2.2 一元二次方程的解法及其应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 要点 1 一元二次方程的概念 一般地,形如 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的方程是一元二次方程,其中 ax2 是二次项,bx 是一次 项,c 是常数项,a,b 分别是二次项系数、一次项系数. 易错警示:①对于方程 ax2 +bx+c= 0,只有当①　 a≠0　 时才是一元二次方程;若 ax2 +bx+ c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 ; ②判断一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,必须先把这个方程化为一 般式,且不能漏掉它们的符号. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 请在表格中,写出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 方程 二次项系数 一次项系数 常数项 x2 +2x+3 = 0 1 2 3 -2x2 +2x-3 = 0 -2 2 -3 2x2 = 2x-1 2 -2 1 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次)(在二次函数解题过程涉及) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x1 = p ,x2 = - p (x+n) 2 = p(p≥0) x1 = p -n,x2 = - p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0 x1 = 0,x2 =- b a 公式法 任意一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 任意的一元二次方程,转化 为形如 x2 + 2mx-n = 0(一般 用于二次项系数化为 1 后一 次项系数是偶数的方程) 配方得 x2 +2mx+m2 =n+m2 即(x+m) 2 =n+m2 解得 x= ± n+m2 -m 使用配方法应注意:二次项系数不是 1 的先化为 1 易错警示:对于方程两边含有相同因式[如 2x(x-1)= 3(x-1)]的一元二次方程,切勿直 接约去公因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积等于 0 的形式, 利用因式分解法求解. 71 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. (北师九上 P36 做一做改编)x2 +8x+　 16　 = (x+4) 2;x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 3. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 -2x-4 = 0; 解:由原方程得 x2-2x=4, 则 x2-2x+1=4+1,即(x-1) 2 =5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 =1+ 5 ,x2 =1- 5 ; (2)2x2 -5x+2 = 0. 解:∵ a=2,b=-5,c=2, ∴ b2-4ac=(-5) 2-4×2×2=9>0, ∴ x=5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 要点 3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的判别式. (ⅰ)b2 -4ac>0⇔方程有③　 两个不相等　 的实数根; (ⅱ)b2 -4ac= 0⇔方程有④　 两个相等　 的实数根; (ⅲ)b2 -4ac<0⇔方程⑤　 没有　 实数根. (2)一元二次方程根与系数的关系【2022 年版课标变化点】 若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2 =⑥　 　 　 　 ,x1x2 =⑦　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. (华师九上 P33 试一试改编)已知关于 x 的方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 a<4 且 a≠0　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 4　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 a>4　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 a≤4 且 a≠0　 . 5. (北师九上 P56 第 5 题改编)已知方程 x2 -3x+1 = 0 的两根是 x1,x2,则 x1 +x2 +x1 ·x2 的 值是　 4　 　 . 要点 4 一元二次方程的实际应用 ◆ 变化率问题 变化前的量 变化过程 变化后的量 设未知数 可得方程 a 连续两次增长 b 设平均增长率为 x ⑧　 ⑧a(1+x) 2 =b　 a 连续两次下降 b 设平均下降率为 x ⑨　 ⑨a(1-x) 2 =b　 81 基础夯实练·陕西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ ◆ 面积问题 (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 = 􀃊􀁉􀁒　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = 􀃊􀁉􀁓　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆,一边靠墙,围成一个矩形,若平行于墙的一边长为 x 米 (墙面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S = 􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米的门时,S= 􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 　 　 　 第 6 题图 (4)如图 7,长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一 个无盖的盒子,则该盒子的底面积 S= 􀃊􀁉􀁖　 (a-2x)(b-2x) 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 6. 