3.1 平面直角坐标系-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第三章　 函　 数 (每年 5 ~ 6 道,24 ~ 29 分) 第 三 章 　 函 　 数 命题点 1　 平面直角坐标系(必考) 要点 1 平面直角坐标系中点的坐标特征(必考,不单独设题) 对应关系 坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的 各象限内点 的坐标特征 (8 年 4 考) 点 P(x,y)在第一象限⇔x>0 且 y>0; 点 P(x,y)在第二象限⇔x<0 且 y>0; 点 P(x,y)在第三象限⇔x<0 且 y<0; 点 P(x,y)在第四象限⇔x>0 且 y<0 坐标轴上点 的坐标特征 点 A(x,y)在 x 轴上⇔①　 y　 = 0; 点 B(x,y)在 y 轴上⇔②　 x　 = 0; 点 P(x,y)在原点⇔③　 x=0 且 y=0　 注:坐标轴上的点不属于任何象限 各象限角平 分线上点的 坐标特征 第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等; 第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 平行于坐标 轴的直线上 点 的 坐 标 特征 平行于 x 轴的直线上点的④　 纵　 坐标相等; 平行于 y 轴的直线上点的⑤　 横　 坐标相等 对称点的 坐标特征 (8 年 4 考) A(x,y) 关于 x 轴对称 →A1⑥　 (x,-y) 　 ; A(x,y) 关于 y 轴对称 →A2⑦　 (-x,y) 　 ; A(x,y) 关于原点对称 →A3⑧　 (-x,-y) 　 归纳:关于坐标轴对称时,关于谁对称谁不变,另 一个变号;关于原点对称都变号 点平移的 坐标特征 A(x,y) 向左平移 a 个单位长度 →A1(x-a,y); A(x,y) 向右平移 a 个单位长度 →A2⑨　 (x+a,y) 　 ; A(x,y) 向上平移 a 个单位长度 →A3⑩　 (x,y+a) 　 ; A(x,y) 向下平移 a 个单位长度 →A4􀃊􀁉􀁓　 (x,y-a) 　 归纳:左右平移,左减右加;上下平移,上加下减 62 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 写出下列各点所在的象限. 点的坐标 点 A( -1,2) 点 B(1,2) 点 C(1,-3) 点 D( -1,-2) 所在象限 第　 二 　 象限 第　 一　 象限 第　 四　 象限 第　 三　 象限 拓展 1-1 直线 AB　 ∥ 　 x 轴,直线 BC　 ⊥ 　 x 轴;(填“∥”或“⊥”) 拓展 1-2 点 A 可看成由点 B 向　 左 　 平移　 2 　 个单位得到的;点 B 向　 下 　 平 移　 5 　 个单位可得到点 C; 拓展 1-3 以上四个点中,关于原点对称的两个点是　 B,D 　 ;点 B 关于 x 轴对称的 点 B′的坐标为　 (1,-2) 　 . 2. 已知平面直角坐标系中有一点 P(2-m,3m+6),在下面横线上填写出正确的答案. (1)若点 P 在 x 轴上,则 m= 　 -2　 ;若点 P 在 y 轴上,则 m= 　 2　 ; (2)若点 P 在第一象限,则m的取值范围是　 -2<m<2　 ;若点 P 在第二象限,则 m 的取 值范围是　 m>2　 ;点 P 不可能在第　 三　 象限; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋技巧点拨———判断点不可能在某个象限的方法 方法 1:不等式性质及点坐标特征判断法;即根据横、纵坐标特征列不等式组,不等式 组无解集,这个点就不能在对应的象限内; 方法 2:直线图象观察法. 令 x= 2-m,y= 3m+6,消去m 得 y= -3x+12,直线 y= -3x+12 不经过哪个象限,则点 P 就不在哪个象限 (3)若点 P 在第一象限的角平分线上,则 m= 　 -1　 ;若点 P 在第四象限的角平分线 上,则m= 　 -4　 . 