6.2 与圆有关的位置关系-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·安徽数学 　 第 六 章 圆 命题点 2　 与圆有关的位置关系(10 年 5 考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 点与圆、直线与圆的位置关系 1. 如图,在 6×6 的正方形网格中(小正方形的边 长为 1),有 5 个点,M,N,O,P,Q,以 O为圆心, 5 为半径作圆,则在☉O外的点是 (　 C　 ) 第 1 题图 A. M B. N C. P D. Q 2. 在同一平面内,已知☉O 的半径为 4,圆心 O 到 直线 l 的距离为 6,P 为圆上的一个动点,则点 P 到直线 l 的距离不可能是 (　 D　 ) A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 3. [沪科九下 P25 第 1 题改编]在▱ABCD 中,BC = 5,S▱ ABCD = 20. 如果以顶点 C 为圆心,BC 长为 半径作☉C,那么☉C 与边 AD 所在直线的公共 点的个数是 (　 B　 ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 考向 2　 切线的性质(2022. 19,2020. 20,2018. 12, 2016. 13) 4. [2024 浙江]如图,AB 是☉O 的直径,AC 与☉O 相切,A 为切点,连接 BC. 已知∠ACB = 50°,则 ∠B 的度数为　 40°　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 变式 4-1 [2024 山西]如图,已知△ABC,以 AB 为 直径的☉O 交 BC 于点 D,与 AC 相切于点 A,连接 OD. 若∠AOD= 80°,则∠C 的度数为 (　 　 　 ) A. 30°　 B. 40°　 C. 45°　 D. 50° 变式 4-1 题图 　 　 　 变式 4-2 题图 变式 4-2 如图,☉O 的切线 PC 交直径 AB 的延 长线于点 P,C 为切点,连接 AC. 若∠P = 40°,则∠A 的度数为 (　 　 　 ) A. 25°　 B. 30°　 C. 35°　 D. 40° 5. [2024 芜湖镜湖区三模]如图,BC 是☉O 的切线, 点 B 是切点,连接 CO 交☉O 于点 D,延长 CO 交☉O 于点 A,连接 AB,若∠C = 30°,OD= 2,则 AB 的长为 (　 C　 ) A. 2 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 3 3 6. [2024 六安霍邱模拟]如图,四边形 ABCD 内接于 ☉O,PA,PC 分别与☉O 相切于点 A,C,若∠D = 70°,则∠P+∠B= 　 150　 °. 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. [2018 安徽 12 题改编] 如图,菱形 ABOC 的边 AB,AC 分别与☉O 相切于点 D,E. 若点 D 是 AB 的中点,OD= 2 3 ,则 OB= 　 　 4　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68 分层作业本·安徽数学 　 第 六 章 圆 8. [2024 合肥瑶海区一模]如图所示,AB 是☉O 的 直径,弦 CE⊥AB,垂足为 M,过点 C 作☉O 的 切线交 BA 的延长线于点 D,若 AM = 1,BM = 5, 则 AD= 　 　 　 . 第 8 题图 9. [2022 安徽 19 题 10 分]已知 AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,D 为 BA 的延长线上一点,连接 CD. (1)如图①,若 CO⊥AB,∠D = 30°,OA = 1,求 AD 的长; (2)如图②,若 DC 与☉O 相切,E 为 OA 上一 点,且∠ACD= ∠ACE. 求证:CE⊥AB. 图① 　 图② 第 9 题图 (1)解:∵OA=OC=1,CO⊥AB,∠D=30°, ∴OD= 3OC= 3 , ∴AD=OD-OA= 3 -1; (2)证明:∵DC 与☉O 相切,∴OC⊥CD, ∴∠OCD=90°,即∠ACD+∠OCA=90°, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC, ∵∠ACD=∠ACE, ∴∠OAC+∠ACE=90°, ∴∠AEC=90°,即 CE⊥AB. 考向 3　 切线的判定 10. 