大单元串讲1 函数的深度理解与把握-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 大单元串讲一　 函数的深度理解与把握 一、如何判断是不是函数:在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果对于任意一个 x 都有唯一确定 的 y 与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 1. 下列 y 与 x 的关系中,y 不是 x 的函数关系的是　 　 　 　 　 (填序号) . ①y= -2x-1;　 ② | y | = 2x;　 ③y2 = x;　 ④y= -x2;　 ⑤y= 2 x ;　 ⑥y= 2 x+1 . 2. 下列图象中,不能表示 y 是 x 的函数的是　 　 　 　 　 　 . (填序号) 二、如何判断属于哪个函数类型(一次函数、反比例函数和二次函数) ◆根据题意列函数解析式并区分函数类型 1. 如图,用绳子围矩形,记矩形相邻的两边长为 x m,y m. (1)若绳长为10 m,则 y与 x 的关系式为　 　 　 　 　 　 ,y 是 x 的　 　 　 　 　 函 数; (2)若矩形的面积是 10 m2,则 y 与 x 的关系式为　 　 　 　 　 　 ,y 是 x 的　 　 　 　 　 　 函数; (3)若矩形的周长为 20 m,矩形的面积为 S m2,则 S 与 x 的关系式为　 　 　 　 　 　 　 　 ,S 是 x 的　 　 　 　 函数. ◆根据表格数据特点区分函数类型 对于“已知 y 与 x 的几组对应值,判断 y 与 x 满足哪种函数类型”的问题,可优先从以下几 个方向思考: (1)若表格中的 x 或 y 的值“有 0”:y 与 x 一定不是反比例函数; (2)若每一组 x,y 的“乘积都相等”:y 是 x 的反比例函数; (3)若表格中有“两个 x 对应的 y 值相等”:y 是 x 的二次函数; (4)若 y 的值呈现“先增后减”或“先减后增”:y 是 x 的二次函数; (5)若 x 与 y 都呈现“等差变化”:y 是 x 的一次函数; (6)通过描点观察图象的形状:直线型即一次函数;双曲线型即反比例函数;抛物线型即二 次函数. 14 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 ◆根据函数图象上点的坐标特征区分函数类型 2. 在如图所示的平面直角坐标系中,每个网格的单位长度均为 1,点 A,B,C,D,E 均在的格点上, 请回答下列问题. (1)与一次函数图象有关 ①正比例函数 y= kx 的图象　 　 　 　 (填“能”或“不 能”)经过点 A; ②若正比例函数 y= kx 的图象经过图中的某一点,则 k　 　 　 0(填“>”或“<”); ③一次函数 y= kx+b 的图象　 　 　 　 (填“能”或“不 能”)同时经过点 D 和点 E; ④若一次函数 y=kx+b的图象经过其中的三点,则这三个 点分别是　 　 　 　 　 . 一次函数 坐标系中的一条“斜直线” 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (2)与反比例函数图象有关 ①反比例函数 y= k x 的图象一定不经过点　 　 　 　 ; ②反比例函数 y = k x 的图象　 　 　 　 (填“能”或“不 能”)同时经过点 D 和点 E; ③若反比例函数 y = k x 的图象经过点 B 和点 C,则还 可以经过点　 　 　 　 . 反比例函数 分别居于两个象限的“双曲线” 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (3)与二次函数图象有关 ①二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象　 　 　 　 (填“能”或 “不能”)同时经过点 A,点 C 和点 E; ②抛物线 y=ax2 -2ax+3 一定经过点 A 和点　 　 　 ; ③若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过点 D 和点 E, 则 a,b 满足的关系式为　 　 　 　 　 　 ; ④若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过其中的三点, 当 a 最大时,经过的点是　 　 　 　 　 　 ;当 a 最小 时,经过的点是　 　 　 　 　 　 . 二次函数 坐标系中的一条“抛物线” 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 4×( -1) ×( -a) -(a+1) 2 4×( -1) = 4a -a2 -2a-1 -4 = a 2 -2a+1 4 ,∵ 将该 二次函数的图象向下平移 3 个单位长度,∴ 所得二次函数的 图象顶点纵坐标为 a2 -2a+1 4 -3= 1 4 (a-1)2 -3,∵ 1 4 >0,∴ 所 得二次函数的图象顶点纵坐标的最小值为-3. 变式 8-2 解:(1)∵ y=mx2 -2mx-3 =m(x-1) 2 -m-3 的最小 值为-4,∴ m>0, -m-3 = -4,{ 解得 m= 1, ∴ 二次函数的解析式为 y= x2 -2x-3; (2)∵ m= 3, ∴ 设平移后的二次函数解析式为 y = 3x2 +px+q,其顶点坐 标为( - p 6 ,q- p2 12 ),与 y 轴交点的纵坐标为 q, 将( - p 6 ,q- p2 12 )代入 y= -x-1,得 q- p2 12 = p 6 -1, ∴ q= p2 12 + p 6 -1 = 1 12 (p+1) 2 - 13 12 , ∵ 1 12 >0,∴ 当 p= -1 时,q 取最小值,最小值为- 13 12 , ∴ 平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最小值是- 13 12 . 