要点 2 平面直角坐标系中的距离及中点坐标(8 年 4 考,常结合矩形,正方形性质) 坐标系内任意 一点到坐标轴 及原点的距离 (1)点 P(a,b)到 x 轴的距离为 | b | ; (2)点 P(a,b)到 y 轴的距离为􀃊􀁉􀁔　 | a | 　 ; (3)点 P(a,b)到原点的距离为􀃊􀁉􀁕　 a2+b2 　 x 轴上 (或平 行于 x 轴的直 线上)两点的 距离 x 轴上(或平行于 x 轴的直线上)两点间的距离 等于这两点横坐标差的绝对值,如图,AB = | x1 - x2 | y 轴上 (或平 行于 y 轴的直 线上)两点的 距离 y 轴上(或平行于 y 轴的直线上)两点间的距离 等于这两点纵坐标差的绝对值,如图,CD = | y1 - y2 | 72 基础夯实练·陕西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 坐标系内任意 两点间的距离 及其中点坐标 (1)A(x1,y1),B( x2,y2)两点之间的距离即为线 段 AB 的长. 如图,在 Rt△ABC 中,AC = 􀃊􀁉􀁖　 | y2 -y1 | 　 , BC= | x2-x1 | ,根据勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2,即 AB= (x2-x1) 2+(y2-y1) 2 ; (2)线段 AB 的中点 Q 的坐标为( x1+x2 2 , y1+y2 2 ) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 3 题图 第 4 题图 对 点练 习 3. 如图,平面直角坐标系中有一点 A,在下面横线上填写出正确的答案. (1)点 A 的坐标为 　 (-1,2) 　 ,它到 x 轴的距离 为　 2　 ,到 y 轴的距离为　 1　 ,到原点 O 的距离 为　 5 　 ; (2)线段 OA 的中点 M 的坐标为　 　 　 　 　 ; (3)易错 ∙∙ 　 若 AB∥x 轴,且 AB= 2,则点 B 有　 2　 个, 坐标为　 (-3,2)或(1,2) 　 ; (4)易错 ∙∙ 　 若点 P 是第一象限内的格点,且 PA=OA, 则点 P 的坐标为　 (1,1)或(1,3) 　 ; (5)易错 ∙∙ 　 若点 B(2,m)到 x 轴的距离为 1,则点 B 的坐标为　 (2,1)或(2,-1) 　 ; AB 的长为　 10或 3 2 　 . 4. 如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,5),B(3,0),点 C 在第二象限,且 AB=AC,过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D,AD=OB. 求点 C 的坐标. 解:∵CD⊥y 轴,∴∠ADC=90°, ∵∠AOB=90°,AC=AB,AD=OB, ∴Rt△ACD≌Rt△BAO(HL),∴CD=AO, ∵A(0,5),B(3,0), ∴AO=5,BO=3,∴CD=AO=5, ∴AD=OB=3,∴OD=AO-AD=5-3=2, ∵点 C 在第二象限,∴C(-5,2) . 温馨提示:请完成分层作业本 P19-20 习题 82 例 1　 (1) -2;(2)0≤a<1;(3) -5≤a<-4 例 2　 (1)m≥3;(2)0<m≤1; 对点练习 1. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 2. 解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 2 题解图 3. 解:(1)解不等式 x+4>3 得 x>-1, 解不等式 6x≤5x+3 得 x≤3, 解集在数轴上表示如下: 第 3 题解图 ∴ 这个不等式组的解集为-1<x≤3; (2)解不等式 x+1≥0 得 x≥-1, 解不等式 3x+1 2 >2x-1 得 x<3, ∴ 这个不等式组的解集为-1≤x<3. 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | y2 -y1 | 对点练习 1. 