精品解析：广西贵百河-武鸣高中2024-2025学年高一上学期12月新高考月考测试数学试题

2024级“贵百河—武鸣高中”12月高一年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 任意实数且，函数的图象恒过P，则点P的坐标（ ） A. B. C. D. 4. 已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为R的单调递增函数，，，且，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α的终边经过点，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若a，，且，则 C. D. 11. 已知函数，则下列各选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最小值为1 D. 方程无解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________. 13. 一种放射性元素，每年的衰减率是，那么a kg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于________. 14. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”已知函数，若函数存在“完美区间”，则实数b的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求实数m的值； （2）正实数a，b满足，求的最小值. 16. 已知角θ为第二象限的角，且. （1）求三角函数，的值； （2）求的值. 17. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当时，求函数的最大值. 18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产x台光刻机的这种设备的利润的最小值． 19. 函数和具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数x，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级“贵百河—武鸣高中”12月高一年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可算出结果. 【详解】因为， ，所以。 故选：. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程解得，或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 3. 任意实数且，函数的图象恒过P，则点P的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数图象恒过点，即可求解. 【详解】因为对数函数图象恒过点，所以令，解得， 所以任意实数且，函数的图象恒过点. 故选：A. 4. 已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】两边平方后得到，由是三角形的一个内角得到，且，进而得到三角形的形状为钝角三角形. 【详解】由，得，即， 所以， 是三角形的一个内角，有，有， 所以，得，即三角形为钝角三角形． 故选：B. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算函数的特殊值，利用排除法确定正确选项. 【详解】函数，当，，排除AB选项； 当，；当，；当，，只有D选项符合. 故选：D 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，即. 因为在上单调递增，又，， 又，所以，故，所以. 故选：C. 7. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图像，根据图像得出满足的条件和范围，从而得出答案. 【详解】作出的图像如下图所示， ，不妨设， ，时，， 则由图像可知，，， 所以， 故选：D. 8. 已知是定义域为R的单调递增函数，，，且，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，，然后逐项计算可得出，，即可得出的值. 【详解】，，且，则有， 因为，若，则，合乎题意， 若，则，这与矛盾，故； 所以，因为，则， 因为，若，则，这与矛盾， 若，则，合乎题意， 若，则，即，矛盾，故. ，所以， 所以，于是，． 因为，所以， 因为，所以， 所以，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α的终边经过点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制下的弧长面积公式和三角函数定义逐个计算判定. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， 与角终边相同的最小正角是，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：AD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若a，，且，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据基本不等式的应用即可判断B；根据分数指数幂的化简计算即可判断C；根据对数的运算性质即可判断D. 【详解】A：由，得，所以，故A错误； B：，所以， 当且仅当即时，等号成立，故B正确； C：原式，故C正确； D：原式，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列各选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最小值为1 D. 方程无解 【答案】BC 【解析】 【分析】运用复合函数单调性判定A，运用奇偶性判定B，运用单调性计算判定C，运用零点存在性定理计算判定D. 【详解】当时，，令， 则单调递增，对勾型函数单调递减，单调递增，故单调递减，与均为减函数， 所以在区间上单调递减，A错误； 因为，定义域为R， 且，所以为偶函数，B正确； 由偶函数对称性可知，在区间上单调递增， 所以，C正确； 令，所以， 由零点存在性定理可知方程有解，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可由恒成立求解最值求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题的否定“，”是真命题， 所以，实数a的取值范围是 故答案为：. 13. 一种放射性元素，每年的衰减率是，那么a kg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于________. 【答案】 【解析】 【分析】设物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间），可以得出一个方程，指数对数互化求出. 【详解】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为， ，指数对数互化得到. 故答案为：. 14. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”已知函数，若函数存在“完美区间”，则实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再证明在上单调递增． 根据新定义，题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域是． 因为， 又在上为增函数，所以在上为减函数， 所以在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以时满足题意．故实数b的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求实数m的值； （2）正实数a，b满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得到，进而得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. （2）先由（1）得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以或，解得或或， 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，不符合； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，不符合； 当时，，符合. 所以. 【小问2详解】 由（1）得，又， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 16. 已知角θ为第二象限的角，且. （1）求三角函数，的值； （2）求的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求和的值； （2）利用诱导公式化简，由齐次式代入已知条件求值. 【小问1详解】 角θ为第二象限的角，则有，， 又，可得，解得，. 【小问2详解】 . 17. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可； （2）利用换元法令，则原函数等价求函数于，的最值，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值. 【小问1详解】 由题意知，解得， 故. 【小问2详解】 ， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时，. 综上可知， 18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产x台光刻机的这种设备的利润的最小值． 【答案】（1）48（千万元） （2） （3）7（千万元） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即得； （2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值； （3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值． 【小问1详解】 ∵，． ∴，当且仅当即时等号成立． ∴当时，（千万元）； 【小问2详解】 ， ，， 由函数单调性知，在时单调递增， 故当时，； 【小问3详解】 由， 则，． 记，则该函数在上递减，在上递增，且，故， 于是当时，取得最小值.由，解得或， 故当或时，（千万元）． 19. 函数和具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数x，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2）是，定值1 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可； （2）根据（1）中解析式代入求解即可； （3）将不等式转化为对恒成立，再令，结合函数的单调性求解的最小值即可. 【小问1详解】 由性质③知，则.， 由性质②知，，故. 则，解得，； 【小问2详解】 由（1）可得 ； 【小问3详解】 因为，所以， 而，， 令，易知在上单调递增，所以， 记，则， 因为当时，且， 故由对勾函数性质可得在上单调递减， 所以，因此，故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $