1.1 实数的相关概念与大小比较-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第一章　 数与式 (每年 4 ~ 6 道,14 ~ 22 分) 第 一 章 　 数 与 式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较(必考) 要点 1 实数的分类(2019. 11) 要点归纳及对点练习参考答案见本册 P115 (1)按定义分 实 数 有理数 整数 正整数 　 0 }自然数 负整数 ì î í ï ï ï ï 分数 正分数 负分数{ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï 有限小数或无 限循环小数 无理数 正无理数 负无理数{ }无限①　 不循环　 小数 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 　 　 　 　 　 (2)按大小分 实数 正实数 　 0 负实数 ì î í ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 拓展归纳 无理数的常见形式 　 ①含有根号且被开方数为开方开不尽􀪍􀪍􀪍的数,如 3 , 3 9等; 　 ②π 及化简后含 π 的数,如 3π 等; 　 ③计算结果含根号的三角函数,如 sin45°等; 　 ④特定结构的数,如 0. 1010010001…(每相邻两个 1 之间依次多一个 0)等. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 下列结论中正确的是　 ①③⑤　 . (填正确结论的序号) ① 1 5 是有理数;②-22 7 是无理数,也是负数;③开方开不尽的数是无理数;④一个实数 不是正数就是负数;⑤面积为 6 的正方形的边长是无理数;⑥无限小数是无理数. 要点 2 正数、负数可以表示具有相反意义的量【2022 年版课标新增内容】 根据相反意义可以合理使用正、负数对实际问题进行表示. 一般情况下,把向北、零上、增 加、收入等规定为正( +),则它们的相反意义向南、零下、减少、支出等规定为负( -) . (1)若向东行走 5 m 记为+5 m,则向西行走 3 m 可记为②　 -3 m　 ; (2)若规定盈利记为+,亏损记为-,则-80 元表示③　 亏损 80 元　 . 【思考】 请举出一些生活中具有相反意义量的例子. 1 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 3 数轴、相反数、绝对值、倒数 数轴 (8 年 2 考) (1)三要素:原点、正方向、④　 单位长度　 ; (2)实数与数轴上的点⑤　 一一对应　 ; (3)数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数⑥　 小　 ; (4)若数轴上两点 A,B 分别表示实数 a,b,则 AB= | a-b | ; (5)已知数轴上两点 A,B,点 A 表示数 a,AB=m,则点 B 表示的数为 a+m 或 a- m(分类讨论) 相反数 (8 年 2 考) (1)只有⑦　 符号不同　 的两个数叫做互为相反数; (2)实数 a 的相反数是⑧　 ⑨-a　 ,0 的相反数是 0; (3)a,b 互为相反数↔a+b= ⑨　 0　 绝对值 (实数混 合运算 中涉及) (1)代数意义: | a | = a　 (a>0), 0　 (a= 0), 􀃊􀁉􀁒　 -a　 (a<0), ì î í ï ï ï ï | a | 具有非负性,即 | a | ≥0; (2)几何意义:数轴上表示数 a 的点到原点的􀃊􀁉􀁓　 距离　 ;离原点越远的数的 绝对值越􀃊􀁉􀁔　 大　 ; (3)互为相反数的两个数的绝对值相同􀪍􀪍 (4)若 | x | =a(a>0),则 x= ±a 倒数 (2024. 1、 2018. 1) (1)乘积是 1 的两个数互为倒数,即若 ab= 1,则 a,b 互为倒数; (2)a,b 互为倒数↔ab= 1; (3)非零实数 a 的倒数是􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 ; (4)0 没有倒数,倒数是其本身的数是􀃊􀁉􀁖　 ±1　 拓展 用圆规和直尺在数轴上表示无理数【2022 年版课标新增内容】 利用单位长度 1 和直角三角形(勾股定理)可在数轴上 表示相应的无理数. 如图所示点 A,D,F 分别表示的无 理数为􀃊􀁉􀁗　 　 2 ,　 3 ,　 5 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 如图,数轴上的点 A,B,C,D,E,F 分别表示 6 个实数. 第 2 题图 (1)点　 F　 表示的数的绝对值最大,点　 B　 表示的数的绝对值最小; (2)点 E 表示的数的相反数是　 -3　 ,绝对值是　 3　 ,倒数是　 　 　 　 ; (3)这些点中,可以表示 2的点是　 D　 ,可以表示- 1 2 的点是　 B　 ; (4)若数轴上一点 M 到点 A 的距离是 2,则点 M 表示的数为　 -3 或 1　 . 2 基础夯实练·陕西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 实数的大小比较(8 年 3 考) 数轴比较法 数轴上的两个数右边的数总比左边的数􀃊􀁉􀁘　 大　 性质比较法 正数>0>负数. 两个负数比较大小,绝对值大的数反而小 作差比较法 设 a,b 是任意两个实数,则 a-b>0⇔a>b;a-b= 0⇔a= b; a-b<0⇔a<b 平方比较法 a􀃊􀁉􀁙　 >　 b⇔a>b>0(主要用于二次根式估值及其大小比较) 特殊值法 若 0<a<1,比较 a, 1 a ,a2, a的大小⇒可取 a= 1 4 ,则 a2<a< a < 1 a 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 4 题图 对 点练 习 3. 