如图所示,在△POM 中,点 M 在☉O 上,点 P 在☉O 外,OP 交☉O 于点 N,以下条件不能判 定 PM 是☉O 的切线的是 (　 D　 ) 第 10 题图 A. ∠O+∠P= 90° B. ∠O+∠P= ∠OMP C. OM2 +PM2 =OP2 D. 点 N 是 OP 的中点 11. [2020 安徽 20 题改编]如图,AB 是半圆 O 的直 径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两点,AC 平分∠DAB,AC 与 BD 相交于点 F,延长 AC 到点 E,使 CE=CF,连接 BC,BE. (1)求证:BE 是半圆 O 的切线; (2)若 BC=AD= 4,求☉O 的半径. 第 11 题图 (1)证明:∵AB 是半圆 O 的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°, ∵CE=CF,∴BE=BF,∴∠E=∠BFE=∠AFD, ∵AC 平分∠DAB,∴∠DAF=∠BAF, ∵∠DAF+∠AFD=90°,∴∠BAF+∠E=90°, ∴OB⊥BE, ∵OB 是半圆 O 的半径,∴BE 是半圆 O 的切线; (2)解:∵∠DAF=∠BAF,∴DC ( =CB ( , ∵BC=AD,∴BC ( =AD ( , ∴BC ( =AD ( =DC ( ,∴∠CAB=30°, ∴AB=2BC=8,∴OB= 1 2 AB=4, ∴☉O 的半径为 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 分层作业本·安徽数学 　 第 六 章 圆 考向 4　 三角形的内切圆与外接圆(2019. 13) 12. [北师九下 P96 第 2 题改编]如图所示,△ABC 的 内切圆☉O 分别与 AB,BC,AC 相切于点 D, E,F,且 AD = 6,BE = 4,CF = 8,则△ABC 的周 长为 (　 A　 ) A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 第 12 题图 　 变式题图 变式 [沪科九下 P69 第 15 题改编]如图,Rt△ABC 的 内切圆分别与 AB,BC 相切于点 D,E,若 BD = 1,AD= 4,则 CE= (　 D　 ) A. 3 2 B. 5 2 C. 4 3 D. 5 3 13. [沪科九下 P45 第 5 题改编]如图,点 I 为△ABC 的内心,连接 AI 并延长交△ABC 的外接圆于 点 D,交 BC 于点 E,若 AI= 2CD,则AE ED 的值为 (　 D　 ) 第 13 题图 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 14. [2019 安徽 13 题改编]如图,△ABC 内接于☉O, ∠A= 45°,CD⊥AB 于点 D,若 AB = 8,CD = 6, 则☉O 的半径为　 2 5 　 . 第 14 题图 15. 如图,AB 是☉O 的直径,直线 DE 与☉O 相切 于点 C,过点 A,B 分别作 AD⊥DE,BE⊥DE, 垂足分别为点 D,E,连接 AC,BC,若 AD = 3 , CD= 3,则△ABC 的面积为 (　 D　 ) A. 4 B. 4 3 C. 6 D. 6 3 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,已知 AB 是☉O 的弦,半径 OC⊥AB 于 点 D,过点 B 的切线与 OC 的延长线交于点 P,连接 AC,若 tan∠ACO = 2,OD = 3,则 PC 的 长为 (　 C　 ) A. 8 3 B. 3 C. 10 3 D. 11 3 17. [2024 池州三模]如图,等边△ABC 内接于☉O, 点 E 是弧 DC 上的一点,且∠DOC = 90°,则 ∠DEC-∠OCB 的度数为 (　 C　 ) A. 135° B. 120° C. 105° D. 100° 第 17 题图 　 　 　 变式题图 变式 名师原创 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,点 I 是△ABC 的内心,∠AIC= 112. 5°. (1)∠ADC= 　 135 　 °; ( 2) 若 ∠BAD = 90°, AB = 3, CD = 1, 则 BC = 　 3 2 -1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 88 分层作业本·安徽数学 　 第 六 章 圆 18. [2024 合肥模拟]如图,四边形 ABCD 为平行四 边形,边 AD 是☉O 的直径,☉O 交 AB 于点 F,DE 为☉O 的切线,交 BC 于点 E,BE=BF. (1)求证:DE⊥BC; (2)求证:四边形 ABCD 为菱形. 