1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算(8 年 5 考) 要点 1 分式的概念及性质 分式 形式如 A B (A,B 表示两个整式)且 B 中含有字母的式子 与分式有关 的“三个条件” (1)分式 A B 有意义的条件是:①　 B≠0　 ; (2)分式 A B 值为 0 的条件是:②　 A=0 且 B≠0　 ; (3)使代数式 A B ÷D C 有意义的条件是:③　 B≠0,C≠0,D≠0　 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 性 质 基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变 性质应用 (1) A B = A·M B·M (M≠0),该性质应用于分式的通分; (2) A B = A÷M B÷M (M≠0),该性质应用于分式的约分; (3)符号变化法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任意两个,分 式的值不变,即 A B = -A -B = --A B = - A -B 要点 2 分式的运算 乘 除 运 算 乘法: b a · d c = ④　 　 　 　 ; 除法: b a ÷ d c = b a · c d = ⑤　 　 　 　 ; 乘方:( b a ) n = ⑥　 　 　 　 (n 为整数) 分式乘除运算的关键是约分,即寻找分子、 分母的公因式,写出下列分式中分子、分母 的公因式: 2x-2 x-1 :⑦ 　 x - 1 　 ; x +1 x2 +2x+1 : ⑧ 　 x + 1 　 ; x2 -4x+4 x(x-2) :⑨　 x-2　 加 减 运 算 同分母分式相加减: a c ± b c = ⑩　 　 　 　 ; 异分母分式相加减: a b ± c d =ad bd ±bc bd = 􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 异分母分式加减运算的关键是通分,即寻找 最简公分母,写出下列各组分式的最简公 分母: 1 x-2 和 x x-1 :􀃊􀁉􀁔　 (x-2)(x-1) 　 ; 1 x-1 和 2x x2 -1 :􀃊􀁉􀁕　 (x+1)(x-1) 　 ; 1 x2 -4 和 1 x2 -4x+4 :􀃊􀁉􀁖　 (x+2)(x-2) 2 　 11 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. (北师八下 P109 例 1(2)改编)分式 2x-10 x-5 有意义,则 x 的取值范围是　 x≠5　 . 2. (北师八下 P109 例 1(1)改编)若分式 | x | -1 x+1 值为 0,则 x 的值为　 1　 . 3. 计算: (1) - 12a 2b 15ab2 = 　 　 　 　 ;　 　 (2) a -2b -2a+4b = 　 　 　 　 ;　 　 (3)2m -3 m-1 + 1 m-1 = 　 2　 ; (4) 2a a2 -4 - 1 a-2 = 　 　 　 　 ; (5)a +2 a-2 · a a2 +2a = 　 　 　 　 ; (6)1 -x x ÷x-1 x2 = 　 -x　 . 要点 3 分式的化简与求值(8 年 5 考,常在 16 题位与分式方程轮换考查) 陕西近 8 年分式的化简考查形式基本固定为(A±B) ÷C 的形式,其中 A,C 均为分式,B 仅 2022 年替换成了数字 1. 分母常以平方差的形式呈现,而在解题过程中有时会用到完全平 方公式和提公因式. 在化简时,应先熟练掌握因式分解、分式的通分、约分等基本方法,再 按照下列运算步骤进行. 第一步:通分,去括号. 先对 A,B 进行通分,化为同分母分式,再进行同分母分式加减运 算;把分式(A±B) ÷C 转化为 D÷C 的形式; 第二步:把“ ÷”变“·”,C 变成 1 C ; 第三步:约分,把 D· 1 C 化简到最简形式. 温馨提示:①分式化简的基本步骤是先去括号,再算乘除,最后算加减; ②遇到(A±B)·C 的形式可以先用乘法分配率转化为 A·C±B·C,再计算 结果; ③遇到化简求值时,要先化简,再代值. 当字母的值需要选择时,一定要注意代 入的值不能使原分式无意义. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 化简: (1)(1- 1 a+1 ) ÷ a a2 +2a+1 ; 解:原式= a (a+1) 2 ÷a+1-1 a+1 = 1 a+1 ; (2) 2a a2 -4 ÷ a a-2 + a a+2 . 解:原式= 2a (a+2)(a-2) ·a -2 a + a a+2 =a+2 a+2 =1. 温馨提示:请完成分层作业本 P7-8 习题 21 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③亏损 80 元　 ④单位长度　 ⑤一一对 应　 ⑥小　 ⑦符号不同　 ⑧-a　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒-a　 􀃊􀁉􀁓距离 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖±1　 􀃊􀁉􀁗 2 , 3 , 5 　 􀃊􀁉􀁘大　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚108 对点练习 1. ①⑤ 2. (1)F,B;(2) -3,3, 1 3 ;(3)D,B;(4) -3 或 1 3. | -3 | ;- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7. 05×107 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)3. 3×1010 ;(4)10-5 ; (5)5×10-4 ;(6)92500 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 例　 C;2. 5;3 对点练习 1. (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1;(5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1. 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) -6;(5) -2;(6)2 3 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 􀃊􀁉􀁙2 3 　 􀃊􀁉􀁚-3 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. 92 3. (1)解:原式= 4-3 3 + 3 -1 = 3-2 3 . (2)解:原式= 3-2+1-6 = -4. (3)解:原式= -2 6 +3- 6 +1 = 4-3 6 . (4)解:原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③x4 　 ④ambm 　 ⑤4x2y4 　 ⑥am-n 　 ⑦-x3y　 ⑧am+an+bm+bn　 ⑨a2 -b2 　 ⑩a2 ±2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁓10(答案不唯 一) 对点练习 1. 2n-1 n2 +1 2.证明:∵ a-2b+c= 0,∴ a+c= 2b,∴ b= a+c 2 , ∴ b2 -ac= ( a+c 2 ) 2 -ac= a2 +2ac+c2 4 -ac= a2 -2ac+c2 4 = ( a-c 2 ) 2 ≥0, ∴ b2 -ac≥0. 3. (1)y(x-2y);(2)(3+x)(3-x);(3)(a+2)2;(4)(4a-1)2 4. 解:解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2024 时,原式= 2024+1 = 2025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. (1)解:原式= a+1-1 a+1 ÷ a (a+1) 2 = a a+1 · (a+1) 2 a =a+1. (2)解:原式= 2a (a+2)(a-2) · a-2 a + a a+2 = 2 a+2 + a a+2 = a +2 a+2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511