专题06 概率初步期末汇编（10题型68题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题06 概率初步 题型01 事件的分类 1．（2024·河北唐山·二模）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．不可能有10次正面向上 C．必有5次正面向上 D．可能有5次正面向上 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻 B．明天会下雨 C．小明今天至少走了100米 D．太阳从东方升起 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）下列事件是不可能事件的是（    ） A．任意写一个偶数，一定是2的倍数 B．一滴香油滴在自来水里，香油会沉入水底 C．打开电视，正在播放天气预报 D．掷一枚质地均匀的普通骰子，点数为2的面朝上 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知事件①：任意画一个多边形，其外角和为；事件②：明天下雨，下列说法正确的是（    ） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①和②都是必然事件 C．事件①是随机事件，事件②是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 6．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．购买100张彩票，中奖 C．任意画一个四边形，其内角和是 D．打开电视机，正在直播足球比赛 题型02 可能性的大小 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某路口红绿灯的时间设置如下：红灯秒，绿灯秒，黄灯秒．当出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．红灯 B．绿灯 C．黄灯 D．不能确定 8．（21-22九年级上·河北邢台·期末）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．瓮中捉鳖 9．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 题型03 利用概率公式求概率 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）一副不含大小王的扑克牌共有张，从中随机抛取1张，下列事件发生的概率最大的是（    ） A．抽到的牌是“K” B．抽到的牌是“红桃K” C．抽到的牌是“黑桃Q” D．抽到的牌是黑桃 11．（23-24九年级上·河北沧州·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 12．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若关于的一元二次方程中，数据是中的一个，则该一元二次方程有两个相等实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23九年级上·河北沧州·期末）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的布袋里装有8个除颜色外其它均相同的球，其中4个白球，3个红球，1个黄球；从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 . 16．（23-24九年级上·山西晋城·期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉民族最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小芳从下面4幅剪纸中任取出一幅，选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是 ． 题型04 几何概率 17．（23-24九年级上·河北保定·期末）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　） A． B． C． D． 19．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一块绿化带，（阴影部分）是的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带上，则小鸟正好落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 21．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，为中线，点，，为的四等分点，在内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ． 22．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，点为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ． 题型05 用树状图求概率 23．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 24．（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明的袋子中装有黑、白小球各一个，除颜色之外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．来自151个国家和41个国际组织的国际贵宾，跨越山海共赴这场追求和平发展、合作共赢的盛会．有1400名大学生志愿者参与这次“一带一路”高峰论坛，他们以青春之名传递中国温度．小明和小红是两位大学生志愿者，他们分别被随机派往综合服务区、专用工作区、新闻发布区，和科技文化互动展示区这4个服务区中的一个参与志愿者活动，小明和小红被派往同一个服务区的概率是（　　） A． B． C． D．     26．（23-24九年级上·河北保定·期末）上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测． (1)抽到数学学科的概率是 ； (2)用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率． 27．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门． (1)佳佳选择1号门进入展厅的概率为______； (2)用画树状图的方法求佳佳全部参观完一号展厅，所选择的两道门门号都是奇数的概率． 28．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，点A，B，C，D分别在正方形网格的顶点上，每个小正方形的边长为1． (1)从B，C，D三点中任取一点与点A连接，构成的线段长为的概率为__________． (2)的顶点均在正方形网格的顶点上，若以A为其中一个顶点，再从B，C，D三点中任取两点为顶点画三角形，通过列表或画树状图的方式求所画三角形与相似的概率（无需证明相似）． 29．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏．比如：如果第一次转动转盘指针所指数字为3，则棋子从起点前进3步到达，第二次转动转盘指针所指数字为2，则棋子从前进2步到达，直到棋子到达终点或超过终点停止． (1)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是________（填序号即可） ①不可能事件②必然事件③随机事件 (2)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为_____； (3)补全如图所示的树状图，并求转动转盘两次能通过游戏的概率．说明：能通过游戏用“√”表示，不能通过游戏用“×”表示 30．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． (1)小球经过通道的概率是_________； (2)如果向放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明． 题型06 用列表法求概率 31．（24-25九年级上·河北沧州·期末）九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为 ． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 32．（23-24九年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观． (1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ． (2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率． 33．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知车辆经过某市收费站时，可以在个收费通道中随机选择其中的一个通过． (1)车辆甲经过此收费站时，选择通道通过的概率是 ； (2)若甲、乙两辆车都要经过此收费站，请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率． 34．（23-24九年级上·河北保定·期末）为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． (1)若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 35．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，，3；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． (1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； (2)求点在函数的图象上的概率． 36．（23-24九年级上·河北保定·期末）“这么近，那么美，周末到河北．”越来越多的外地游客利用假期来领略河北优美的自然风光和厚重的历史文化.保定市莲池区某中学组建了一支学生讲解员队伍，到下面四个景区志愿服务． 景区有：直隶总督署—用A表示；古莲花池—用B表示；淮军公所—用C表示；保定军校博物馆—用D表示， 将编号A，B，C，D分别写在四张卡片上，每名同学随机抽取一张后放回，并到其抽到的景区志愿服务． (1)小明抽到“直隶总督署”志愿服务的概率是__________． (2)小明和小亮是同班同学，求他们抽到同一景区志愿服务的概率．（请用树状图或列表的方法写出分析过程） 37．（22-23九年级上·河北保定·期末）某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”， “哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格： 课题 选择次数 频率 A“视力的变化” 4 a B“那种方式更合算” b 0.4 C“设计遮阳棚” 20 0.5 请综合上述信息回答下列问题： (1) ， ． (2)若该校有400名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数． (3)某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由． 38．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一个迷宫示意图，小明和小亮分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择随机进入，，三个房间中的某一个． (1)小明进入房间的概率是多少？ (2)利用树状图或表格，求出两人在走迷宫结束后，房间至少有1个人的概率． 题型07 频率估计概率 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（    ） A． B． C．7 D．13 40．（23-24九年级上·河北邢台·期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 e频率 A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” B．掷一枚一元的硬币，正面向上 C．在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球 D．有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 41．（22-23九年级上·河北保定·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率 D．从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 42．（22-23九年级上·河北张家口·期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 43．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 45．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图． (1)D型号种子的粒数是______； (2)请你将图2的统计图补充完整； (3)通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)________；________． (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 47．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据． 摸球的次数n 摸到黑球的次数m 摸到黑球的频率 (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近___________（精确到），该袋子中的黑球有___________个； (2)该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率． 题型01 由概率求数量 48．（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明布袋中有个白球，若干个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，如果取到白球的概率最大，那么布袋中的黄球可能有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个以上 49．（23-24九年级上·河北沧州·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（   ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 50．（21-22九年级上·河北承德·期末）从个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 51．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 52．（22-23九年级上·河北邢台·期末）在一个不透明的口袋中装有12个白球，16个黄球，24个红球，28个绿球，除颜色不同外其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在0.3左右，则小明做试验时所摸到的球的颜色是 ． 题型02 游戏公平性问题 53．（23-24九年级上·河北保定·期末）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片（除数字外，其他均相同），小明小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏，小明画出树状图如图所示： 小华列出表格如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 ① 3 4 回答下列问题： (1)根据小明画出的树状图分析，他的游戏规则是随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片； (2)根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ； (3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性大？为什么？ 54．（22-23九年级上·河北保定·期末）嘉嘉和淇淇做一个游戏，图1为一个正方体骰子，图2为按顺序排列的圆圈图，1号圆圈内有一枚硬币．一人掷骰子，骰子朝上的面点数为几，就将图2中圆圈内的硬币按顺时针方向移动几步，另一人接着掷骰子并按顺时针方向移动同一硬币．例如，现在硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷出4点，则硬币从1号圆圈走到5号圆圈，淇淇又掷出3点，则硬币从5号圆圈走到1号圆圈…… (1)硬币在1号圆圈内，则嘉嘉掷一次骰子后硬币落在4号圆圈内的概率为______； (2)硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷一次骰子并移动硬币后，淇淇再掷一次骰子也移动硬币，如果硬币落在2号圆圈嘉嘉胜，落在5号圆圈淇淇胜． ①通过列表法，求出二人掷骰子的所有可能的结果． ②这个游戏对嘉嘉和淇淇公平吗？请说明理由． 55．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 56．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求所抽查学生读课外书册数的平均数． (2)随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了______人． (3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 57．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）为庆祝中国共产党成立周年，某校团委将举办文艺演出．小明和小亮计划结伴参加该文艺演出．小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目．他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，标有，，，的正四面体和一枚骰子．游戏规则是：小明投掷正四面体，小亮投掷骰子．当正四面体与骰子底面数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目． (1)小明投掷正四面体后，底面数字为奇数的概率为___________； (2)请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏对小明、小亮双方公平吗？ 题型03 概率与统计的综合问题 58．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在运动会中，老师随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计结果绘制出如图所示的统计图． (1)被调查的学生每人参加活动项数的中位数是_____项，平均数是_____项； (2)若被调查的学生中参加4项活动的学生是3名女生和1名男生，要从中随机选取2名参加区赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 59．（2024·河北邯郸·三模）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，数学课外实践小组在全校随机调查了部分学生对这些交通法规的了解情况，调查结果分为五种：A．非常了解，B．比较了解，C．了解，D．基本了解，E．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)此次调查一共随机抽取了________名学生，条形统计图中“C．了解”有________人； (2)若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A．非常了解”的学生共有多少名？ (3)现从“基本了解小组”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加遵守交通法规，关爱生命旅程的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 60．（23-24九年级上·河南信阳·期末）我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图①、图②两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为500件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为_______； (2)抽查C厂家的合格零件为380件，并将图①补充完整； (3)若要从A，B，C，D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加工业产品博览会，请用列表或画树状图的方法求出A，B两个厂家同时被选中的概率． 61．（23-24九年级上·河北唐山·期末）嘉嘉同学去文具店购买笔记本，购买情况如下表所示： 单价/元 数量/个 (1)求出所购买笔记本的平均价格； (2)若嘉嘉已拿出一个4元笔记本后，准备从剩余3个笔记本中随机再拿出一个本． ①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理由； ②在剩余的3个笔记本中，若嘉嘉同学先随机拿出一个笔记本后不放回，之后又随机拿一个笔记本，用列表法（如下表）求嘉嘉两次都拿到相同价格的笔记本的概率． 62．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．    请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °． (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 63．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．请你根据所提供的信息解答下列问题： (1)“篮球”部分所对应的圆心角是______度，并请补全条形统计图； (2)若该校共有学生2500人，请根据上述调查结果，估计该校学生中喜欢排球和足球的共有多少人； (3)篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行座谈，求甲乙两位同学同时被抽中的概率． 64．（21-22九年级上·河北石家庄·期末）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图(如图())和条形图(如图())，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． 回答下列问题： (1)写出条形图中存在的错误； (2)在求这名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的； 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，； 第三步：(棵) ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这名学生共植树多少棵． (3)若㨁树类型的人是两男两女，现从人中随机选取人，请用列表或画树状图的方法求出这两人都是女生的概率． 65．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球  C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有__________人； (2)请你将条形统计图（2）补充完整； (3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，共有几种选择？（用树状图或列表法解答） 66．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题： (1)图中m的值为______，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于______； (2)统计的这组数据的平均数是______万元，中位数是______万元，众数是______万元； (3)如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解） 67．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________，__________； (2)八年级测试成绩的中位数是__________； (3)若测试成绩不低于95分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．从这几名对冬奥会关注程度非常高的学生中随机抽取两人去参加全市奥运会知识竞赛，求恰好抽中七、八年级各一名学生的概率． 68．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）学校随机抽查了九年级部分同学抗疫期间居家读书本数的情况，将数据绘制成如图所示的条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分． (1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出读书本数的众数及中位数； (2)所抽查的学生中读书本数达到25本的有两位男生和两位女生，学校要从这四位同学中随机选出两位同学分享读书心得，用列表或画树形图的方法求选中两位男生的概率； (3)学校随后又补查了一些学生，得知最少的读了20本，将其与之前的数据合并后，发现读书本数的中位数没改变，则最多补查了___________人． 试卷第2页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率初步 题型01 事件的分类 1．（2024·河北唐山·二模）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（   ） A．每2次必有1次正面向上 B．不可能有10次正面向上 C．必有5次正面向上 D．可能有5次正面向上 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币10次，每2次不一定有1次正面向上，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币10次，有可能有10次正面向上，原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻 B．明天会下雨 C．小明今天至少走了100米 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件． 根据事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，逐一进行分析即可判断． 【详解】解：A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻，是随机事件； B．明天会下雨，是随机事件； C．小明今天至少走了100米，是随机事件； D．太阳从东方升起，是必然事件． 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A．水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意； B．日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意； C．守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意； D．画饼充饥，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）下列事件是不可能事件的是（    ） A．任意写一个偶数，一定是2的倍数 B．一滴香油滴在自来水里，香油会沉入水底 C．打开电视，正在播放天气预报 D．掷一枚质地均匀的普通骰子，点数为2的面朝上 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵不可能即绝不会发生的事件， ∴A选项为必然事件， B选项为不可能事件， C选项为随机事件即可能事件， D选项为随机事件即可能事件， 故选：B． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知事件①：任意画一个多边形，其外角和为；事件②：明天下雨，下列说法正确的是（    ） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①和②都是必然事件 C．事件①是随机事件，事件②是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 【答案】D 【分析】根据事件的分类和定义分别进行判断，即可得到答案，此题考查了事件的分类和定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：任意画一个多边形，其外角和为，是必然事件，明天下雨是随机事件， ∴事件①是必然事件，事件②是随机事件， 故选：D 6．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．购买100张彩票，中奖 C．任意画一个四边形，其内角和是 D．打开电视机，正在直播足球比赛 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的定义，事件的分类；在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件；在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不合题意； B、购买100张彩票，中奖，是随机事件，不合题意； C、任意画一个四边形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、打开电视机，正在直播足球比赛，是随机事件，不合题意； 故选：C． 题型02 可能性的大小 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某路口红绿灯的时间设置如下：红灯秒，绿灯秒，黄灯秒．当出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．红灯 B．绿灯 C．黄灯 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了可能性的大小，根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小， 故选：． 8．（21-22九年级上·河北邢台·期末）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 【详解】解：由题意可知： A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B．守株待兔，其反映的事件可能发生也可能不发生，发生的可能性很小，符合题意； C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； D．瓮中捉鳖，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查随机事件，判断事件发生的可能性大小，解题的关键是理解必然事件，不可能事件，随机事件概念． 9．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 【答案】偶数的可能性大，理由见解析 【分析】本题主要考查事件发生的可能性大小的判断，根据题意，列出所有可能性，然后比较奇数与偶数结果的大小即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：偶数的可能性大，理由如下， 记录两个数的所有可能为：， 则乘积是奇数的有4种，乘积是偶数的有5种， 则乘积是奇数的概率为，乘积是偶数的概率为， 所以乘积是偶数的可能性大． 题型03 利用概率公式求概率 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）一副不含大小王的扑克牌共有张，从中随机抛取1张，下列事件发生的概率最大的是（    ） A．抽到的牌是“K” B．抽到的牌是“红桃K” C．抽到的牌是“黑桃Q” D．抽到的牌是黑桃 【答案】D 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 分别求出各选项的概率，比较大小，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，抽到的牌是“K” 的概率为； 抽到的牌是“红桃K” 的概率为； 抽到的牌是“黑桃Q” 的概率为； 抽到的牌是黑桃的概率为； ∵， ∴抽到的牌是黑桃的概率最大， 故选：D． 11．（23-24九年级上·河北沧州·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】D 【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是； B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是； C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是； D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是； ， 四个选项中可能性最大的是D， 故选：D． 12．