第 18 题图 证明:(1)∵DE 为☉O 的切线, ∴AD⊥DE, ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴AD∥BC, ∴DE⊥BC; (2)如解图,连接 DF,BD, ∵AD 是☉O 的直径, ∴∠AFD=90°, ∵DE⊥BC, ∴∠DEB=90°, 在 Rt△BDF 和 Rt△BDE 中, BD=BD, BF=BE,{ ∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL), ∴∠DBF=∠DBE, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBE, ∴∠ADB=∠DBF, ∴AD=AB, ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴四边形 ABCD 为菱形. 19. 名师原创 如图,已知点 P 是☉O 外一点,过点 P 作☉O的切线 PA,A 为切点,PO 交☉O 于点 F, 弦 AB⊥OP 于点 C. 点 D 是 BF ( 上一点,连接 BD,AD. (1)求证:∠ADB-∠OPA= 90°; (2)点 E 在 BC 上,且 BE =EF,若☉O 的半径 长为 4, PC= 6,求tan∠FEC 的值. 第 19 题图 1)证明:如解图,连接 AO 并延长交☉O 于点 G,连 接 DG, ∵AG 是☉O 的直径,∴∠ADG=90°, ∴∠GDB=∠ADB-∠ADG=∠ADB-90°, ∵PA 是☉O 的切线, ∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°, ∴∠OAC+∠PAC=90°, 又∵AB⊥OP,∴∠ACP=90°, ∴∠FEC =∠FBE+∠BFE=2∠FBE, 又∵∠COA=2∠FBA,∴∠FEC=∠COA, 易得 sin∠APO= sin∠CAO, ∴AO PO =OC OA ,∵PC=6,☉O 的半径为 4,即 OA=4, 令 OC=x,∴ 4 6+x = x 4 , 解得 x=2(负值已舍去), 经检验,x=2 是原分式方程的解, ∴AC= OA2-OC2 =2 3 , ∴tan∠FEC=tan∠COA=AC OC = 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 (2)解:如解图,过点 O 作 OH⊥CE 于 H,连接 OE、OC,则 EH=CH= 1 2 CE, ∵ CE=AD= 36 5 ,∴ EH= 18 5 , ∵ ∠EOC= 2∠EBC,∠EOH= ∠COH, ∴ ∠EOH= ∠EBC, 在 Rt△EOH 中,sin∠EOH= EH OE = 24 25 , ∴ OE= 25 24 × 18 5 = 15 4 ,即☉O 的半径为 15 4 . 21.证明:(1)∵ DE⊥AB, ∴ BD ( =BE ( . ∵ 点 D 是 BC ( 的中点, ∴ BD ( =CD ( ,∴ BE ( =CD ( , ∴ BE=CD. ∵ BD ( 所对的圆周角是∠DCF 和∠BEF, ∴ ∠DCF= ∠BEF. 在△CDF 和△EBF 中, ∠DFC= ∠BFE, ∠DCF= ∠BEF, CD=EB, { ∴ △CDF≌△EBF(AAS); (2)如解图,连接 BD. 第 21 题解图 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°, ∴ ∠DGF = ∠AGC = 90° - ∠CAD, ∠GDF= 90°-∠BDE. 由(1)知 CD ( =BD ( =BE ( , ∴ ∠CAD= ∠BDE, ∴ ∠DGF= ∠GDF,∴ DF=GF, ∴ △DFG 是等腰三角形. 命题点 2　 与圆有关的位置关系 1. C　 【解析】∵ OQ= 12 +22 = 5 ,OP= 22 +22 = 2 2 ,ON = 2,OM= 12 +22 = 5 ,∴ 在☉O 外的是点 P. 2. D 3. B　 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥DA 交 DA 的延长线于 点 H. ∵ S平行四边形 ABCD =BC·CH,∴ CH= 20 5 = 4,∵ 4<5,∴ 直 线 AD 与☉C 相交,即边 AD 所在直线与☉C 的公共点个数 是 2 个. 第 3 题解图 4. 40° 变式 4-1 D　 变式 4-2 A 5. C　 【解析】如解图,连接 OB,DB,则 OB =OD = 2,∵ AD 是 ☉O 的直径,∴ ∠ABD= 90°,AD = 2OD = 4,∵ BC 与☉O 相 切于点 B, ∴ BC ⊥ OB, ∴ ∠OBC = 90°, ∵ ∠C = 30°, ∴ ∠BOC= 60°,∴ △BOD 是等边三角形,∴ BD = OD = 2, ∴ AB= AD2 -BD2 = 42 -22 = 2 3 . 