2.4 一元一次不等式(组)的解法及其应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法及其应用(必考) 考情总结:不等式(组)的解法近 5 年连续考查,且近 2 年考查解不等式,2024 年首次在选择题中考查,难 度在下降. 不等式的应用直接考查 1 次,其余多在最值问题中结合. 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 性质 1 不等式两边加(或减)同一个数(或 式子),不等号的方向不变 如果 a>b,那么 a+c①　 >　 b+c (或 a-c>b-c) 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac②　 >　 bc (或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac③　 <　 bc (或 a c < b c ) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. (人教七下 P120 第 4 题改编)用“ >”“ <”或“ = ”填空: (1)若 a<b,则 a+1　 <　 b+1;　 　 　 　 　 　 (2)若-2a>-2b,则 a　 <　 b; (3)若 a<b,则 a 3 　 <　 b 3 ; (4)若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a　 <　 b 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示(2024. 4、2023. 14,近 2 年连续考查不等式) 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 【温馨提示】在数轴上表示解集时,要注意定边界点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或 “<”是空心圆圈;定方向的原则为小于向左,大于向右. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 2 题图 对 点练 习 2. 解不等式 x+1>x +4 2 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 解:去分母,得 2(x+1)>x+4, 去括号,得 2x+2>x+4,移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2,解集在数轴上表示如解 图所示. 32 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示(2020 年~2022 年连续 3 年在第 15 题考查) (1)不同类型一元一次不等式组解集的表示 类型 (b>a) x>a x>b{ x<a x≤b{ x≥a x<b{ x<a x≥b{ 数轴上表示 解集 ⑧　 　 　 ⑨　 　 　 􀃊􀁉􀁒　 　 　 无解 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 (2)一元一次不等式组的解法步骤 解法步骤 示例:解不等式组 1+x>-2, 2x-1 3 ≤x. ì î í ï ï ïï 步骤一:求解各不等式的解集 解不等式 1+x>-2 得􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 ; 解不等式 2x-1 3 ≤x 得􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 ; 步骤二:画解集. 将每个不等式的解集表 示在数轴上(可以在稿纸上进行) 请在数轴上画出对应的解集 步骤三:写解集. 根据公共部分写出解集, 如果没有公共部分,则不等式组无解 这个不等式组的解集为􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 求下列不等式组的解集. (1) x+4>3, 6x≤5x+3;{ (2) x+1≥0, 3x+1 2 >2x-1. ì î í ï ï ïï 要点 4 求不等式组解集中整数解的方法 先将不等式组的解集表示在数轴上,如图所示: 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 (1)如图 1,∵ 解集的端点都是空心圆圈,即端点值取不到,∴ 整数解为􀃊􀁉􀁖　 0 和 1　 ; (2)如图 2,∵ 解集的端点都是实心圆点,即端点值可以取到,∴ 整数解为􀃊􀁉􀁗　 -1、0、1、2　 ; (3)如图 3,虽然端点 - 1 2 处是实心圆点,但是 - 1 2 不是整数取不到,∴ 整数解为􀃊􀁉􀁘　 0和　 . 42 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 5 含参不等式(组)的相关计算 ◆含参不等式问题 例 1　 若关于 x 的不等式为 x-a>1. (1)该不等式的解集为 x>-1,则 a 的值为　 　 　 　 ; (2)该不等式的最小整数解为 2,则 a 的取值范围是　 　 　 　 ; (3)该不等式有且只有 3 个负整数解,则 a 的取值范围是　 　 　 　 . 【思维模型———数形结合】 第一步:先将不等式化为 x>1+a; 第二步:在数轴上画出 x>1+a 的解集,如图所示; 第三步:结合题中信息确定 1+a 的值或范围,得出结论 (1)思路:由不等式解 集为 x>-1,可得数 1+ a 和-1 相等,即可得 a 的值. (2)思路:在数轴上画出 1,2,由 最小整数解是 2,得 1+a 在 1 和 2 之间,如图. 注意:1+a 可以是 1,但不能是 2 (3)思路:由不等式有且只有 3 个负整数解,得负整数解是 -1,-2,-3,即不等式的最小 整数解是- 3,即- 4≤1+a< - 3,如图. ◆含参不等式组问题 例 2　 已知关于 x 的不等式组 x≥m①, 5x-2<4x+1②.