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若关于的一元二次方程中，数据是中的一个，则该一元二次方程有两个相等实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，概率，当方程有两个相等实数根时，，进行计算即可得；掌握一元二次方程根的判别式，概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：当方程有两个相等实数根时，， 即， ， ， ∴该一元二次方程有两个相等实数根的概率为：， 故选：A． 13．（22-23九年级上·河北沧州·期末）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．根据题意列出所有可能，根据符合条件的情况数目比全部情况的总数就等于其发生的概率即可计算． 【详解】解：设3位骨干医师有甲、乙、丙三人， 全部可能为甲乙、甲丙、乙丙三种， 其中甲被抽调到防控小组的可能有两种， ∴甲一定会被抽调到防控小组的概率， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率公式计算是解题的关键． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的布袋里装有8个除颜色外其它均相同的球，其中4个白球，3个红球，1个黄球；从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：从口袋中任意摸出一个球是红球的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知概率的计算方法是解题关键． 15．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 . 【答案】/ 【分析】本题考查概率的求法： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 【详解】详解: 红灯亮秒，黄灯亮秒，绿灯亮秒， 红灯亮， 故答案为 16．（23-24九年级上·山西晋城·期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉民族最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小芳从下面4幅剪纸中任取出一幅，选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，概率公式的应用，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．先判断轴对称图形的数量，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：四个图形中第2个，第3个，第4个图形是轴对称图形， ∴选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是， 故答案为：． 题型04 几何概率 17．（23-24九年级上·河北保定·期末）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．先求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵图中共有15个方格，其中黑色方格3个， ∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值， ∴最终停在阴影方砖上的概率为． 故选：C． 18．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，黑色区域是圆面积的一半，设正方形的边长为，用黑色区域的面积除以正方形的面积即可. 【详解】解：设正方形的边长为， 针尖落在黑色区域内的概率． 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 19．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设方砖的边长为1，分别求出三角形的面积和整个图形的面积，再求出三角形的面积在整个图形中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：设设方砖的边长为1， 则整个图形的面积为：， 三角形的面积为： 三角形的面积占整个图形面积的， 即蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 20．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一块绿化带，（阴影部分）是的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带上，则小鸟正好落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的半径为r，根据勾股定理求出，设与的切点分别为点E，D， F，连接，则，可证得四边形是矩形，再由切线长定理可得四边形是正方形，从而得到，进而得到，，可求出，再分别求出圆的面积和，然后根据概率公式，即可求解． 【详解】解：设的半径为r， 在中，， ∴， 如图，设与的切点分别为点E，D， F，连接，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵（阴影部分）是的内切圆， ∴，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴圆的面积为， ∵， ∴小鸟正好落在花圃上的概率为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了切线长定理，几何概率，正方形的判定和性质，根据题得到圆的面积是解题的关键． 21．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，为中线，点，，为的四等分点，在内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵点为的四等分点， ∴，，， ∴， ∴， ∴豆子落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 22．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，点为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，先根据正六边形的特点求出来阴影部分的面积，然后根据几何概率公式计算求解即可，解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积． 【详解】解：∵为正六边形，连接，交点为一点M，如图所示： 设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为， ∴正六边形的面积为， ， 则， ∴这个点在阴影部分的概率为， 故答案为：． 题型05 用树状图求概率 23．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 24．（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明的袋子中装有黑、白小球各一个，除颜色之外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有1种， 两次都摸到白球的概率是， 故选：C． 25．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．来自151个国家和41个国际组织的国际贵宾，跨越山海共赴这场追求和平发展、合作共赢的盛会．有1400名大学生志愿者参与这次“一带一路”高峰论坛，他们以青春之名传递中国温度．小明和小红是两位大学生志愿者，他们分别被随机派往综合服务区、专用工作区、新闻发布区，和科技文化互动展示区这4个服务区中的一个参与志愿者活动，小明和小红被派往同一个服务区的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，熟练画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图即可得解． 【详解】解：设综合服务区、专用工作区、新闻发布区，和科技文化互动展示区分别为A、B、C、D，画树状图得：     共有16种等可能的结果，其中小明和小红被派往同一个服务区的结果有4种， ∴小明和小红被派往同一个服务区的概率， 故选：A． 26．（23-24九年级上·河北保定·期末）上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测． (1)抽到数学学科的概率是 ； (2)用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）根据题意，画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有8种，再根据概率公式计算，即可求解； （2）根据树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有：（语，数），（数，语），（数，英），（数，科），（数，社），（英，数），（科，数），（社，数），共8种， ∴抽到数学学科的概率是． 故答案为：． （2）解：由树状图可得，抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种， ∴抽到的学科恰好是数学和英语的概率为． 27．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门． (1)佳佳选择1号门进入展厅的概率为______； (2)用画树状图的方法求佳佳全部参观完一号展厅，所选择的两道门门号都是奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】（1）∵第一道门由1号门和2号门， ∴佳佳选择1号门进入展厅的概率为． 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下； 由树状图可知，佳佳全部参观完一号展厅经过两道门共有6种等可能的方法， 其中所选择的两道门门号都是奇数的有，，共2种， 故选择的两道门门号都是奇数的概率为． 28．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，点A，B，C，D分别在正方形网格的顶点上，每个小正方形的边长为1． (1)从B，C，D三点中任取一点与点A连接，构成的线段长为的概率为__________． (2)的顶点均在正方形网格的顶点上，若以A为其中一个顶点，再从B，C，D三点中任取两点为顶点画三角形，通过列表或画树状图的方式求所画三角形与相似的概率（无需证明相似）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率公式和画树状图法求概率： （1）分别求出，再运用概率公式求解即可； （2）分别表示出所有三角形，求出与相似的个数，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴构成的线段长为的概率为， 故答案为：； （2）解：以A为其中一个顶点，再从B，C，D三点中任取两点为顶点画三角形，则画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的有4种， ． 29．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏．比如：如果第一次转动转盘指针所指数字为3，则棋子从起点前进3步到达，第二次转动转盘指针所指数字为2，则棋子从前进2步到达，直到棋子到达终点或超过终点停止． (1)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是________（填序号即可） ①不可能事件②必然事件③随机事件 (2)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为_____； (3)补全如图所示的树状图，并求转动转盘两次能通过游戏的概率．说明：能通过游戏用“√”表示，不能通过游戏用“×”表示 【答案】(1)③ (2) (3)补图见解析， 【分析】本题考查了随机事件，几何概率，列举法求概率．熟练掌握随机事件，几何概率，列举法求概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义进行求解作答即可； （2）根据几何概率计算求解即可； （3）根据题意补树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是随机事件， 故答案为：③； （2）解：由题意知，转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为， 故答案为：； （3）解：由题意，补树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中转动转盘两次能通过游戏共有2种等可能的结果， ∵， ∴转动转盘两次能通过游戏的概率为． 30．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． (1)小球经过通道的概率是_________； (2)如果向放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)小球落到、、的概率分别为。 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）因为共有两种等可能结果，其中小球经过通道的结果有1种，再由概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，共有4种等可能的路径，其中落入号槽的有1种，落入号槽的有2种，落入号槽的有1种．再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵小球从落下的时候只有经过、两种情况，且两种情况的概率是相同的， ∴球经过通道的概率是， 故答案为；； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有4中等可能性的结果数，其中小球落到、、的结果数分别有1种，2种，1种， ∴小球落到、、的概率分别为。 题型06 用列表法求概率 31．（24-25九年级上·河北沧州·期末）九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列举出所有情况，让两位女生同时当选正、副班长的情况数除以总情况数即为所求的概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中两位女生同时当选正、副班长的情况有种， ∴两位女生同时当选正、副班长的概率为， 故答案为：． 32．（23-24九年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观． (1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ． (2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，有出口、出口、出口，共3个出口， 参观结束后，嘉嘉从出口走出的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种， 嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为． 33．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知车辆经过某市收费站时，可以在个收费通道中随机选择其中的一个通过． (1)车辆甲经过此收费站时，选择通道通过的概率是 ； (2)若甲、乙两辆车都要经过此收费站，请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了概率公式中的等可能概型，和利用树状图解决实际问题， （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论. 【详解】（1）解：共有种可能，所以选择通道通过的概率是. （2）解：设两辆车为甲、乙， 两辆车经过此收费站时，会有种等可能的结果： 其中选择不同通道通过的有种结果，所以. 34．（23-24九年级上·河北保定·期末）为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． (1)若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率． （1）根据题意列式即可求出； （2）先根据等可能性列表，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道， 又∵嘉嘉抽到2道， ∴还有3条可选择， ∴设淇淇抽到3道为事件A， 即； （2）解：∵抽到的跑道等可能性，如下表所示：        淇淇嘉嘉 1 2 3 4 1 （2，1） （2，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） ， 通过列表法可知：共有12种等可能性，符合题意可能性有6种， ∴设嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道为事件B， ． 35．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，，3；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． (1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； (2)求点在函数的图象上的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）通过列表展示所有9种等可能的结果数； （2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 2 1 3 ∴共有9种等可能的结果数； （2）满足点落在函数的图象上的结果有3个，即，，， 所以点在函数的图象上的概率． 36．（23-24九年级上·河北保定·期末）“这么近，那么美，周末到河北．”越来越多的外地游客利用假期来领略河北优美的自然风光和厚重的历史文化.保定市莲池区某中学组建了一支学生讲解员队伍，到下面四个景区志愿服务． 景区有：直隶总督署—用A表示；古莲花池—用B表示；淮军公所—用C表示；保定军校博物馆—用D表示， 将编号A，B，C，D分别写在四张卡片上，每名同学随机抽取一张后放回，并到其抽到的景区志愿服务． (1)小明抽到“直隶总督署”志愿服务的概率是__________． (2)小明和小亮是同班同学，求他们抽到同一景区志愿服务的概率．（请用树状图或列表的方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意列表，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，小明抽到“直隶总督署”志愿服务的概率是， 故答案为：； （2）解：由题意列表如下： 小亮 小明 共有16种等可能的结果，小明和小亮抽到同一景区志愿服务的结果有4种， ∴（抽到同一景区志愿服务）， ∴他们抽到同一景区志愿服务的概率为． 37．（22-23九年级上·河北保定·期末）某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”， “哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格： 课题 选择次数 频率 A“视力的变化” 4 a B“那种方式更合算” b 0.4 C“设计遮阳棚” 20 0.5 请综合上述信息回答下列问题： (1) ， ． (2)若该校有400名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数． (3)某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1)0.1；16 (2)200人 (3)，见解析 【分析】（1）用1减去选择“哪种方式更合算”、“设计遮阳棚”课题的频率即可求出a，先根据选择“设计遮阳棚”课题的频数除以其频率求出总数，再乘以选择“哪种方式更合算”课题的频率即可求出b； （2）利用该校学生总数乘以选择“设计遮阳棚”课题的频率即可求解； （3）采用列表列举即可求解． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）（人）， 答：选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数约为200人； （3）列表如下：    共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果共有6种， 所以P（一男一女）． 【点睛】本题考查了频数统计表，利用样本估计总体以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合，并掌握采用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，是解答本题的关键． 38．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一个迷宫示意图，小明和小亮分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择随机进入，，三个房间中的某一个． (1)小明进入房间的概率是多少？ (2)利用树状图或表格，求出两人在走迷宫结束后，房间至少有1个人的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有3个房间，小明进入A房间的概率为； （2）列表如下 小亮小明 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能性发生的结果，其中B房间至少有1个人的结果共有5种， 所以B房间至少有1个人的概率为， 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 题型07 频率估计概率 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率， 然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为13， 故选：D． 40．（23-24九年级上·河北邢台·期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 e频率 A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” B．掷一枚一元的硬币，正面向上 C．在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球 D．有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，简单的概率计算．熟练掌握用频率估计概率，简单的概率计算是解题的关键． 由表格可知，频率逐渐稳定于，然后求各选项中事件的概率，判断作答即可． 【详解】解：由表格可知，频率逐渐稳定于， 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求； 掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求； 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求； 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求； 故选：C． 41．（22-23九年级上·河北保定·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率 D．从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 【答案】B 【分析】由折线统计图可知，试验结果在附近波动，最后稳定在附近，再分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为，故此选项符合题意； C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率，故此选项不符合题意； D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，简单的概率计算，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键． 42．（22-23九年级上·河北张家口·期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， 所以盒子中小球的个数为25个． 故选：C 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 43．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为（m2）， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积约为28m2， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35． 44．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 45．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图． (1)D型号种子的粒数是______； (2)请你将图2的统计图补充完整； (3)通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广． 【答案】(1)500 (2)见解析 (3)应选C型号的种子进行推广，见解析 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识． （1）读图可知：型号种子占，即有粒； （2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图； （3）分别求出另外三种种子的发芽率，比较这四种种子的发芽率，选发芽率最高的推广． 【详解】（1）分析扇形图可知：型号种子占的比例为：，即型号种子有粒， 故答案为：500； （2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图，如图； （3）型号发芽率为， 型号发芽率为， 型号发芽率为， 已知型号发芽率为，比较可知型号的种子发芽率最高； 故应选型号的种子进行推广． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)________；________． (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962；0.96 (2)0.96 (3)9600只 【分析】（1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96． （3）用总数量乘以优等品的概率即可 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． （3）这批公仔中优等品大约有只 【点睛】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 47．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据． 摸球的次数n 摸到黑球的次数m 摸到黑球的频率 (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近___________（精确到），该袋子中的黑球有___________个； (2)该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数； （2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近， 估计摸到黑球的概率为，设黑球有个，则，解得： 故答案为：；． （2）树状图如图； 共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种， ∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为． 【点睛】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键． 题型01 由概率求数量 48．（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明布袋中有个白球，若干个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，如果取到白球的概率最大，那么布袋中的黄球可能有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个以上 【答案】A 【分析】根据已知条件可得白球的数量应比黄球的数量多，即黄球的数量应少于个，从而确定答案． 【详解】解：∵不透明布袋中由个球，若干个黄球 ∴若要从袋子中随机取出个球，如果取到的白球的概率最大，那么白球的数量应比黄球的数量多 ∴黄球的数量应少于个 ∴布袋中的黄球可能有个或个，那么只有选项符合题意 故答案为： 【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，包含数目多的概率最大． 49．（23-24九年级上·河北沧州·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（   ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查简单概率公式计算．根据题意列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为， ∴摸出红色小球的概率为：， 设：袋子里共有小球个， ∵红色小球的个数为3， ∴，解得：， 故选：C． 50．（21-22九年级上·河北承德·期末）从个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据概率公式得，然后解分式方程，即可求出n的值． 【详解】解：根据题意，则 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 故选：D 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 51．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 【答案】3 【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案． 【详解】解：（个）． 故涂上红色的小扇形有3个． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 52．（22-23九年级上·河北邢台·期末）在一个不透明的口袋中装有12个白球，16个黄球，24个红球，28个绿球，除颜色不同外其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在0.3左右，则小明做试验时所摸到的球的颜色是 ． 【答案】红色 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手解答即可． 【详解】解：共有个球， ∵白球的概率为：， 黄球的概率为：， 红球的概率为：， 绿球的概率为：， ∴小明做实验时所摸到的球的颜色是红色， 故答案为：红色． 【点睛】本题考查利用频率估计概率问题，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式解答． 题型02 游戏公平性问题 53．（23-24九年级上·河北保定·期末）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片（除数字外，其他均相同），小明小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏，小明画出树状图如图所示： 小华列出表格如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 ① 3 4 回答下列问题： (1)根据小明画出的树状图分析，他的游戏规则是随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片； (2)根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ； (3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性大？为什么？ 【答案】(1)不放回 (2) (3)小明获胜的可能性大，理由见解析 【分析】该题主要考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法求概率，概率公式是解题的关键． （1）根据树状图即可求解； （2）根据列表法即可求解； （3）算出概率比较即可； 【详解】（1）解：由树状图可知，第一次摸出的数字没有在第二次中出现， ∴小明的游戏规则为随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片． 故答案为：不放回． （2）解：由表格可知，有序数对的第一个数字表示第一次抽出的卡片上的数字，第二个数字表示第二次抽出的卡片上的数字， ∴表格中①表示的有序数对为． 故答案为：． （3）解：小明获胜的可能性大．理由如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种， ∴小明获胜的概率为． 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种， ∴小华获胜的概率为． ∵， ∴小明获胜的可能性大． 54．（22-23九年级上·河北保定·期末）嘉嘉和淇淇做一个游戏，图1为一个正方体骰子，图2为按顺序排列的圆圈图，1号圆圈内有一枚硬币．一人掷骰子，骰子朝上的面点数为几，就将图2中圆圈内的硬币按顺时针方向移动几步，另一人接着掷骰子并按顺时针方向移动同一硬币．例如，现在硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷出4点，则硬币从1号圆圈走到5号圆圈，淇淇又掷出3点，则硬币从5号圆圈走到1号圆圈…… (1)硬币在1号圆圈内，则嘉嘉掷一次骰子后硬币落在4号圆圈内的概率为______； (2)硬币在1号圆圈内，嘉嘉掷一次骰子并移动硬币后，淇淇再掷一次骰子也移动硬币，如果硬币落在2号圆圈嘉嘉胜，落在5号圆圈淇淇胜． ①通过列表法，求出二人掷骰子的所有可能的结果． ②这个游戏对嘉嘉和淇淇公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②游戏对嘉嘉和淇淇公平，因为他们获胜的概率相等． 【分析】（1）当朝上的点数为3时，可以到达点4号圆圈内，根据概率公式计算即可； （2）先列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和8（嘉嘉胜）、两数的和4和11（淇淇胜）的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：随机掷一次骰子，朝上的点数可能是1，2，3，4，5，6，共6种情况，其中只有点数是3的情况时硬币落在4号圆圈内， 所以掷一次骰子后硬币落在4号圆圈内的概率为= ． 故答案为：； （2）①表格如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） ②∵共有36种等可能的结果， 当硬币落在2号圆圈内时，则两次点数和为8，组合有（6，2），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3）共5种，其概率为；即嘉嘉胜概率为； 当硬币落在5号圆圈内时，则两次点数和为4或11，组合有（3，1），（1，3），（2，2），（6，5），（5，6）共5种，其概率为；即淇淇胜概率为； ∴游戏对嘉嘉和淇淇公平，因为他们获胜的概率相等． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A的概率． 55．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 56．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求所抽查学生读课外书册数的平均数． (2)随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了______人． (3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)所抽查学生读课外书册数的平均数5.375（册） (2)5 (3)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）先求出读5册书是人数，再求平均数； （2）先求原来的中位数，再求最多补查人数； （3）先列出所有的可能性，并且计算它们的概率，再作比较． 【详解】（1）解：抽查的总人数为：（人)， 读5册的学生有：（人)， 所抽查学生读课外书册数的平均数为：（本； （2）解：原来的中位数为：5， 设添加人， 由题可知，4册以及5册的总人数为，6册以及7册的总人数为， 要使现在的中位数也为， 则， 解得， 为正整数， 最大值取， 故答案为： ； （3）解：不公平； 理由：如图,列出树状图， 总共的情况数为9种，其中先后两次转动出现字母A与B的混合结果共有5种， 借给七年级同学的概率为：， 借给八年级同学的概率为：， ， 故游戏不公平． 【点睛】本题考查了用树状图求概率，中位数，平均数，掌握有关统计和概率知识是解题的关键． 57．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）为庆祝中国共产党成立周年，某校团委将举办文艺演出．小明和小亮计划结伴参加该文艺演出．小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目．他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，标有，，，的正四面体和一枚骰子．游戏规则是：小明投掷正四面体，小亮投掷骰子．当正四面体与骰子底面数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目． (1)小明投掷正四面体后，底面数字为奇数的概率为___________； (2)请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏对小明、小亮双方公平吗？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据列表法分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，即可求解． 【详解】（1）解：因为投掷正四面体，底面分别是，，，， 其中，奇数是，，共个， 所以底面为奇数的概率． 故答案为：． （2）根据题意列表如下： 积 共有24种等可能的情况数，其中底面数字之积为奇数的有种，数字之积为偶数的有种， 则小明的想法参加唱红歌节目的概率是，小亮的想法参加朗诵节目概率是， ∵， ∴这个游戏规则对小明、小亮双方不公平． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，列表法求概率，游戏的公平性，掌握求概率的方法是解题的关键． 题型03 概率与统计的综合问题 58．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在运动会中，老师随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计结果绘制出如图所示的统计图． (1)被调查的学生每人参加活动项数的中位数是_____项，平均数是_____项； (2)若被调查的学生中参加4项活动的学生是3名女生和1名男生，要从中随机选取2名参加区赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)2，2； (2)． 【分析】（1）根据平均数、中位数的含义即可求解． （2）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率． 【详解】（1）解：平均数：， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有， ∴这组数据的中位数是2． （2）解：列表如下： 女 女 女 男 女 女女 女女 女男 女 女女 女女 女男 女 女女 女女 女男 男 男女 男女 男女 从表中可以看出，共有12种等情况数，选中一男和一女的情况数共6种， ∴P（恰好选中一男一女）． 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，求平均数，中位数，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比． 59．（2024·河北邯郸·三模）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，数学课外实践小组在全校随机调查了部分学生对这些交通法规的了解情况，调查结果分为五种：A．非常了解，B．比较了解，C．了解，D．基本了解，E．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)此次调查一共随机抽取了________名学生，条形统计图中“C．了解”有________人； (2)若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A．非常了解”的学生共有多少名？ (3)现从“基本了解小组”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加遵守交通法规，关爱生命旅程的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)200，30 (2)300 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，采用树状图法或者列表法列举即可作答． （1）用“B．比较了解”的人数除以其占比即可求出总的人数，问题随之可解； （2）用该校总人数乘以“A．非常了解”的学生的占比即可作答； （3）采用树状图列举法即可作答． 【详解】（1）（人）， “C．了解”的人数为（人）， 故答案为：200，30； （2）， ∴该校“A．非常了解”的学生共有300名； （3）画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 60．（23-24九年级上·河南信阳·期末）我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图①、图②两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为500件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为_______； (2)抽查C厂家的合格零件为380件，并将图①补充完整； (3)若要从A，B，C，D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加工业产品博览会，请用列表或画树状图的方法求出A，B两个厂家同时被选中的概率． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，以及条形统计图和扇形统计图综合，正确画出树状图是解题的关键． （1）用乘以D所占的比例得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角度数； （2）用C厂家的零件数，乘以C的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，将图1补充完整即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出A、B两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）条形统计图补充如图所示． （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中A，B两个厂家同时被选中的结果有2种，所以A，B两个厂家同时被选中的概率为． 61．（23-24九年级上·河北唐山·期末）嘉嘉同学去文具店购买笔记本，购买情况如下表所示： 单价/元 数量/个 (1)求出所购买笔记本的平均价格； (2)若嘉嘉已拿出一个4元笔记本后，准备从剩余3个笔记本中随机再拿出一个本． ①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理由； ②在剩余的3个笔记本中，若嘉嘉同学先随机拿出一个笔记本后不放回，之后又随机拿一个笔记本，用列表法（如下表）求嘉嘉两次都拿到相同价格的笔记本的概率．       后拿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 先拿 【答案】(1)所购买笔记本的平均价格； (2)①价格的中位数不相同，理由见解析；②表格见解析，． 【分析】本题考查平均数，中位数，列表法求概率， （1）根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）①根据中位数的方法分别求出中位数；②利用列表法列出所有可能情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：王老师购买笔记本的平均价格为：， （2）①价格的中位数不相同，理由如下： 4个笔记本价格为：元，故中位数为：元， 拿出一个4元笔记本后，剩下的3本笔记本价格为：，元，元，元，故中位数为：8元， 所以价格的中位数不相同； ②列表如下：           后拿 先拿 6元 8元 8元 6元 6元，8元 6元，8元 8元 8元，6元 8元，8元 8元 8元，6元 8元，8元 两次拿到相同价格的笔记本的概率为： 62．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．    请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °． (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2)见解析 (3) 【分析】（1）等级的人数除以所占的百分比，求出总人数，等级的人数除以总人数求出的值，等级所占的比例，求出圆心角； （2）根据（1）中求出的等级的人数求出总人数； （3）画出树状图进行求解即可． 【详解】（1）解：（人），等级的人数为：（人）， ∴， ∴， A所对的圆心角度数是； 故答案为：40，30，36； （2）补全条形图如下：      （3）画出树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 63．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．请你根据所提供的信息解答下列问题： (1)“篮球”部分所对应的圆心角是______度，并请补全条形统计图； (2)若该校共有学生2500人，请根据上述调查结果，估计该校学生中喜欢排球和足球的共有多少人； (3)篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行座谈，求甲乙两位同学同时被抽中的概率． 【答案】(1)；统计图见解析 (2)该校学生中喜欢排球和足球的共有人 (3)甲乙两位同学同时被抽中的概率为 【分析】（1）利用乘以“篮球”部分所占的百分数，即可得出答案；利用喜欢“篮球”的人数除以“篮球”部分所占的百分数，得出总人数，然后根据条形统计图，用总人数减去喜欢其他球类项目的人数，得出喜欢乒乓球的人数，然后补全统计图即可； （2）用乘以样本中喜欢排球和足球的百分数，即可得出答案； （3）首先画出树状图，得出共有种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为，再根据概率公式，计算即可． 【详解】（1）解：“篮球”部分所对应的圆心角为：， 故答案为： 调查的总人数为：（人）， 喜欢乒乓球的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：（人）， ∴该校学生中喜欢排球和足球的共有人； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为， ∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：． 【点睛】本题考查了统计图、用样本估计总体、求圆心角、利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在充分利用统计图解答． 64．（21-22九年级上·河北石家庄·期末）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图(如图())和条形图(如图())，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． 回答下列问题： (1)写出条形图中存在的错误； (2)在求这名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的； 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，； 第三步：(棵) ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这名学生共植树多少棵． (3)若㨁树类型的人是两男两女，现从人中随机选取人，请用列表或画树状图的方法求出这两人都是女生的概率． 【答案】(1)D的人数错误，理由见解析 (2)①第二步；②平均数为，估计这名学生共植树棵 (3) 【分析】（1）根据总人数乘以扇形统计图中的占比得出人数，比较条形统计图即可求解； （2）①根据题意可知数据个数出错； ②根据平均数的计算公式进行计算，并用样本的平均数估计总体的平均数，即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）条形统计图中D的人数有错，理由如下： 的人数为， （2）①第二步开始出错，在该问题中，， ② （棵） ∴估计这名学生共植树棵； （3）解：画出树状图如图所示， 共有12种等可能结果，其中两人都是女生的情形有2种， ∴这两人都是女生的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，估计总体的平均数，列表法求概率，掌握以上知识，从统计图表中获取信息是解题的关键． 65．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球  C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有__________人； (2)请你将条形统计图（2）补充完整； (3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，共有几种选择？（用树状图或列表法解答） 【答案】(1)200 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据喜欢篮球的学生人数除以所占的百分比，求出总人数即可； （2）先求出喜欢羽毛球的学生人数，再补全条形图即可； （3）利用列表法求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴这次被调查的学生共有人； 故答案为：； （2）解：喜欢羽毛球的人数是：（人），补全图形，如图所示： （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 共有6种等可能的结果，分别为甲、乙；甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁；丙、丁． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及列表法．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握条形图和扇形图的关系是解题的关键． 66．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题： (1)图中m的值为______，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于______； (2)统计的这组数据的平均数是______万元，中位数是______万元，众数是______万元； (3)如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解） 【答案】(1)28； (2)；18；21 (3) 【分析】（1）用1减去其他情况所占的百分数，用乘上12万元所占的百分数； （2）所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数； （3）用列表法将所有情况列出来即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：28；； （2）解：， 平均数为万元， 抽查了25名营业员， 中位数为从大到小排列后的第13个数据， 中位数为18万元， 21出现次数最多，出现了8次， 众数为21万元； 故答案为：；18；21； （3）解：A等级3人，B等级2人，列表如下： 一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种， ∴P（至少有一个是A等级）． 【点睛】本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键． 67．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________，__________； (2)八年级测试成绩的中位数是__________； (3)若测试成绩不低于95分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．从这几名对冬奥会关注程度非常高的学生中随机抽取两人去参加全市奥运会知识竞赛，求恰好抽中七、八年级各一名学生的概率． 【答案】(1)20；4 (2)分 (3) 【分析】（1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（人）， 故， 解得， 故答案为：20；4； （2）解：把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为（分）， 故答案为：分； （3）解：七年级测试成绩不低于95分有1人，八年级测试成绩不低于95分有3人， 记七年级的学生为1，八年级的为2，3，4， 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中七、八年级各一名学生的结果有6种， ∴恰好抽中七、八年级各一名学生的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． 68．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）学校随机抽查了九年级部分同学抗疫期间居家读书本数的情况，将数据绘制成如图所示的条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分． (1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出读书本数的众数及中位数； (2)所抽查的学生中读书本数达到25本的有两位男生和两位女生，学校要从这四位同学中随机选出两位同学分享读书心得，用列表或画树形图的方法求选中两位男生的概率； (3)学校随后又补查了一些学生，得知最少的读了20本，将其与之前的数据合并后，发现读书本数的中位数没改变，则最多补查了___________人． 【答案】(1)被遮盖的数是；众数是本，中位数是本 (2) (3) 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联可得到抽查人数，进而得到条形统计图中被遮盖的数，从而根据条形统计图即可得到读书本数的众数及中位数； （2）画树状图得到总结果及符合条件的结果数，利用概率公式求解即可得到答案； （3）由条形统计图可知，若保持读书本数的中位数不改变，结合补查学生最少的读了20本，可知按照读书数量由少到多排序后，补充最多人数恰好使前第人读书本数是，从而读书本及以上的人数可增加（人）． 【详解】（1）解：由题意可知（人）， 条形统计图中被遮盖的数是（人）；读书本数的众数是本，中位数是（本）； （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中选中两位男生的结果有种，故选中两男生的概率是； （3）解：由条形统计图可知，若保持读书本数的中位数不改变，补查学生最少的读了20本，若按照读书数量由少到多排序后，可知补充最多人数恰好使前第人读书本数是，从而读书本及以上的人数为人，即可增加（人）， 最多补查了人， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率统计综合问题，涉及条形统计图与扇形统计图的数据关联、列举法解两步概率问题、众数、中位数的概念及求解等，熟练掌握概率统计相关知识及解题方法是解决问题的关键． 试卷第2页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$