第 5 题解图 　 第 6 题解图 6. 150　 【解析】如解图,连接 OA,OC,∵ 四边形 ABCD 内接 于☉O,∴ ∠ABC= 180°-∠D = 180°-70° = 110°,由圆周角 定理得∠AOC= 2∠D = 140°,∵ PA,PC 分别与☉O 相切于 点 A,C,∴ ∠PAO = ∠PCO = 90°,∴ ∠P = 360°-90°-90°- 140° = 40°,∴ ∠P+∠B= 40°+110° = 150°. 7. 4　 【解析】如解图,连接 OA, ∵ 四边形 ABOC 是菱形, ∴ BA=BO,∵ AB 与☉O 相切于点 D,∴ OD⊥AB,∵ 点 D 是 AB 的中点,∴ 直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线,∴ OA = OB,∴ △AOB 是等边三角形,∴ ∠BOD = 1 2 ∠AOB = 30°, ∵ OD= 2 3 ,∴ OB= OD cos∠DOB = 4. 第 7 题解图 　 　 第 8 题解图 8. 3 2 　 【解析】如解图,连接 OC,∵ AB 是☉O 的直径,AM = 1,BM= 5,∴ AB=AM+BM= 1+5 = 6,∴ OC =OA=OB = 1 2 AB = 1 2 ×6 = 3,∴ OM =OA-AM = 3-1 = 2,∵ CD 与☉O 相切于 点 C,∴ CD⊥OC,∵ CE⊥AB 于点 M,∴ ∠OMC = ∠OCD = 90°,∴ cos∠COD= OM OC =OC OD ,∴ OD = OC2 OM = 3 2 2 = 9 2 ,∴ AD = OD-OA= 9 2 -3 = 3 2 . 9. (1)解:∵ OA=OC= 1,CO⊥AB,∠D= 30°, ∴ OD= 3OC= 3 , ∴ AD=OD-OA= 3 -1; (2)证明:∵ DC 与☉O 相切,∴ OC⊥CD,∴ ∠OCD= 90°, 即∠ACD+∠OCA= 90°, ∵ OA=OC,∴ ∠OCA= ∠OAC, ∵ ∠ACD= ∠ACE, ∴ ∠OAC+∠ACE= 90°, ∴ ∠AEC= 90°,即 CE⊥AB. 10. D　 【解析】A. ∵ ∠O+∠P+∠OMP = 180°,且∠O+∠P = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 90°,∴ ∠OMP = 90°,可知 PM 是☉O 的切线,故选项 A 与选项 B 不符合题意;C. ∵ OM2 +PM2 = OP2 ,∴ △OMP 是直角三角形,且∠OMP = 90°,可知 PM 是☉O 的切线, 故选项 C 不符合题意;D. 点 N 是 OP 的中点不能得出 ∠OMP= 90°,即不能判断出 PM 是☉O 的切线,故选项 D 符合题意. 11. (1)证明:∵ AB 是半圆 O 的直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°, ∵ CE=CF,∴ BE=BF,∴ ∠E= ∠BFE= ∠AFD, ∵ AC 平分∠DAB,∴ ∠DAF= ∠BAF, ∵ ∠DAF+∠AFD= 90°,∴ ∠BAF+∠E= 90°,∴ OB⊥BE. ∵ OB 是半圆 O 的半径, ∴ BE 是半圆 O 的切线; (2)解:∵ ∠DAF= ∠BAF,∴ DC ( =CB ( , ∵ BC=AD,∴ BC ( =AD ( , ∴ BC ( =AD ( =DC ( ,∴ ∠CAB= 30°, ∴ AB= 2BC= 8,∴ OB= 1 2 AB= 4, ∴ ☉O 的半径为 4. 12. A　 【解析】∵ △ABC 的内切圆☉O 分别与 AB,BC,AC 相 切于点 D,E,F,∴ AD=AF,BD=BE,EC=FC,∵ AD= 6,BE = 4,CF= 8,∴ AF = 6,BD = 4,CE = 8,∴ BC = BE+EC = 12, AB=AD+BD= 10,AC = AF+FC = 14,∴ △ABC 的周长 = BC +AB+AC= 36. 变式 D　 【解析】如解图,设☉O 与 AC 相切于点 F,连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF, ∵ Rt △ABC 的内切圆分别与 AB,BC 相切于点 D,E,∴ OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,CF =CE,∴ ∠ODB = ∠OEB = ∠EBD = 90°,∴ 四边形 OEBD 是矩形,∵ OD=OE,∴ 四边形 OEBD 是正方形,∵ BD = 1, AD= 4,∴ BE=BD=OD=OE=OF= 1,AF=AD= 4,AB =BD+ AD= 1+4 = 5,∴ BC = CE+ 1,AC = CF+ 4 = CE+ 4,∵ S△ AOB + S△ BOC+S△ AOC =S△ ABC,∠ABC= 90°,∴ 1 2 ×5×1+ 1 2 (CE+1) ×1+ 1 2 (CE+4) ×1 = 1 2 ×5(CE+1),解得 CE= 5 3 . 