如图,某小区计划在一个“长为 40m,宽为 26 m”的矩形空地 ABCD 上修建三条同样 宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草(阴影部分),且 每块草地的面积为 144 m2,设道路的宽为 x m,列方程为　 (40-2x)(26-x)= 144×6　 , x 的值为　 2　 . ◆ 其他问题 (1)细胞分裂问题:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一 轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁗　 ax　 ,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁘　 ax2 　 ; (2)病毒传染问题:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮 后共有􀃊􀁉􀁙　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁚　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手,则总握手次数为n(n -1) 2 次; (4)互赠礼物问题:有 n 名同学相互之间各送一个礼物,则总礼物个数为 n(n-1)个. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 7. (人教九上 P17 第 9 题改编)参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合 同,所有公司共签订了 45 份合同,设有 x 家公司参加,则依题意列方程为 ( B ) A. 1 2 x(x+1)= 45　 　 B. 1 2 x(x-1)= 45　 　 C. x(x+1)= 45　 　 D. x(x-1)= 45 温馨提示:请完成分层作业本 P13-14 习题 91 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)的解法及其应用 要点归纳 ①y= x-3　 ②3x-8(x-3)= 14　 ③①+②　 ④18x= 36 例 1　 2(x+2)= 20-5(x-1);2x+4 = 20-5x+5;2x+5x= 20+5- 4;7x= 21;x= 3 例 2　 -;+　 8x-3 = 7x+4;x= 7;53;7;53 例 3　 0. 8;10;(标价-30) 解:设这种服装每件的标价是 x 元,根据题意得, 10×0. 8x= 11(x-30), 解得 x= 110. 答:这种服装每件的标价为 110 元. 例 4　 4;( 1 5 + 1 10 ) ×2; 1 10 x 对点练习 1. (1)解:由①,得 x= y+1. ③ 将③代入②,得 3(y+1) +2y= 8. 解这个方程,得 y= 1. 将 y= 1 代入①,得 x= 2. ∴ 这个方程组的解是 x= 2, y= 1.{ (2)解:①×2,得 4x-6y= 10. ③ ②-③,得 8y= 0. 解这个方程,得 y= 0. 把 y= 0 代入①,得 x= 5 2 . ∴ 这个方程组的解是 x= 5 2 , y= 0. { (3)解:将②代入①,得 4y= 3+3y. 解这个方程,得 y= 3. 把 y= 3 代入②,得 3x-1 = 6. 解这个方程,得 x= 7 3 . ∴ 这个方程组的解是 x= 7 3 , y= 3. { 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤没有　 ⑥- b a 　 ⑦ c a 　 ⑧a(1+x) 2 = b　 ⑨a(1-x) 2 = b ⑩(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁓(a-x)(b-x)　 􀃊􀁉􀁔x· m-x 2 􀃊􀁉􀁕x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁖(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁗ax　 􀃊􀁉􀁘ax2 　 􀃊􀁉􀁙(1+x) 􀃊􀁉􀁚(1+x) 2 对点练习 1. 1,2,3;-2,2,-3;2,-2,1 2. 16,36,6 3. (1)解:由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:∵ a= 2,b= -5,c= 2, ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 4. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 且 a≠0. 5. 4　 6. (40-2x)(26-x)= 144×6;2　 7. B 命题点 3　 分式方程的解法及其应用 要点归纳 例 1　 600 x ;x+ 10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原分式方程的解,且符合题意;x+10 = 70;A 种书包每个进 价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 例 2　 C; 6 3x ;4x; 10 4x ; 6 3x + 20 60 = 10 4x 例 3　 1 2 ( 1 3 + 1 x ); 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1;x = 1;经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际;乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)解:方程两边同乘(x-3)去分母得 x+2(x-3)= -3, 解得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,x-3 = 1-3 = -2≠0, ∴ x= 1 是分式方程的解. (2)解:方程两边同乘(x-1)(x+2)去分母得 x(x+2) -(x-1)(x+2)= 3, 解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x-1)(x+2)= 0, ∴ x= 1 是分式方程的增根,分式方程无解. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 12000 1. 5x +100 = 10000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式　 6 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法 及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a≤x<b　 􀃊􀁉􀁓x>-3　 􀃊􀁉􀁔x≥-1　 􀃊􀁉􀁕x≥-1　 􀃊􀁉􀁖0 和 1 􀃊􀁉􀁗-1、0、1,2　 􀃊􀁉􀁘0 和 1　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚<　 􀃊􀁉􀁛≥　 􀃊􀁊􀁒≤ 􀃊􀁊􀁓x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁊􀁔ax+b(m-x)≤n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 611