在实数- 1 3 , 3 ,0, | -3 |中,最大的数是　 | -3 | 　 ,最小的数是　 　 　 　 . 4. (人教七上 P52 综合运用第 10 题改编)实数 a,b 在数轴上的位置如 图所示,请把 a,-a,b,-b 按从小到大的顺序用“ <” 号连接为 　 a<-b<b<-a　 . 要点 5 科学记数法及近似数(2020. 3,大数) 科学记 数法 表示形式:a×10n(1≤ | a | <10,n 为整数) n 的确定(设原数为 x): 当 | x | ≥10 时,n 等于原数的整数位数减 1; 当 0< | x | <1 时,n 为负数, | n | 等于原数左起第 一个非零数前所有零的个数(含小数点前的 零) 【常考单位换算】 计数单位: 1 千= 103,1 万= 104, 1 亿= 􀃊􀁉􀁚　 108 　 ; 计量单位: 1 km = 103 m,1 mm = 10-3 m, 1 μm = 10-6 m,1 nm = 10-9 m 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一位,常 采用四舍五入法得到一个数的近似数. 如:3. 141 59 精确到 0. 01 是 3. 14;近似 数 3. 14 万是精确到百位 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. 将下列各数用科学记数法表示或还原. (1)70500000 = 　 7. 05×107 　 ;　 　 　 　 　 (2)0. 0000000507 = 　 5. 07×10-8 　 ; (3)330 亿= 　 3. 3×1010 　 ; (4)0. 01 毫米= 　 10-5 　 米; (5) 1 2000 = 　 5×10-4 　 ; (6)9. 25×104 = 　 92500　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P1-2 习题 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③亏损 80 元　 ④单位长度　 ⑤一一对 应　 ⑥小　 ⑦符号不同　 ⑧-a　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒-a　 􀃊􀁉􀁓距离 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖±1　 􀃊􀁉􀁗 2 , 3 , 5 　 􀃊􀁉􀁘大　 􀃊􀁉􀁙>　 􀃊􀁉􀁚108 对点练习 1. ①⑤ 2. (1)F,B;(2) -3,3, 1 3 ;(3)D,B;(4) -3 或 1 3. | -3 | ;- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7. 05×107 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)3. 3×1010 ;(4)10-5 ; (5)5×10-4 ;(6)92500 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 例　 C;2. 5;3 对点练习 1. (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1;(5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1. 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) -6;(5) -2;(6)2 3 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 􀃊􀁉􀁙2 3 　 􀃊􀁉􀁚-3 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. 92 3. (1)解:原式= 4-3 3 + 3 -1 = 3-2 3 . (2)解:原式= 3-2+1-6 = -4. (3)解:原式= -2 6 +3- 6 +1 = 4-3 6 . (4)解:原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③x4 　 ④ambm 　 ⑤4x2y4 　 ⑥am-n 　 ⑦-x3y　 ⑧am+an+bm+bn　 ⑨a2 -b2 　 ⑩a2 ±2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁓10(答案不唯 一) 对点练习 1. 2n-1 n2 +1 2.证明:∵ a-2b+c= 0,∴ a+c= 2b,∴ b= a+c 2 , ∴ b2 -ac= ( a+c 2 ) 2 -ac= a2 +2ac+c2 4 -ac= a2 -2ac+c2 4 = ( a-c 2 ) 2 ≥0, ∴ b2 -ac≥0. 3. (1)y(x-2y);(2)(3+x)(3-x);(3)(a+2)2;(4)(4a-1)2 4. 解:解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2024 时,原式= 2024+1 = 2025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. (1)解:原式= a+1-1 a+1 ÷ a (a+1) 2 = a a+1 · (a+1) 2 a =a+1. (2)解:原式= 2a (a+2)(a-2) · a-2 a + a a+2 = 2 a+2 + a a+2 = a +2 a+2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511