2.3 分式方程的解法及其应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)的解法及其应用 要点归纳 ①y= x-3　 ②3x-8(x-3)= 14　 ③①+②　 ④18x= 36 例 1　 2(x+2)= 20-5(x-1);2x+4 = 20-5x+5;2x+5x= 20+5- 4;7x= 21;x= 3 例 2　 -;+　 8x-3 = 7x+4;x= 7;53;7;53 例 3　 0. 8;10;(标价-30) 解:设这种服装每件的标价是 x 元,根据题意得, 10×0. 8x= 11(x-30), 解得 x= 110. 答:这种服装每件的标价为 110 元. 例 4　 4;( 1 5 + 1 10 ) ×2; 1 10 x 对点练习 1. (1)解:由①,得 x= y+1. ③ 将③代入②,得 3(y+1) +2y= 8. 解这个方程,得 y= 1. 将 y= 1 代入①,得 x= 2. ∴ 这个方程组的解是 x= 2, y= 1.{ (2)解:①×2,得 4x-6y= 10. ③ ②-③,得 8y= 0. 解这个方程,得 y= 0. 把 y= 0 代入①,得 x= 5 2 . ∴ 这个方程组的解是 x= 5 2 , y= 0. { (3)解:将②代入①,得 4y= 3+3y. 解这个方程,得 y= 3. 把 y= 3 代入②,得 3x-1 = 6. 解这个方程,得 x= 7 3 . ∴ 这个方程组的解是 x= 7 3 , y= 3. { 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤没有　 ⑥- b a 　 ⑦ c a 　 ⑧a(1+x) 2 = b　 ⑨a(1-x) 2 = b ⑩(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁓(a-x)(b-x)　 􀃊􀁉􀁔x· m-x 2 􀃊􀁉􀁕x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁖(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁗ax　 􀃊􀁉􀁘ax2 　 􀃊􀁉􀁙(1+x) 􀃊􀁉􀁚(1+x) 2 对点练习 1. 1,2,3;-2,2,-3;2,-2,1 2. 16,36,6 3. (1)解:由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:∵ a= 2,b= -5,c= 2, ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 4. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 且 a≠0. 5. 4　 6. (40-2x)(26-x)= 144×6;2　 7. B 命题点 3　 分式方程的解法及其应用 要点归纳 例 1　 600 x ;x+ 10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原分式方程的解,且符合题意;x+10 = 70;A 种书包每个进 价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 例 2　 C; 6 3x ;4x; 10 4x ; 6 3x + 20 60 = 10 4x 例 3　 1 2 ( 1 3 + 1 x ); 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1;x = 1;经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际;乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)解:方程两边同乘(x-3)去分母得 x+2(x-3)= -3, 解得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,x-3 = 1-3 = -2≠0, ∴ x= 1 是分式方程的解. (2)解:方程两边同乘(x-1)(x+2)去分母得 x(x+2) -(x-1)(x+2)= 3, 解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴ x= 1 是分式方程的增根,分式方程无解. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 12000 1. 5x +100 = 10000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式　 6 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法 及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a≤x<b　 􀃊􀁉􀁓x>-3　 􀃊􀁉􀁔x≥-1　 􀃊􀁉􀁕x≥-1　 􀃊􀁉􀁖0 和 1 􀃊􀁉􀁗-1、0、1,2　 􀃊􀁉􀁘0 和 1　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚<　 􀃊􀁉􀁛≥　 􀃊􀁊􀁒≤ 􀃊􀁊􀁓x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁊􀁔ax+b(m-x)≤n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 611 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 分式方程的解法及其应用(8 年 4 考) 要点 1 分式方程的概念:分母􀪍􀪍中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法(8 年 4 考,常在 16 题位与分式化简轮换考查) 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ï ï ï ï ï ï 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 解下列分式方程 (1) x x-3 +2 = 3 3-x ; 解:方程两边同乘(x-3)去分母得 x+2(x-3)= -3, 解得 x=1, 检验:当 x=1 时,x-3=1-3=-2≠0, ∴ x=1 是分式方程的解. (2) x x-1 -1 = 3 (x-1)(x+2) . 解:方程两边同乘(x-1)(x+2)去分母得 x(x+2)-(x-1)(x+2)= 3, 解得 x=1. 检验:当 x=1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴ x=1 是分式方程的增根,分式方程无解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【温馨提示】解分式方程一定要写“检验”过程. 要点 3 分式方程的增根与无解 (1)增根是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0; (2)无解的两种情况:①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的分式方程. (1)若方程的解为 2,则 m 的值为　 4　 ; (2)若方程的解为正整数,则整数 m 的值为　 3 或 4　 ; (3)若方程的解为负数,则 m 的取值范围为　 0<m<2　 ; (4)若方程有增根,则 m 的值为　 0　 ; (5)易错 ∙∙ 　 若方程无解,则 m 的值为　 2 或 0　 . 要点 4 分式方程的实际应用 (1)解题步骤 实际问题 找等量关系 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验 → 答 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. 02 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ (2)常考类型 类型 1　 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 例 1　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用 600􀪍􀪍􀪍 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书包每 个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得　 　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方 程) 解:解得　 x=60　 , 用表格梳理题干信息如下表: 总费用 单价(元) 数量(个) A 种 600 x 　 　 　 　 B 种 350 　 x+10　 　 　 　 　 验:　 经检验,x=60 是原分式方程的解,且符合题意　 , 则 B 种书包每个的进价为:　 x+10=70　 , 答:　 A种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 为了实施乡村振兴,某企业帮扶火红村发展林果产业,先后两次购进同种果树苗,第 一次购树苗用去 12000 元,第二次用去 10000 元,第一次树苗的单价是第二次树苗 单价的 1. 5 倍,第二次购进树苗的数量比第一次多 100 棵. 设第二次树苗单价为 x 元,则可列方程:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 类型 2　 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 2　 (人教八上 P154 第 3 题改编)甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地同时 出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速度为 3x 千米 /时,则所列方程是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设出甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得 　 　 　 　 　 　 . (根据甲乙同 时出发,到达目的地的时间差列方程) 用表格梳理题干信息如下表: 路程 (千米) 速度 (千米 / 时) 时间 (时) 甲 6 3x 　 　 　 　 乙 10 　 4x　 　 　 　 　 12 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. (人教八上 P153 例 4 改编)中国高铁已成为一张世界名片. 经过技术改进,某次列车平 均提速 20 km / h,列车提速前行驶 540 km 所用的时间,提速后可多行驶 60 km,求这 次列车提速前的平均速度. 设这次列车提速前的平均速度为 x km / h,则可列方程: 　 　 　 　 　 . 类型 3　 工程问题 例 3　 (人教八上 P152 例 3)两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工 1 个月完成 总工程的 1 3 ,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成. 哪个队 的施工速度快? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋审:———梳理题目关键信息 由题意甲的工作效率是 1 3 ,设乙的工作效率是 1 x ,则两队合作半个月,完成的工程量为 　 　 　 　 　 　 . 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 列:　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 解:解得　 x=1　 , 验:　 经检验,x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工 1 个月可完成全部任务. 答:　 乙队的施工速度快　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多 挖掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数.小明 同学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 =4,则 x 表示　 原计划每天挖掘隧道的长度　 . 变式　 某施工队要挖掘一条长 120 米的隧道,因为采取了新的施工工艺,开工后每 天挖掘的长度是原计划的 4 3 倍,结果比原计划提前 5 天完成任务,则原计划每天挖 掘的长度为　 6　 米. 温馨提示:请完成分层作业本 P15-16 习题 22