1.4 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③亏损 80 元　 ④单位长度　 ⑤一一对 应　 ⑥小　 ⑦符号不同　 ⑧-a　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒-a　 􀃊􀁉􀁓距离 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖±1　 􀃊􀁉􀁗 2 , 3 , 5 　 􀃊􀁉􀁘大　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚108 对点练习 1. ①⑤ 2. (1)F,B;(2) -3,3, 1 3 ;(3)D,B;(4) -3 或 1 3. | -3 | ;- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7. 05×107 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)3. 3×1010 ;(4)10-5 ; (5)5×10-4 ;(6)92500 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 例　 C;2. 5;3 对点练习 1. (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1;(5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1. 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) -6;(5) -2;(6)2 3 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 􀃊􀁉􀁙2 3 　 􀃊􀁉􀁚-3 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. 92 3. (1)解:原式= 4-3 3 + 3 -1 = 3-2 3 . (2)解:原式= 3-2+1-6 = -4. (3)解:原式= -2 6 +3- 6 +1 = 4-3 6 . (4)解:原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③x4 　 ④ambm 　 ⑤4x2y4 　 ⑥am-n 　 ⑦-x3y　 ⑧am+an+bm+bn　 ⑨a2 -b2 　 ⑩a2 ±2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁓10(答案不唯 一) 对点练习 1. 2n-1 n2 +1 2.证明:∵ a-2b+c= 0,∴ a+c= 2b,∴ b= a+c 2 , ∴ b2 -ac= ( a+c 2 ) 2 -ac= a2 +2ac+c2 4 -ac= a2 -2ac+c2 4 = ( a-c 2 ) 2 ≥0, ∴ b2 -ac≥0. 3. (1)y(x-2y);(2)(3+x)(3-x);(3)(a+2)2;(4)(4a-1)2 4. 解:解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2024 时,原式= 2024+1 = 2025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. (1)解:原式= a+1-1 a+1 ÷ a (a+1) 2 = a a+1 · (a+1) 2 a =a+1. (2)解:原式= 2a (a+2)(a-2) · a-2 a + a a+2 = 2 a+2 + a a+2 = a +2 a+2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 整式与因式分解(必考) 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的 一个数或一个字母也是代数式 列代数式 列代数式可以用来描述一些数量的关系,如速度、加速度、距离等. 温馨提示:多项式后面带单位时,多项式要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式求值 直接代入法:例如:已知 a= -2,则 2a+3 = 2×(-2)+3 = -1 整体代入法: 例如:已知 a2 +2a-3 = 0,求代数式 9-2a2 -4a 的值. 第一步:先变形,即 a2 +2a= 3,9-2a2 -4a= 9-2(a2 +2a), 第二步:将 a2 +2a 看成一个整体代入,得原式= 9-2×3 = 3. 要点 2 简单数列推理 (1)正整数型:若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1) 个数的和为 n(n+1) 2 ; (2)奇偶型:若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥ 1)个数的和为 n2; 若一列数:2,4,6,8,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n,这 n(n≥1)个数的和为 n2+n; (3)正负交替型:若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; 若一列数:1,-1,1,-1,1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n+1; (4)平方型:若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)固定累加型:若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1 要点 3 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能 被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 按规律排列的一组数据: 1 2 , 3 5 , 1 2 , 7 17 , 9 26 ,11 37 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 2. 已知三个实数 a,b,c 满足 a-2b+c= 0. 求证:b2 -ac≥0. 证明:∵ a-2b+c=0,∴ a+c=2b,b=a +c 2 , ∴ b2-ac=(a +c 2 ) 2-ac=a 2+2ac+c2 4 -ac=a 2-2ac+c2 4 =(a -c 2 ) 2≥0, ∴ b2-ac≥0. 8 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的相关概念 单项式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数,如 πa2 的系数是 π 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和,如-2xy3 的次数是 4 多项式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数,如 3x2y-5x 中次数最高项为 3x2y,次数为 3 整式 单项式和多项式统称为整式 要点 5 整式的运算(8 年 7 考,常考幂的运算,2024 年首次考查整式化简求值) 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项. 例 如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 合并同类项时,把同类项的系数相 加,字母和字母的指数不变. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b (3)去括号:a+(b-c)= a+b-c;a-(b-c)= a-b+c; (4)进行整式加减运算时,如果有括号要先去括号,再合并同类项 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数);计算(x2) 2 = ③　 x4 　 (3)积的乘方:(ab)m = ④　 ambm 　 (m 是整数);计算(-2xy2) 2 = ⑤　 4x2y4 　 (4)同底数幂的除法:am÷an = ⑥　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n) 整式的 乘法 (1)单项式乘单项式:-2am·an=-2a2mn;计算:2x·(- 1 2 x2y)= ⑦　 -x3y　 (2)单项式乘多项式:m(a+b+c)= ma+mb+mc; (3)多项式乘多项式:(a+b)(m+n)= ⑧　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式: a+b( ) a-b( ) = ⑨　 a2-b2 　 ; ②完全平方公式: a±b( ) 2 = 􀃊􀁉􀁒　 a2± 2ab+b2 　 . 若 x2 +ax+25 是完全平方式, 则 a 的值可以是􀃊􀁉􀁓　 10(答案不唯一) 　 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 运算 的顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是 单项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 9 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 【拓展———乘法公式的几何背景】 平方差 公式 代数关系式:(a+b)(a-b)= a2 -b2 完全平 方公式 代数关系式:(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 代数关系式:(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 要点 6 因式分解(必考,直接考查 2 次(2024. 9,2021. 9),其余多在分式化简、分式方程解法中涉及) 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c); 公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ïï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) 　 a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 y(x-2y) 　 ;　 　 　 　 　 (2)9-x2 = 　 (3+x)(3-x) 　 ; (3)a2 +4a+4 = 　 (a+2) 2 　 ; (4)16a2 -8a+1 = 　 (4a-1) 2 　 . 4. 多解法 ∙∙∙ 　 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2024. 解:解法一:原式=x2+2x+1-x2-x =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 温馨提示:请完成分层作业本 P5-6 习题 01