变式题解图 　 　 　 第 13 题解图 13. D　 【解析】 如解图, 连接 IC, ∵ I 是 △ABC 的内心, ∴ ∠IAC= ∠IAB,∠ICA= ∠ICB,∵ ∠BAI = ∠BCD,∠DIC = ∠IAC + ∠ICA, ∠DCI = ∠BCD + ∠ICB, ∴ ∠DIC = ∠DCI,∴ DI = DC, ∵ AI = 2CD, ∴ AI = 2DI, AD = 3CD, ∵ ∠BCD= ∠BAD= ∠CAI,∠D= ∠D,∴ △CDE∽△ADC, ∴ DE CD =CD AD = 1 3 ,∴ DE = 1 3 CD, ∴ AE = AD -DE = 3CD - 1 3 CD= 8 3 CD= 8DE,∴ AE DE = 8. 14. 2 5 　 【解析】如解图,连接 CO 和 BO,∵ ∠A = 45°,CD⊥ AB 于点 D,AB= 8,CD= 6,∴ ∠ACD = ∠A= 45°,AD =CD = 6,∴ BD=AB-AD= 8-6 = 2,∴ BC= CD2 +BD2 = 62 +22 = 2 10 , ∵ ∠A = 45°, ∴ ∠COB = 90°, 又 ∵ CO = BO, ∴ △BCO 是等腰直角三角形,∴ CO = BO = BC 2 = 2 10 2 = 2 5 . 第 14 题解图 　 　 第 15 题解图 15. D　 【解析】如解图,连接 OC,∵ 直线 DE 与☉O 相切于点 C,∴ OC⊥DE,∴ ∠OCD = 90°,在 Rt△ACD 中,AD = 3 , CD = 3, ∴ tan ∠ACD = AD CD = 3 3 , AC = AD2 +CD2 = ( 3 ) 2 +32 = 2 3 ,∴ ∠ACD= 30°,∴ ∠ACO = 90°-30° = 60°,∵ OA = OC, ∴ △AOC 是等边三角形, ∴ OA = AC, ∴ ☉O 的半径为 2 3 ,∴ AB = 4 3 ,∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB = 90°, 在 Rt △ABC 中, BC = AB2 -AC2 = (4 3 ) 2 -(2 3 ) 2 = 6,∴ △ABC 的面积 = 1 2 AC·BC = 1 2 ×2 3 ×6 = 6 3 . 16. C　 【解析】∵ OC⊥AB,∴ AD = BD,∵ tan∠ACO = AD CD = 2, ∴ 设 CD= x,则 AD = BD = 2x,∵ OD = 3,∴ OB = OC = OD+ CD= 3+x,在 Rt△OBD 中,根据勾股定理得 OB2 = OD2 + BD2 ,∴ (3+x) 2 = 32 +(2x) 2 ,∴ x = 2 或 x = 0(舍去),∴ AD =BD= 2x= 4,OB = 3+x = 5,∵ PB 是☉O 的切线,∴ OB⊥ PB,∵ OC⊥AB,∴ ∠ODB= ∠OBP = 90°,∴ ∠BOD = 90°- ∠OBD= ∠DBP, ∴ tan ∠BOD = tan ∠DBP, ∴ BD OD = PD BD , ∴ 4 3 =PC +2 4 ,∴ PC= 10 3 . 17. C 　 【解析】 如解图, 连接 BD, AO, ∵ ∠DOC = 90°, ∴ ∠CBD= 45°,∴ ∠DEC= 180°-45° = 135°,∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC= ∠ACB = 60°,则∠AOC = 120°,∵ AO=OC,∴ ∠ACO = 1 2 ×(180° - 120°) = 30°,∴ ∠OCB = 60°-∠ACO= 30°,则∠DEC-∠OCB= 135°-30° = 105°. 第 17 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 变式 (1)135;(2)3 2 -1　 【解析】(1)∵ 点 I 是△ABC 的内 心, ∴ ∠BAC = 2∠IAC, ∠ACB = 2 ∠ICA, ∵ ∠AIC = 112. 