大单元串讲一　 函数的深度理解与把握 一、1. ②③　 2. ③④⑤ 二、1. (1)y= -x+5;一次; (2)y= 10 x ;反比例; (3)S= -x2 +10x;二次. 2. (1)①不能;②>;③不能;④A,C,E; (2)①A;②不能;③E; (3)①不能;②B;③9a+b= 0;④A,D,E;A,B,D. 大单元串讲二　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;减小;增大 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) . 3. (1) <;(2) >;(3) >. 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 变式 解:当 k<0 时,反比例函数 y = k x 的图象位于第二、 四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 <y2 时, 分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 ; ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 ; ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;>. 6.解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y=x2 -2x-3 的对称轴为直线 x=1,且 a=1>0, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值;当 x = -3 时,y = 9+ 6-3 = 12 是最大值. 7. (1) -12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 能力点 1 1. -1,4　 2. 直线 x= -1,-1　 3. 1 3 ; 1 3 　 4. -1,2 能力点 2 5. = ,4-4k,1　 6. ≥,4-4(k-1)≥0,k≤2 7. >,4-4( -3-m) >0,m>-4　 8. a>3 1 2 1. (1)x= 1 和 x= 3;(2)x<1 或 x>3;(3)增大而减小;(4)k<2 2. A　 【解析】∵ 不等式 x2 +bx+c>m 的解集为 x<-1 或 x>3, ∴ x= -1 或 x= 3 是关于 x 的方程 x2 +bx+c=m 的根,∴ 抛物 线 y= x2 +bx+c 与直线 y=m 的交点为( -1,m),(3,m),∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2 = -1+3 2 ,解得 b= -2. 3. - 1 2 　 【解析】∵ 函数 y = x2 +2x-2m 的图象与 x 轴有且只 有一个交点,∴ Δ= 22 -4×1×( -2m)= 0,解得 m= - 1 2 . 变式 3-1 A　 【解析】由二次函数 y = m 3 x2 +mx+m2 -m(m 为 常数)的图象经过(0,6),且有最小值,得 m2 -m = 6,即 m = 3 或-2(舍),当 m= 3 时,y = x2 + 3x+ 6,Δ = 9- 24 = - 15< 0,故该二次函数的图象与 x 轴交点的个数为 0. 变式 3-2 A　 【解析】∵ 抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴交于两 点,分别为(x1 ,0)和(x2 ,0),且 x1 <1,∴ x2 >1,x1 -1<0,x2 - 1>0,∴ (x1 -1)(x2 -1) <0,∴ x1x2 -( x1 +x2 ) +1<0,由根与 系数的关系可得-c-b+1<0,∴ b+c>1. 4. a<-1 或 a>1　 【解析】∵ 平移直线 l,可以使 P,Q 都在 x 轴的下方,令 y= x-a+1<0,∴ x<-1+a,令 y= x2 -2ax<0,当 a>0 时,0<x<2a;当 a<0 时,2a<x<0. ①当 a>0 时,x<-1+ a 与 0<x<2a 有解,∴ -1+a>0,则 a>1;②当 a<0 时,x<-1 +a 与 2a<x<0 有解,-1+a>2a,则 a<-1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<-1 或 a>1. 5. (1)5;(2) -2≤m<0　 【解析】(1)将(1,5)代入 y =mx2 +nx -m 得,5 =m+n-m,解得 n= 5. (2)将点 A(2,-m),代入 y = mx2 +nx-m 得,-m = 4m+ 2n-m,解得 n = - 2m,∴ y = mx2 - 2mx-m=m(x-1) 2 -2m,∴ 抛物线对称轴为直线 x= 1,顶点 坐标为(1,-2m),当 m>0 时,如解图①,抛物线开口向上, 顶点在点 B 下方,∵ 抛物线经过(2,-m),∴ 点 C 在抛物 线上方,∴ 抛物线与线段 BC 无交点. 当 m< 0 时,如解图 ②,抛物线开口向下,∵ -2m>-m,∴ 抛物线顶点在点 B 上 方,当点 C 在抛物线上或抛物线上方时满足题意,即 2≥ -m,解得 m≥-2,∴ -2≤m<0. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6.解:(1)将 a= 1 代入得 y= x2 -2x= (x-1) 2 -1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1); (2)解法 1:由题得,y1 =a·(3a) 2 -2a2 ·3a= 3a3 , y2 =ax22 -2a2x2 , ∵ y1 <y2 , ∴ y2 -y1 =a(x22 -2ax2 -3a2 )= a(x2 -3a)(x2 +a) >0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51