1.2 二次根式及其运算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③亏损 80 元　 ④单位长度　 ⑤一一对 应　 ⑥小　 ⑦符号不同　 ⑧-a　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒-a　 􀃊􀁉􀁓距离 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖±1　 􀃊􀁉􀁗 2 , 3 , 5 　 􀃊􀁉􀁘大　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚108 对点练习 1. ①⑤ 2. (1)F,B;(2) -3,3, 1 3 ;(3)D,B;(4) -3 或 1 3. | -3 | ;- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7. 05×107 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)3. 3×1010 ;(4)10-5 ; (5)5×10-4 ;(6)92500 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 例　 C;2. 5;3 对点练习 1. (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1;(5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1. 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) -6;(5) -2;(6)2 3 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 􀃊􀁉􀁙2 3 　 􀃊􀁉􀁚-3 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. 92 3. (1)解:原式= 4-3 3 + 3 -1 = 3-2 3 . (2)解:原式= 3-2+1-6 = -4. (3)解:原式= -2 6 +3- 6 +1 = 4-3 6 . (4)解:原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③x4 　 ④ambm 　 ⑤4x2y4 　 ⑥am-n 　 ⑦-x3y　 ⑧am+an+bm+bn　 ⑨a2 -b2 　 ⑩a2 ±2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁓10(答案不唯 一) 对点练习 1. 2n-1 n2 +1 2.证明:∵ a-2b+c= 0,∴ a+c= 2b,∴ b= a+c 2 , ∴ b2 -ac= ( a+c 2 ) 2 -ac= a2 +2ac+c2 4 -ac= a2 -2ac+c2 4 = ( a-c 2 ) 2 ≥0, ∴ b2 -ac≥0. 3. (1)y(x-2y);(2)(3+x)(3-x);(3)(a+2)2;(4)(4a-1)2 4. 解:解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2024 时,原式= 2024+1 = 2025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. (1)解:原式= a+1-1 a+1 ÷ a (a+1) 2 = a a+1 · (a+1) 2 a =a+1. (2)解:原式= 2a (a+2)(a-2) · a-2 a + a a+2 = 2 a+2 + a a+2 = a +2 a+2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (必考) 要点 1 平方根、算术平方根、立方根的对比(必考,常在实数运算中涉及) 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ;平方根等于本身的 数是②　 0　 算术平方根 a 0 无 算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且 与原数同号;立方根等于本身的数 是⑤　 -1、0、1　 附表①:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表②:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式的性质与运算(8 年 4 考,均考查二次根式乘法) 二次根式 一般地,式子 a (a≥0)叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 若式子 a有意义,则 a⑥　 ≥　 0 最简二次根式 ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式:如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0);(2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ï ï ï 北师独有 4 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b = ⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式的合并 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. x 取何值时,下列式子有意义? (1) -5x :　 x≤0　 ;　 (2) x-4 :　 x≥4　 ;　 　 　 (3) 2x2 :　 x 取任意实数　 ; (4) x +1 2 :　 x≥-1　 ; (5) x -1 2-x :　 x≥1 且 x≠2　 ;(6) 2 -x x-1 :　 x>1　 . 2. 计算: (1)( 3 ) 2 = 　 3　 ;　 　 　 　 　 (2) ( -3) 2 = 　 3　 ;　 　 　 (3) - ( -3) 2 = 　 -3　 ; (4) 12 ×( - 3 )= 　 -6　 ; (5) 12 ÷( - 3 )= 　 -2　 ; (6) 2 × 6 = 　 2 3 　 . 要点 3 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 要点 4 无理数的估值(去绝对值号或实数比较大小中涉及) (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 若 n2 <　 a < (n+1) 2 (n 为自然数),则 n<a<n+1. (3)确定无理数离哪个整数较近 例　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1　 　 　 　 　 　 B. 2　 　 　 　 　 　 C. 3　 　 　 　 　 　 D. 4 解题步骤 ①先确定无理数在哪两个相邻整数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 　 2. 5　 ③对 ② 中平均数平方,再比较大小定 远近 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7,∴ 7 离　 3　 更近 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 温馨提示:请完成分层作业本 P3 习题 5