5°, ∴ ∠B = 180° - ( ∠BAC + ∠ACB ) = 180° - 2(∠IAC+∠ICA)= 180°-2(180°-∠AIC)= 45°,又∵ 四边 形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠ADC = 180° - ∠B = 135°;( 2) ∵ ∠BAD= 90°,∴ ∠BCD= 90°,如解图,延长 AD,BC 交于 点 E,∴ ∠E= ∠ADC-∠DCE= 45°,∴ △ABE,△CDE 均为 等腰直角三角形,又∵ AB= 3,CD = 1,∴ BE = 2AB= 3 2 , CE=CD= 1,∴ BC= 3 2 -1. 变式题解图 　 　 第 18 题解图 18.证明:(1)∵ DE 为☉O 的切线,∴ AD⊥DE, ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC,∴ DE⊥BC; (2)如解图,连接 DF,BD,∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠AFD = 90°, ∵ DE⊥BC, ∴ ∠DEB= 90°, 在 Rt△BDF 和 Rt△BDE 中, BD=BD, BF=BE,{ ∴ Rt△BDF≌Rt△BDE(HL), ∴ ∠DBF= ∠DBE, ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB= ∠DBE, ∴ ∠ADB= ∠DBF,∴ AD=AB, ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ 四边形 ABCD 为菱形. 19. ( 1) 证明:如解图,连接 AO 并延长交☉O 于点 G,连 接 DG, ∵ AG 是☉O 的直径, ∴ ∠ADG= 90°, ∴ ∠GDB= ∠ADB-∠ADG= ∠ADB-90°, ∵ PA 是☉O 的切线, ∴ OA⊥PA,∴ ∠OAP= 90°, ∴ ∠OAC+∠PAC= 90°, 又∵ AB⊥OP,∴ ∠ACP= 90°,∴ ∠OPA +∠PAC= 90°, ∴ ∠OAC = ∠OPA, 又∵ ∠GDB = ∠BAG, ∴ ∠ADB-90° = ∠OPA, ∴ ∠ADB-∠OPA = 90°; (2)解:如解图,连接 BF, ∵ BE=EF,∴ ∠FBE = ∠BFE, ∴ ∠FEC = ∠FBE+∠BFE= 2∠FBE, 又∵ ∠COA= 2∠FBA, ∴ ∠FEC= ∠COA, 第 19 题解图 易得 sin∠APO= sin∠CAO, ∴ AO PO =OC OA , ∵ PC= 6,☉O 的半径为 4,即 OA= 4, 令 OC= x,∴ 4 6+x = x 4 , 解得 x= 2(负值已舍去),经检验,x = 2 是原分式方程的解, ∴ AC= OA2 -OC2 = 2 3 , ∴ tan∠FEC = tan∠COA= AC OC = 3 . 命题点 3　 圆的相关计算 1. C　 【解析】AB ( 的长= nπr 180 = 120 ×π×6 180 = 4π. 2. B　 【解析】根据题意得 l = 108π× 30 2 180 = 9π( cm),则重物上 升了 9π cm. 3. C　 【解析】如解图,连接 OC,则 OC= 1 2 AB= 6,∵ CD∥AB, ∠BCD= 30°,∴ ∠ABC= ∠BCD= 30°,∴ ∠AOC= 2∠ABC = 60°,则 AC ( 的长为 60π×6 180 = 2π. 第 3 题解图 　 　 第 4 题解图 4. C　 【解析】如解图,连接 OA、OB,过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,由题意得,OC = 1 2 OA, ∴ ∠OAC = 30°, ∵ OA = OB, ∴ ∠OBA = ∠OAC = 30°, ∴ ∠AOB = 120°, ∴ AB ( 的 长 = 120π×3 180 = 2π. 5. B　 【解析】如解图,连接 BC,∵ OD =DC,BD⊥OC,∴ BC = OB,∵ OB = OC,∴ △OBC 是等边三角形,∴ ∠BOC = 60°, ∵ ∠AOB= 80°,∴ ∠AOC= 20°,∴ AC ( 的长为 20π×3 180 = π 3 . 第 5 题解图 　 　 第 6 题解图 6. B 　 【解析】 如 解 图, 连 接 OC, OD, ∵ ∠CBD = 50°, ∴ ∠COD= 100°,∵ OC = OD,∴ ∠ODC = ∠OCD = 40°,∴ ∠BOC= ∠A+∠OCD = 60°,∵ OC = OB,∴ △OBC 是等边 三角形,∴ OC=BC= 2,∴ CD ( 的长为 100π×2 180 = 10π 9 . 7. C　 【解析】∵ 折扇扇面宽度 AB 是折扇骨柄长的 4 7 ,骨柄 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73