3.5 反比例函数的图象与性质&3.6 与反比例函数表达式有关的计算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

综上:y 关于 x 的函数关系式为 y= 120x,0≤x≤20, 96x+480,x>20;{ (2)解:根据题意,当 0≤m≤10 时,收费 p= 150m 元, ∵ 成本是 y= 120m 元,∴ w= 150m-120m= 30m; 当 10<m≤20 时,收费 p = 150 × 10 + 150 × 0. 8(m- 10) = 120m+300, 成本是 y= 120m 元,∴ w= 120m+300-120m= 300; 当 m>20 时,收费 p = 150× 10+ 150× 0. 8(m- 10) = 120m +300, 成本是 y= 96m+480,∴ w= 120m+300-(96m+480) = 24m -180. 答:w 关于 m 的解析式为 w= 30m,0≤m≤10, 300,10<m≤20, 24m-180,m>20. { 对点练习 1. 画图略;y= -2x+4;y= -2x;y= -2x+3;y= -2x+1 2.解:(1) 1 2 ; (2)3; (3)如解图,当点 D 在点 B 右侧时,作 CE∥x 轴交 AD 于点 E,设点 D 的坐标为( t,0),可得直线 AD 的解析式为 y = 3 2-t x+ 3t t-2 ,则点 E 的坐标为( 2t+2 3 ,1), ∴ CE= 2t+2 3 , ∴ S△ACD =S△ACE+S△CDE = 1 2 CE·yA = t+1, 由(1)得,S△BOC = 1 2 ,∴ S△ACD = 4S△BOC = 2, ∴ t+1 = 2,∴ t= 1,∴ 点 D 的坐标为(1,0), 同理,当点 D 在点 B 左侧时,点 D 的坐标为( -3,0), 综上所述,点 D 的坐标为(1,0)或( -3,0); (4)如解图,作 MH⊥OD 于点 H,易得 l1 的解析式为 y = x +1, 联立 y= x+1, y= - 1 2 x+2,{ 解得 x= 2 3 , y= 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ M( 2 3 , 5 3 ),则 S四边形CONM =S四边形COHM +S△MHN = 1 2 (1+ 5 3 ) × 2 3 + 1 2 (4- 2 3 ) × 5 3 = 11 3 . 第 2 题解图 命题点 5　 反比例函数的图象与性质 要点归纳 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥±x ⑦原点　 ⑧k　 ⑨<　 􀃊􀁉􀁒< 对点练习 1. >　 2. <　 3. b<a<c 命题点 6　 与反比例函数表达式有关的计算 要点归纳 ①ab　 ② | k | 　 ③2　 ④1　 ⑤ | k | 例 1　 D 例 2　 解:(1)y= 3x+3;y= 6 x (2)画出函数图象如解图;①x>1 或-2<x<0;②0<x≤ 1 或 x≤-2 例 2 题解图 (3)由解图可知,S△AOB =S△AOC+S△COB = 1 2 OC·yA + 1 2 OC·( -yB ) = 1 2 ×1×[6-( -3)] = 9 2 . 对点练习 1. y= 8 x 2. y= - 18 x 　 【解析】如解图,作 BC⊥x 轴于点 D,设 CD=a,∵ ∠ABC= 60°,∴ ∠OCD = 60°,∵ ∠CDO = 90°,∴ ∠COD = 30°,∴ OC= 2a,OD= 3 a,∵ 菱形 OABC 的面积为 12,∴ 2a × 3 a= 12,解得 a2 = 2 3 ,∵ 点 B 的坐标为( - 3 a,3a),点 B 在函数 y= k x 的图象上,∴ 3a = k - 3 a ,解得 k = -3 3 a2 = -3 3 ×2 3 = -18,∴ 反比例函数的表达式为 y= - 18 x . 第 2 题解图 3. 2 4. 10　 【解析】如解图,设点 A 的坐标为(a,b),点 B 的坐标 为(c,d),∵ 反比例函数 y= 4 x 的图象过 A,B 两点,∴ ab = 4,cd= 4,∴ S△AOC = 1 2 | ab | = 2,S△BOD = 1 2 | cd | = 2,∵ 点 M 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 811 ( -3,2),∴ S矩形MCOD = 3 × 2 = 6,∴ 四边形 MAOB 的面积 = S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD = 2+2+6 = 10. 第 4 题解图 命题点 7　 二次函数表达式的确定 要点归纳 ①ax2 +bx+c　 ②ax2 　 ③bx　 ④不变　 ⑤不变 对点练习 1. (1)y= 1 4 x2 ; (2)y= x2 -2x+1 ; (3)解:设 y=ax2 +c,将(2,1)、( -1,-1)代入可得: 4a+c= 1, a+c= -1,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设 y = ax2 +bx+c,将(2,1)、(0,1)、( - 1,- 1) 代入 可得: 4a+2b+c= 1, c= 1, a-b+c= -1, ì î í ïï ïï 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , c= 1, ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 二次函数的表达式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 【思考】 解:答案不唯一,如经过 B、C 两点,且关于直线 x = 3 2 对称的 抛物线的表达式为 y= - 1 3 (x- 3 2 ) 2 + 13 12 . 2. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1. 3. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1. 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥减小　 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒y 轴　 􀃊􀁉􀁓左　 􀃊􀁉􀁔右 􀃊􀁉􀁕两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2　 (2) 3 2 例 3　 3　 例 4　 y2 <y3 <y1 例 5　 (1)3,0　 (2)4;0　 (3)3,0 对点练习 1. (1)如解图; 第 1 题解图 (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1) >;<;1; = ;> (2)3;>; = ;>;≤;b= -2a 命题点 9　 二次函数的图象性质应用 要点归纳 ①x<x1 或 x>x2 　 ②x1 <x<x2 例　 m2 -4m+3+c;m2 -2m+c;-2m+3;m> 3 2 ;m≥2; 3 2 <m<2; m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3.解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ -t2 +2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 10　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +k(a ≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 5　 反比例函数的图象与性质 要点 1 反比例函数的概念及其解析式 (1)概念:一般地,形如 y= k x (k 为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,自变量 x 的取值范 围是①　 x≠0　 ; (2)表达式的三种形式(k 为常数,k≠0):①y= k x ;②y= kx-1;③xy= k. 要点 2 反比例函数的图象与性质(图象⇔关于原点对称的双曲线) 解析式 大致图象 性质 y= k x k>0 k<0 (1)当 k>0 时,图象位于第②　 一、三　 象限,在每 一象限内,y 随 x 的增大而③　 减小　 ; (2)当 k<0 时,图象位于第④　 二、四　 象限,在每 一象限内,y 随 x 的增大而⑤　 增大　 ; (3)图象关于直线 y= ⑥　 ±x　 对称; (4)图象关于⑦　 原点　 中心对称,即点 P(m,n)和 点 P′(-m,-n)在同一反比例函数图象上; (5)图象上任意一点横、纵坐标的积等于⑧　 k　 ; (6)图象无限接近坐标轴,但与坐标轴不相交 要点 3 反比例函数图象上点的纵坐标大小比较(2024、2021. 12) 　 　 (1)代值计算法:把点的坐标代入解析式求值,再比较大小; (2)增减性比较法:在同一象限时,根据函数的增减性来比较; (3)图象比较法:画出草图,标出各点,谁高则谁大. 如右图,若 x1 <0< x2 <x3,则 y1,y2,y3 的大小关系为 y1⑨　 <　 y3􀃊􀁉􀁒　 <　 y2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 若点(1,y1),(3,y2)都在反比例函数 y= 4 x 的图象上,则 y1 　 >　 y2; 2. 若点( -5,y1),( -2,y2)都在反比例函数 y= k x (k<0)的图象上,则 y1 　 <　 y2; 3. 已知-3<x1 <-2,-2<x2 <-1,1<x3 <2,若点(x1,a),(x2,b),(x3,c)都在反比例函数 y = k x (k>0)的图象上,则 a,b,c 的大小关系为　 b<a<c　 . (用“<”表示) 温馨提示:请完成分层作业本 P29-30 习题 93 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 6　 与反比例函数表达式有关的计算(8 年 6 考) 要点 1 反比例函数表达式的确定(8 年 6 考,均在填空题) (1)给出表达式 y= k x → 找图象上已知点 P(a,b)代入→得k= ①　 ab　 ; (2)未给出表达式→设 y= k x (k≠0),之后步骤同(1); 要点 2 反比例函数 k 的几何意义 过双曲线上一点向坐标轴作垂线段,垂线段与坐标轴围成的矩形的 面积为②　 | k | 　 . 如图,S矩形ABOC = ③　 2　 ,S△AOB =S△ACO = ④　 1　 . 【易错警示】 当图象在二、四象限时,一定要注意 k<0. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 2 题图 对 点练 习 1. 点 P 在反比例函数 y = k x (k≠0)的图象上,点 Q(2,4)与点 P 关于原 点对称,则反比例函数的解析式为　 　 　 　 . 2. (2024 西工大八模)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上,点 B 在一个反比例函数的图象上,若∠ABC = 60°,且菱 形 OABC 的面积为 12,则该反比例函数的表达式为　 　 　 　 . 