二;一;四;三;　 拓展 1-1　 ∥;⊥;　 拓展 1-2　 左;2;下; 5　 拓展 1-3　 B,D;(1,-2) 2. (1) -2;2;(2) -2<m<2;m>2;三;(3) -1;-4. 3. (1)( -1,2),2,1, 5 ;(2)( - 1 2 ,1); (3)2,( -3,2)或(1,2);(4)(1,1)或(1,3); (5)(2,1)或(2,-1); 10或 3 2 4.解:∵ CD⊥y 轴,∴ ∠ADC= 90°, ∵ ∠AOB= 90°,AC=AB,AD=OB, ∴ Rt△ACD≌Rt△BAO(HL),∴ CD=AO, ∵ A(0,5),B(3,0), ∴ AO= 5,BO= 3,∴ CD=AO= 5, ∴ AD=OB= 3,∴ OD=AO-AD= 5-3 = 2, ∵ 点 C 在第二象限,∴ C( -5,2) . 命题点 2　 函数及函数图象的分析与判断 要点归纳 例 1　 C 例 2　 D 对点练习 1. x≠1;x≥1;x>1;x>1 命题点 3　 一次函数的图象与性质 要点归纳 ①一、二、三　 ②一、三、四　 ③一、三　 ④一、二、四 ⑤二、三、四　 ⑥二、四　 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨( - b k ,0) 􀃊􀁉􀁒(0,b) 例　 (1) <;<;<;< (2) >;>;>;> 对点练习 1. 画图略;增大,一、三、四;(1,0);(0,-2);减小;一、二、四; ( 1 2 ,0);(0,1) 2. (1) -1(答案不唯一);(2) <;(3) >;≥;(4)C 命题点 4　 一次函数的性质应用与实际应用 要点归纳 ①y2 = -kx-b　 ②y2 = -kx+b　 ③y2 = kx-b　 ④s0 　 ⑤OA ⑥t1 　 ⑦AB　 ⑧t2 -t1 　 ⑨BC　 ⑩t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁓s0 　 􀃊􀁉􀁔s1 　 􀃊􀁉􀁕t2 -t1 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁘b　 􀃊􀁉􀁙a　 􀃊􀁉􀁚t1 　 􀃊􀁉􀁛b　 􀃊􀁊􀁒a　 􀃊􀁊􀁓t4 -t3 􀃊􀁊􀁔t3 　 􀃊􀁊􀁕t2 　 􀃊􀁊􀁖< 例 1　 -2 例 2　 解:将点(1,3),( -1,1)代入一次函数 y= kx+b 得, k+b= 3, -k+b= 1,{ 解得 k= 1, b= 2,{ ∴ 这个一次函数的解析式为 y= x+2. 例 3　 解:(1) y1 = 3 2 x; (2)设 y2 的函数解析式为 y2 = kx+b(k≠0), 由图可知,点(1,2),(2,0)在该函数图象上, ∴ k+b= 2, 2k+b= 0,{ 解得 k= -2, b= 4,{ ∴ y2 的函数解析式为 y2 = -2x+4. 例 4　 解:(1)y= 5x+450; (2)设购进 A 款玩偶 m 个,则购进 B 款玩偶(45-m)个, ∵ A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的 一半, ∴ m≤ 1 2 (45-m),解得 m≤15. 设小冬获得利润 w 元,根据题意得 w= (28-20)m+(20-15)(45-m)= 3m+225. ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, ∴ 当 m= 15 时,w 最大,最大值为 3×15+225 = 270. 此时 45-15 = 30(个) . 答:购进 A 款玩偶 15 个,B 款玩偶 30 个时利润最大,最 大利润为 270 元. 例 5　 (1)解:当 0≤x≤20 时,设 y= kx(k≠0), 将点(20,2400)代入得 20k= 2400,解得 k= 120, ∴ y= 120x; 当 x>20 时,设 y= k1x+b(k1 ≠0), 将点(20,2400),点(40,4320)代入得 20k1 +b= 2400, 40k1 +b= 4320, { 解得 k1 = 96, b= 480,{ ∴ y= 96x+480, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 711