{ (1)若该不等式组无解,则 m 的取值范围是　 　 　 　 ; (2)若该不等式组有且只有 2 个整数解,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 【思维模型———数形结合】 第一步:先求不等式②5x-2<4x+1 的解集为 x<3; 第二步:在数轴上画出不等式②的解集,如图所示; 第三步:结合题意画 x≥m 的大致位置 (1)思路:不等式组无解即 x ≥m 与不等式②没有公共部 分,画图可得 m 的取值范围. 思考:m 能为 3 吗? 为什么? (2)思路:由不等式组有且只 有 2 个整数解,结合不等式 ②的解集得这两个整数解是 2 和 1,即不等式 x≥m 的最小整数解是 1, 画图可得 m 的取值范围. 温馨提示:解含参不等式(组)的问题,一定要注意临界的取舍,看清空心和实心是关键. 要点 6 一元一次不等式的实际应用(2017. 21(2)涉及) ◆常见关键词与对应不等号:见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁉􀁙　 >　 ;见到“小于、少于、 不足、低于”用􀃊􀁉􀁚　 <　 ;见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁉􀁛　 ≥　 ;见到“至多、不 超过、不大于、不多于”用􀃊􀁊􀁒　 ≤　 . (1)购买 A,B 共 m 个,且 A 的数量不少于􀪍􀪍􀪍 B 的 1 n ,设购买 A 的数量为 x 个,则可列不等式 为􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 　 　 ; (2)购买 A,B 共 m 个,A 的单价为 a 元,B 的单价为 b 元,总费用不超过􀪍􀪍􀪍 n 元. 设购买 A x 个,则可列不等式为􀃊􀁊􀁔　 ax+b(m-x)≤n　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P17-18 习题 52 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)的解法及其应用 要点归纳 ①y= x-3　 ②3x-8(x-3)= 14　 ③①+②　 ④18x= 36 例 1　 2(x+2)= 20-5(x-1);2x+4 = 20-5x+5;2x+5x= 20+5- 4;7x= 21;x= 3 例 2　 -;+　 8x-3 = 7x+4;x= 7;53;7;53 例 3　 0. 8;10;(标价-30) 解:设这种服装每件的标价是 x 元,根据题意得, 10×0. 8x= 11(x-30), 解得 x= 110. 答:这种服装每件的标价为 110 元. 例 4　 4;( 1 5 + 1 10 ) ×2; 1 10 x 对点练习 1. (1)解:由①,得 x= y+1. ③ 将③代入②,得 3(y+1) +2y= 8. 解这个方程,得 y= 1. 将 y= 1 代入①,得 x= 2. ∴ 这个方程组的解是 x= 2, y= 1.{ (2)解:①×2,得 4x-6y= 10. ③ ②-③,得 8y= 0. 解这个方程,得 y= 0. 把 y= 0 代入①,得 x= 5 2 . ∴ 这个方程组的解是 x= 5 2 , y= 0. { (3)解:将②代入①,得 4y= 3+3y. 解这个方程,得 y= 3. 把 y= 3 代入②,得 3x-1 = 6. 解这个方程,得 x= 7 3 . ∴ 这个方程组的解是 x= 7 3 , y= 3. { 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤没有　 ⑥- b a 　 ⑦ c a 　 ⑧a(1+x) 2 = b　 ⑨a(1-x) 2 = b ⑩(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁓(a-x)(b-x)　 􀃊􀁉􀁔x· m-x 2 􀃊􀁉􀁕x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁖(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁗ax　 􀃊􀁉􀁘ax2 　 􀃊􀁉􀁙(1+x) 􀃊􀁉􀁚(1+x) 2 对点练习 1. 1,2,3;-2,2,-3;2,-2,1 2. 16,36,6 3. (1)解:由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:∵ a= 2,b= -5,c= 2, ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 4. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 且 a≠0. 5. 4　 6. (40-2x)(26-x)= 144×6;2　 7. B 命题点 3　 分式方程的解法及其应用 要点归纳 例 1　 600 x ;x+ 10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原分式方程的解,且符合题意;x+10 = 70;A 种书包每个进 价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 例 2　 C; 6 3x ;4x; 10 4x ; 6 3x + 20 60 = 10 4x 例 3　 1 2 ( 1 3 + 1 x ); 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1;x = 1;经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际;乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)解:方程两边同乘(x-3)去分母得 x+2(x-3)= -3, 解得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,x-3 = 1-3 = -2≠0, ∴ x= 1 是分式方程的解. (2)解:方程两边同乘(x-1)(x+2)去分母得 x(x+2) -(x-1)(x+2)= 3, 解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴ x= 1 是分式方程的增根,分式方程无解. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 12000 1. 