要点 3 与反比例函数 k 的几何意义有关的面积计算 单 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 　 　 S▱ABCD = ⑤　 | k | 　 　 　 S△ABC = 1 2 | k | 两 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形 S矩形ABCD = | k1 | + | k2 | S△ABC = 1 2 ( | k1 | + | k2 | ) S矩形ABED = |k1 | - |k2 | S△BOC = 1 2 (|k1 |-|k2 |) 04 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 综 合 衍 生 (AO=AB) S△AOB = | k | 　 　 　 　 S△AOE =S四边形CDBE; S△AOB =S四边形ACDB 　 　 S△OAF =S△OCE =S△BOC-S△BOE 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 如图,已知点 A 是反比例函数 y= k x 图象上一点,连接 AO 并延长交反比例函数图象于 点 C,过点 A,C 分别作 y 轴,x 轴的平行线交于点 B,若 k= 1,则 S△ABC = 　 2　 . 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,过点 M( -3,2)分别作 x 轴、y 轴的垂线与反比例函数 y = 4 x 的图象交于 A,B 两 点,则四边形 MAOB 的面积为　 10　 . 要点 4 反比例函数与一次函数(2022. 12) (1)判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 函数类型 k,k′的符号相同(kk′>0) k,k′的符号相反(kk′<0) 结论 反比例函数 y= k x 与正比例函 数 y= k′x ①k,k′同号,必有􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 两交点􀪍􀪍􀪍,且两交 点 关 于 原 点 成 中心对称; ② k, k′ 异 号, 无 交点 反比例函数 y= k x 与一次函数 y= k′x+b ①k,k′同号,必有􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 两交点􀪍􀪍􀪍; ②k,k′异号,交点 可以有两个、一 个、零个 14 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 例 1　 (北师九上 P145 第 6 题)函数 y=ax-a 与 y = a x (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是 ( D ) (2)已知两个交点坐标(其中一个交点横坐标或纵坐标用字母表示)求两个函数表达式 ①先将已知横、纵坐标的交点的坐标代入反比例函数表达式,求出反比例函数表达式; ②再将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数表达式,求出该交点坐标; ③最后将两个交点的坐标代入一次函数表达式,求出一次函数表达式. 注:有时也会根据三角形面积求出交点坐标,再按照以上步骤完成. (3)比较两函数值大小,求自变量的取值范围 ①找交点; ②分区:过两函数图象的交点分别作 y 轴的平行线,连同 y 轴,将坐 标平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ; ③观察函数图象找答案:根据图象在上方的函数值总比图象在下方􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的函数值大􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,在各区域内找相应的 x 的取值范围: a. Ⅰ,Ⅲ区域内: k x >ax+b,x 的取值范围为 x<xB 或 0<x<xA; b. Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b> k x ,x 的取值范围为 xB<x<0 或 x>xA . 要点 5 求图形面积(以三角形为例) 原始图形 (求阴影部 分的面积) 解 法 一 以 OC 为公共底边, S△AOB =S△BOC+S△AOC 以 CD 为公共底边, S△ADB =S△ADC+S△BDC 以 OC 为 公 共 底 边, S△AOB =S△BOC+S△AOC 24 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 解 法 二 过点 A 作 AD⊥ x 轴于 D,S△AOB = 1 2 OB·AD 过点 A 作 AE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E,S△ADB = 1 2 DB·AE 过 A 作 AF⊥x 轴于 F, 过 B 作 BG ⊥ y 轴于 G,延长 BG 交 AF 的延 长 线 于 E. S△AOB = S△ABE- | k | -S矩形OGEF 例 2　 (人教九下 P9 第 5 题改编)已知一次函数 y= kx+b 与反比例函数 y= m x 的图象的两个交点 为 A(1,6),B( -2,n) . (1)一次函数的表达式为　 y=3x+3　 ,反比例函数的表达式为　 　 　 　 ; (2)如图,在平面直角坐标系中画出 y = kx+b 与 y = m x 的图象,并通过观察图象直接 写出: ①不等式 kx+b>m x 的解集为　 x>1或-2<x<0　 ; ②不等式 kx+b≤m x 的解集为　 0<x≤1或 x≤-2　 ; (3)连接 AO,BO,求△AOB 的面积. 例 2 题图 解:由(1)知一次函数的表达式为 y=3x+3, 当 3x+3=0 时,x=-1, ∴点 C 的坐标为(-1,0),OC=1, 令 3x+3= 6 x ,解得 x1 =-2,x2 =F,即点 B 的横-2, 此时 y= 6-2 =-3,∴点 B 的坐标为(-2,-3), 点 A 的横坐标为 1,此时 y= 6 1 ,∴点 A 的坐标为(1,6), 由解图可知,S△AOB =S△AOC +S△COB = 1 2 OC·yA+ 1 2 OC×(-yB) = 1 2 ×1×[6-(-3)] = 9 2 . 温馨提示:请完成分层作业本 P31-32 习题 34