精品解析：天津市海河中学2024-2025学年高三上学期第二次质量监测数学试卷

2024-2025学年度高三年级第二次质量监测 数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合对数的性质即可判断. 【详解】若，则和无意义，得不出， 若，则，可以得出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：D. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1比较大小即可 【详解】由于，， 所以. 故选：B 4. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 5. 下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为 （ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐个判断即可 【详解】A. 在上没有单调性，∴该选项错误； B．是偶函数，∴该选项错误； C．由，得，∴该函数为奇函数；在上为增函数，∴该选项正确； D. 为非奇非偶函数，∴该选项错误． 故选：C． 6. 下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增. 其中，真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 以上皆不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变形可得正弦型函数，再利用正弦函数的性质来判断各选项即可. 【详解】对于①， ， 将函数的图象向右平移个单位得到，故①错误； 对于②，由，故图象不关于对称，故②错误； 对于③，当时，令， 由于在上单调递增， 故在上单调递增，故③正确． 故选：C. 7. 已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解． 【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径， 动直线，即，恒过点. 设，又由，则点在圆的内部， 动直线与圆（圆心为）交于点， 当为的中点，即与垂直时，弦最短， 此时，弦的长度为， 此时的面积， 故选：D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用中位线定理与条件求得，进而求得，从而得解. 【详解】依题意，不妨设点为关于渐近线的对称点， 则直线垂直平分线段， 设渐近线与的交点为， 则N为的中点，， 又为的中点，所以， 因为，即，所以，则， 因为的面积为4， 所以，则， 在中，，即， 渐近线可化为，， 所以， 所以， 故双曲线的方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设渐近线与的交点为，说明，是解决本题的关键. 9. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径. 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示: 正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形， 正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径， 所以，，，. 所以半球面形状的容器的容积是. 故选：B 二、填空题（每题5分，双空题对一个得3分） 10. 已知是虚数单位，复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算表示复数，由复数模的性质求出其模. 【详解】由复数，得， 则， 故答案为： 11. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：8 12. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】25 【解析】 【分析】对目标式子变形，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以 ，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为25. 故答案为：25 14. 在梯形中，，，，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果. 【详解】 由得，， 解得，故. 设交于点，由题意得，. 在中，由余弦定理得，，故. 由得，，，所以. 取中点，连接，则，， 所以，故. 因为， 所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离. 由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为， 由得点到直线的距离为，即， 此时. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量综合问题，解决问题的关键是利用平面向量的极化恒等式公式得到，问题转化为求线段长的最小值，分析几何图形即可得到结果. 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】或. 【解析】 【分析】函数恰有4个零点说明与的图象有四个交点，对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况下的函数图象，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点，所以与的图象有四个交点， 当时，，函数图象如图1所示， 的图象与的图象仅有两个交点，不合题意. 当时，点，且时，，， 如图2，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图3，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 如图4，当时，与的图象在上没有交点，在上有两个交点，不合题意. 如图2，当时，与的图象在上没有交点，在上有三个交点，不合题意. 如图5，当时，与的图象在上没有交点，在上有四个交点，符合题意. 当时，点，且时，，， 如图6，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图7，当时，与的图象在上有两个交点，在上有四个交点，不合题意. 如图6，当时，与的图象在上有两个交点，在上有三个交点，不合题意. 如图8，当时，与的图象在上有两个交点，在上有两个交点，符合题意. 如图9，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于利用数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围，结合范围的限制，判断交点个数，得到的取值. 三、解答题 16. 已知的内角所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用余弦定理运算求解即可； （2）利用面积公式运算求解即可； （3）利用余弦定理先求，利用倍角公式以及两角和差公式运算求解. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由（1）可得的面积. 【小问3详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 且，则， 可得， 所以. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆内一点满足，. （1）求椭圆的离心率； （2）椭圆上一点在第一象限，且满，直线与椭圆另一个交点为. （i）求点的坐标；（用表示） （ii）直线交的延长线于点，若的面积为，求椭圆的标准方程. 【答案】（1）; （2）（i）,（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可知表达相关点的坐标，代入距离公式与比例关系可以求得的关系，即可求得离心率. （2）（ⅰ）设所在直线方程与椭圆联立，可以求得的坐标，再有直线联立可以求得的坐标； （ⅱ）用点到直线的距离与两点间的距离公式，可以求出三角形的面积，即可求得椭圆方程. 【小问1详解】 因为椭圆内一点M满足，所以为的中点， 由椭圆右顶点，可得，又因为椭圆上顶点， 所以，化简得， 因为，所以， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得椭圆方程为， 椭圆上一点在第一象限，且满, 所以，设直线方程为， 由直线方程与椭圆方程联立得， 解得，因为点在第一象限，，则， 因为关于原点对称，所以； （ⅱ）因为，， 则直线的方程为，联立，解得， 所以， 所以，所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为，， 所以的面积，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中直线与椭圆的位置关系，通常设直线方程，并与椭圆方程联立，借助韦达定理与点到直线的距离公式即可解决有关三角形面积的问题. 19. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，使，，，…，，成等差数列. （i.）求； （ii）求的值. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可； （ⅱ）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． 【小问2详解】 （ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 【点睛】易错点睛：计算插入项时的公差处理：插入项的公差是根据相邻两项之间的差异来确定的，计算时需要注意公式中的每一项，尤其是分母部分. 求和时的简化错误：在求和过程中，要特别注意求和的形式，避免在处理递推关系和求和公式时出现计算上的疏漏. 20. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）令. （i）讨论函数极值点的个数； （ii）若是的一个极值点，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）当时，无极值点；当时，只有个极小值点. （ii）证明：因为是的一个极值点， 由（i）可知，且. 所以. 因为，所以. 设，，则，则在上为减函数，且， 由，所以. 设，则， 由；由. 所以在上为增函数，在上单调递减，且. 所以，所以. 所以. 因为，所以，， 相乘得： 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再利用点斜式可得切线方程. （2）（i）求导，先确定时无极值，再当时，确定导函数的单调性，然后二次求导求极值即可；（ii）根据（i）中的极值点得：，构造以及，通过求导研究其单调性以及范围，然后利用不等式的性质证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 所以，. 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）因为，（）. 所以，（） 当时，在上恒成立，所以函数在上是增函数，不存在极值点； 当时，设，则在上恒成立. 所以在上是增函数. 又，，所以唯一存在，使得. 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 所以是函数唯一的极小值点，无极大值点. 综上：当时，无极值点；当时，只有个极小值点. （ii）略 【点睛】方法点睛：对于单调函数但又无法解出零点的函数，可以设出零点，然后构造等式进行计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高三年级第二次质量监测 数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 5. 下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为 （ ） A. B. 且 C. D. 6. 下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增. 其中，真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 以上皆不对 7. 已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，双空题对一个得3分） 10. 已知是虚数单位，复数满足，则______. 11. 计算的值为______. 12. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 13. 已知，，，则的最小值为______. 14. 在梯形中，，，，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为______. 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 三、解答题 16. 已知的内角所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆内一点满足，. （1）求椭圆的离心率； （2）椭圆上一点在第一象限，且满，直线与椭圆另一个交点为. （i）求点的坐标；（用表示） （ii）直线交的延长线于点，若的面积为，求椭圆的标准方程. 19. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，使，，，…，，成等差数列. （i.）求； （ii）求的值. 20. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）令. （i）讨论函数极值点的个数； （ii）若是的一个极值点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $