6.3线段的比较与运算　课件　2024—2025学年青岛版数学七年级上册

第6章 基本的几何图形 图形的性质 线段的比较与运算 ………… 青岛版 七年级上册 几何图形 线和角 平面图形 内容提要 点、线、面、体 直线、射线、线段 线段的比较与运算 角的比较与运算 名称 端点数 延伸性 能否度量 线段 射线 直线 2个 1个 0个 无延伸性 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 可度量 不可度量 不可度量 联系：线段、射线都是直线的一部分。 1.直线、射线与线段的区别和联系 温故而知新 2.线段、射线和直线的表示： 温故而知新 线段、射线、直线都可以用两个大写字母表示。 线段、射线、直线都可以用一个小写字母表示。 3.当一条直线上有n个点时,共有1+2+3+...+(n-1) = (条)线段。 4.直线的性质： 基本事实： 经过两点能且只能作一条直线。简单说成： 两点确定一条直线。 5.线段的性质： 基本事实：两点之间，线段最短。 6.两点间的距离： 连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离。 引入新课 在小学阶段，我们学习了线段的测量， 如何进行线段的比较与运算呢? 6.3 线段的比较与运算 第6章 基本的几何图形 (1)如图，如何比较两棵树的高矮?如何比较两支铅笔的长短? 新知探究一 线段的比较 观察与发现 方法一：目测法 关键：一端起点对齐，看另端的位置。 A B D C （1）此时点B落在线段CD上， A B D C （2）此时点B落在线段CD的延长线上， （3）此时点B与点D重合， A B C D 注意：起点对齐，看终点。 新知探究一 线段的比较 记作AB>CD 记作AB<CD 记作AB=CD 方法二： 叠合法 新知探究一 线段的比较 (2)如何比较两条线段的长短？ 已知:线段AB和线段CD,如何比较它们的长短？ A B C D AB < CD 方法三：度量法 实际上比较两条线段AB与CD的大小还可借助圆规来进行。 A B C D AB<CD AB>EF E F AB=EF 新知探究一 线段的比较 A B A B 方法四： 截取法 A B E F 9 新知探究一 线段的比较 比较两条线段长短的方法： 归纳 1.目测法—— 直接观察，目测判断。 （不准确，也不十分可靠，不建议采用） 2.度量法——从“数值”的角度比较 用刻度尺分别量出两条线段的长度，再比较两条线段的长短（大小）. 3.叠合法——从“形”的角度比较. 将一条线段放在另一条线段上，使它们的一个端点重合，观察另一个端点的位置关系。 起点对齐，看终点 4.截取法——借用圆规 新知探究二 用尺规作线段（和、差） 1.用直尺和圆规作一条线段等于已知线段 如图 所示,已知线段a,求作:线段AB,使AB=a a A C ①用直尺作射线AC； ②用圆规在射线AC上截取AB = a. 则线段AB=a为所求作的线段. 用铅笔作图,并保留作图痕迹。 B 只使用没有刻度的直尺和圆规作图的方法叫作尺规作图, 步骤： 新知探究二 用尺规作线段（和、差） 思考与交流 如图 ，已知线段a，b(a>b)，射线 AE。用圆规在射线AE上截取线段AB=a,再截取线段BC=b 此时，点C在A，B之间还是在A，B之外? b a A E 点C在线段AB的延长线上 或在线段AB上 A ①先画一条射线AE; C a b B 画法： E 新知探究二 用尺规作线段（和、差） (1）当点C在线段AB的延长线上时 ②在射线AE上依次截取 AB= a ，BC=b。 所以AC=a+b. 线段AC是a与b的和，记作 AC=a+b; A E C a B b 新知探究二 用尺规作线段（和、差） （2）当点C在线段AB上时 画法： ①先画一条射线AE; ②在射线AE上先截取 AB = a ，在线段AB上截取BC=b。 线段AC是a与b的差，记作 AC=a-b; 所以AC=a-b. 例1.如图，点B，C在线段AD上。 (1)如果AB=CD，那么AC=BD吗?为什么? (2)如果AC=BD，那么AB=CD吗?为什么? 例题讲析 A B C D (2)如果AC=BD,那么AB=CD。 解:(1)如果 AB= CD,那么AC=BD。 理由:∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC, 即AC=BD。 理由:∵AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC, 即AB=CD。 1.如图，点B，C是线段AD上的两点。 (1) AD=AC+( ); (2) AC=AD-( ); (3) BC+CD=( )-AB。 针对训练一 A B C D 练习 CD CD AD 2.已知线段a、b, 画一条线段AB，使AB=a+2b。 3.已知线段a、b,画一条线段MN，使MN=2a-b。 针对训练一 如图 所示,已知线段a,求作:线段AB,使AB=2a a ①用直尺作射线AC； ②在射线AC上依次截取AM=a,MB=a. 则线段AB=2a为所求作的线段. 此时点M在线段AB上有什么特殊的位置？ B 点M叫做线段AB的中点 步骤： 新知探究三 线段的中点 A M C AB，BM与AM之间有什么数量关系? 新知探究三 线段的中点 线段的中点的概念： 如果一个点将一条线段分成两条相等的线段，那么这个点就叫做这条线段的中点。 A B M 几何语言表示为： • • • 新知探究三 线段的中点 (1)把一条直线分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点. 如图M,N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB= AB A M N B • • • • (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点. 如图，M,N,P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB= AB A B M N P • • • • • 特别提醒：线段的中点只有一个，且一定在线段上，线段的三等分 点有两个,线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上。 所以线段CD的长度为1.5。 例2.如图，点C是线段AB上靠近点A的三等分点，点D是线段 AB的中点。若AB=9，求线段CD的长度。 例题讲析 A C D B 解:∵AB=9，点C是线段AB上靠近点A的三等分点， ∴AC= AB= ×9=3. ∵点D是线段AB的中点， ∴AD= AB= × 9=4.5。 ∴ CD=AD-AC=4.5-3=1.5。 B A C D M 2.已知直线L上顺次三个点A、B、C，已知AB=10cm,BC=4cm。 （1）如果D是AC的中点，那么AD= cm. （2）如果M是AB的中点，那么MD= cm. （3）如图，AB=AC―( ),AM+MB=AD+( ) 7 2 BC BD 针对训练二 1.如图，点C是线段AB的中点 （1）若AB=6cm，则AC= cm. （2）若AC=6cm，则AB= cm. A B C 3 12 针对训练二 3．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12 cm， CB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长。 ∵AC＝12 cm，CB＝AC， ∴CB＝8 cm， ∴AB＝AC＋CB＝20(cm)， 又∵D，E分别为AC，AB的中点， ∴DE＝AE－AD＝(AB－AC)＝4 (cm)． 即DE＝4 cm 解： 例3.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分， M为AD的中点，BM＝6 cm，求CM和AD的长． 例题讲析 ∴CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×2＝4 (cm)， AD＝10x＝10×2＝20(cm) 解： 设AB＝2x cm，BC＝5x cm，CD＝3x cm， ∴AD＝AB＋BC＋CD＝10x cm， ∵M是AD的中点， ∴AM＝MD＝AD＝5x cm， ∴BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x cm， ∵BM＝6 cm，∴3x＝6，x＝2， 3.如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长． 针对训练三 解：设AB=3，BC=2，CD=5， ∵E、F分别是AB、CD的中点， , ∴EF=BE+BC+CF= ∵EF=24，∴6=24,解得=4. ∴AB=3=12，BC=2=8，CD=5=20. 课堂小结 线段的 比较 运算 目测法 叠合法 度量法 截取法 线段的和 线段的差 线段的等分 线段的中点 线段的三等分 线段的四等分 1.(多选)如图所示,C,D,E是线段AB上的三个点，下列关于线段CE的表示正确的是( ) A.CE =CD+DE B.CE=CB-EB C.CE=CD+DB-AC D.CE = AE+CB-AB 2.已知点C,D在直线AB上,且AC=BD=1.5，若AB= 7,则 CD的长为 ABD 4或7或10。 E A B D C 当堂检测 3.如图所示，已知线段m,n。 (1)尺规作图:作线段AB,满足AB=m+n(保留作图痕迹,不用写作法); (2)在(1)的条件下,点0是AB的中点,点C在线段AB上,且满足AC=m,当m=5,n=3时, 求线段 OC的长。 m n (1)如图所示 • A B E • O C • (2)如图所示， ∵点0是AB的中点，∴A0= AB= (m+n) 又∵AC=m,∴OC=AC-AO= (m+n)-m= n- m 当堂检测 4.如图所示,已知点C为线段AB上一点AC=18cm,CB= AC,D,E分别为AC,AB的中点,求DE的长。 C A B E D 解:∵AC =18 cm,CB= AC,∴CB= ×18=12(cm)。 ∴AB =AC+CB=30cm。 ∵D,E分别为AC,AB的中点， ∴AD= AC=9cm,AE= AB=15cm， ∴DE =AE-AD=15-9=6(cm)。 当堂检测 $$