5x +100 = 10000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式　 6 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法 及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a≤x<b　 􀃊􀁉􀁓x>-3　 􀃊􀁉􀁔x≥-1　 􀃊􀁉􀁕x≥-1　 􀃊􀁉􀁖0 和 1 􀃊􀁉􀁗-1、0、1,2　 􀃊􀁉􀁘0 和 1　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚<　 􀃊􀁉􀁛≥　 􀃊􀁊􀁒≤ 􀃊􀁊􀁓x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁊􀁔ax+b(m-x)≤n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 611 例 1　 (1) -2;(2)0≤a<1;(3) -5≤a<-4 例 2　 (1)m≥3;(2)0<m≤1; 对点练习 1. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 2. 解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 2 题解图 3. 解:(1)解不等式 x+4>3 得 x>-1, 解不等式 6x≤5x+3 得 x≤3, 解集在数轴上表示如下: 第 3 题解图 ∴ 这个不等式组的解集为-1<x≤3; (2)解不等式 x+1≥0 得 x≥-1, 解不等式 3x+1 2 >2x-1 得 x<3, ∴ 这个不等式组的解集为-1≤x<3. 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | y2 -y1 | 对点练习 1. 二;一;四;三;　 拓展 1-1　 ∥;⊥;　 拓展 1-2　 左;2;下; 5　 拓展 1-3　 B,D;(1,-2) 2. (1) -2;2;(2) -2<m<2;m>2;三;(3) -1;-4. 3. (1)( -1,2),2,1, 5 ;(2)( - 1 2 ,1); (3)2,( -3,2)或(1,2);(4)(1,1)或(1,3); (5)(2,1)或(2,-1); 10或 3 2 4.解:∵ CD⊥y 轴,∴ ∠ADC= 90°, ∵ ∠AOB= 90°,AC=AB,AD=OB, ∴ Rt△ACD≌Rt△BAO(HL),∴ CD=AO, ∵ A(0,5),B(3,0), ∴ AO= 5,BO= 3,∴ CD=AO= 5, ∴ AD=OB= 3,∴ OD=AO-AD= 5-3 = 2, ∵ 点 C 在第二象限,∴ C( -5,2) . 命题点 2　 函数及函数图象的分析与判断 要点归纳 例 1　 C 例 2　 D 对点练习 1. x≠1;x≥1;x>1;x>1 命题点 3　 一次函数的图象与性质 要点归纳 ①一、二、三　 ②一、三、四　 ③一、三　 ④一、二、四 ⑤二、三、四　 ⑥二、四　 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨( - b k ,0) 􀃊􀁉􀁒(0,b) 例　 (1) <;<;<;< (2) >;>;>;> 对点练习 1. 画图略;增大,一、三、四;(1,0);(0,-2);减小;一、二、四; ( 1 2 ,0);(0,1) 2. (1) -1(答案不唯一);(2) <;(3) >;≥;(4)C 命题点 4　 一次函数的性质应用与实际应用 要点归纳 ①y2 = -kx-b　 ②y2 = -kx+b　 ③y2 = kx-b　 ④s0 　 ⑤OA ⑥t1 　 ⑦AB　 ⑧t2 -t1 　 ⑨BC　 ⑩t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁓s0 　 􀃊􀁉􀁔s1 　 􀃊􀁉􀁕t2 -t1 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗t3 -t2 　 􀃊􀁉􀁘b　 􀃊􀁉􀁙a　 􀃊􀁉􀁚t1 　 􀃊􀁉􀁛b　 􀃊􀁊􀁒a　 􀃊􀁊􀁓t4 -t3 􀃊􀁊􀁔t3 　 􀃊􀁊􀁕t2 　 􀃊􀁊􀁖< 例 1　 -2 例 2　 解:将点(1,3),( -1,1)代入一次函数 y= kx+b 得, k+b= 3, -k+b= 1,{ 解得 k= 1, b= 2,{ ∴ 这个一次函数的解析式为 y= x+2. 例 3　 解:(1) y1 = 3 2 x; (2)设 y2 的函数解析式为 y2 = kx+b(k≠0), 由图可知,点(1,2),(2,0)在该函数图象上, ∴ k+b= 2, 2k+b= 0,{ 解得 k= -2, b= 4,{ ∴ y2 的函数解析式为 y2 = -2x+4. 例 4　 解:(1)y= 5x+450; (2)设购进 A 款玩偶 m 个,则购进 B 款玩偶(45-m)个, ∵ A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的 一半, ∴ m≤ 1 2 (45-m),解得 m≤15. 设小冬获得利润 w 元,根据题意得 w= (28-20)m+(20-15)(45-m)= 3m+225. ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, ∴ 当 m= 15 时,w 最大,最大值为 3×15+225 = 270. 此时 45-15 = 30(个) . 答:购进 A 款玩偶 15 个,B 款玩偶 30 个时利润最大,最 大利润为 270 元. 例 5　 (1)解:当 0≤x≤20 时,设 y= kx(k≠0), 将点(20,2400)代入得 20k= 2400,解得 k= 120, ∴ y= 120x; 当 x>20 时,设 y= k1x+b(k1 ≠0), 将点(20,2400),点(40,4320)代入得 20k1 +b= 2400, 40k1 +b= 4320, { 解得 k1 = 96, b= 480,{ ∴ y= 96x+480, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 711