1≤x<3 时,函数的最大值是　 4　 ,最小值是　 0　 ; (3)当 2≤x≤3 时,函数的最大值是　 3　 ,最小值是　 0　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P34-36 习题 94