3.12 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 4×( -1) ×( -a) -(a+1) 2 4×( -1) = 4a -a2 -2a-1 -4 = a 2 -2a+1 4 ,∵ 将该 二次函数的图象向下平移 3 个单位长度,∴ 所得二次函数的 图象顶点纵坐标为 a2 -2a+1 4 -3= 1 4 (a-1)2 -3,∵ 1 4 >0,∴ 所 得二次函数的图象顶点纵坐标的最小值为-3. 变式 8-2 解:(1)∵ y=mx2 -2mx-3 =m(x-1) 2 -m-3 的最小 值为-4,∴ m>0, -m-3 = -4,{ 解得 m= 1, ∴ 二次函数的解析式为 y= x2 -2x-3; (2)∵ m= 3, ∴ 设平移后的二次函数解析式为 y = 3x2 +px+q,其顶点坐 标为( - p 6 ,q- p2 12 ),与 y 轴交点的纵坐标为 q, 将( - p 6 ,q- p2 12 )代入 y= -x-1,得 q- p2 12 = p 6 -1, ∴ q= p2 12 + p 6 -1 = 1 12 (p+1) 2 - 13 12 , ∵ 1 12 >0,∴ 当 p= -1 时,q 取最小值,最小值为- 13 12 , ∴ 平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最小值是- 13 12 . 大单元串讲一　 函数的深度理解与把握 一、1. ②③　 2. ③④⑤ 二、1. (1)y= -x+5;一次; (2)y= 10 x ;反比例; (3)S= -x2 +10x;二次. 2. (1)①不能;②>;③不能;④A,C,E; (2)①A;②不能;③E; (3)①不能;②B;③9a+b= 0;④A,D,E;A,B,D. 大单元串讲二　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;减小;增大 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) . 3. (1) <;(2) >;(3) >. 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 变式 解:当 k<0 时,反比例函数 y = k x 的图象位于第二、 四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 <y2 时, 分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 ; ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 ; ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;>. 6.解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y=x2 -2x-3 的对称轴为直线 x=1,且 a=1>0, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值;当 x = -3 时,y = 9+ 6-3 = 12 是最大值. 7. (1) -12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 能力点 1 1. -1,4　 2. 直线 x= -1,-1　 3. 1 3 ; 1 3 　 4. -1,2 能力点 2 5. = ,4-4k,1　 6. ≥,4-4(k-1)≥0,k≤2 7. >,4-4( -3-m) >0,m>-4　 8. a>3 1 2 1. (1)x= 1 和 x= 3;(2)x<1 或 x>3;(3)增大而减小;(4)k<2 2. A　 【解析】∵ 不等式 x2 +bx+c>m 的解集为 x<-1 或 x>3, ∴ x= -1 或 x= 3 是关于 x 的方程 x2 +bx+c=m 的根,∴ 抛物 线 y= x2 +bx+c 与直线 y=m 的交点为( -1,m),(3,m),∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2 = -1+3 2 ,解得 b= -2. 3. - 1 2 　 【解析】∵ 函数 y = x2 +2x-2m 的图象与 x 轴有且只 有一个交点,∴ Δ= 22 -4×1×( -2m)= 0,解得 m= - 1 2 . 变式 3-1 A　 【解析】由二次函数 y = m 3 x2 +mx+m2 -m(m 为 常数)的图象经过(0,6),且有最小值,得 m2 -m = 6,即 m = 3 或-2(舍),当 m= 3 时,y = x2 + 3x+ 6,Δ = 9- 24 = - 15< 0,故该二次函数的图象与 x 轴交点的个数为 0. 变式 3-2 A　 【解析】∵ 抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴交于两 点,分别为(x1 ,0)和(x2 ,0),且 x1 <1,∴ x2 >1,x1 -1<0,x2 - 1>0,∴ (x1 -1)(x2 -1) <0,∴ x1x2 -( x1 +x2 ) +1<0,由根与 系数的关系可得-c-b+1<0,∴ b+c>1. 4. a<-1 或 a>1　 【解析】∵ 平移直线 l,可以使 P,Q 都在 x 轴的下方,令 y= x-a+1<0,∴ x<-1+a,令 y= x2 -2ax<0,当 a>0 时,0<x<2a;当 a<0 时,2a<x<0. ①当 a>0 时,x<-1+ a 与 0<x<2a 有解,∴ -1+a>0,则 a>1;②当 a<0 时,x<-1 +a 与 2a<x<0 有解,-1+a>2a,则 a<-1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<-1 或 a>1. 5. (1)5;(2) -2≤m<0　 【解析】(1)将(1,5)代入 y =mx2 +nx -m 得,5 =m+n-m,解得 n= 5. (2)将点 A(2,-m),代入 y = mx2 +nx-m 得,-m = 4m+ 2n-m,解得 n = - 2m,∴ y = mx2 - 2mx-m=m(x-1) 2 -2m,∴ 抛物线对称轴为直线 x= 1,顶点 坐标为(1,-2m),当 m>0 时,如解图①,抛物线开口向上, 顶点在点 B 下方,∵ 抛物线经过(2,-m),∴ 点 C 在抛物 线上方,∴ 抛物线与线段 BC 无交点. 当 m< 0 时,如解图 ②,抛物线开口向下,∵ -2m>-m,∴ 抛物线顶点在点 B 上 方,当点 C 在抛物线上或抛物线上方时满足题意,即 2≥ -m,解得 m≥-2,∴ -2≤m<0. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6.解:(1)将 a= 1 代入得 y= x2 -2x= (x-1) 2 -1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1); (2)解法 1:由题得,y1 =a·(3a) 2 -2a2 ·3a= 3a3 , y2 =ax22 -2a2x2 , ∵ y1 <y2 , ∴ y2 -y1 =a(x22 -2ax2 -3a2 )= a(x2 -3a)(x2 +a) >0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 ①当 a>0 时,(x2 -3a)(x2 +a) >0, ∴ x2 -3a>0, x2 +a>0{ 或 x2 -3a<0, x2 +a<0,{ 解得 x2 >3a 或 x2 <-a, ∵ 3≤x2 ≤4,∴ 3a<3 或-a>4, ∴ a<1 或 a<-4, ∵ a>0,∴ 0<a<1; ②当 a<0 时,(x2 -3a)(x2 +a) <0, ∴ x2 -3a>0, x2 +a<0{ 或 x2 -3a<0, x2 +a>0,{ 解得 3a<x2 <-a, ∵ 3≤x2 ≤4,∴ 3a<3, -a>4,{ 解得 a<-4, 综上,0<a<1 或 a<-4. 解法 2:①当 a>0 时,如解图①, M(x1 ,y1 )和 N(x2 ,y2 )都在对称轴右侧, 此时 y 随 x 增大而增大, ∵ y1 <y2 ,∴ x1 <x2 ,∴ 3a<3, ∴ 0<a<1; 图① 　 　 　 图② 第 6 题解图 ②当 a<0 时,如解图②, M(x1 ,y1 )在对称轴左侧,N(x2 ,y2 )在对称轴右侧, 点 M(3a,y1 )关于对称轴的对称点 M′( -a,y1 ) 在对称轴 右侧, 在对称轴右侧,y 随 x 增大而减小, ∵ y1 <y2 ,∴ -a>4,∴ a<-4, 综上,0<a<1 或 a<-4. 7.解:(1)∵ 二次函数 y= x2 -2kx+k-2 的图象过点(5,5), ∴ 5 = 25-10k+k-2,∴ k= 2, ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -4x= (x-2) 2 -4; (2)由(1)易得图象开口向上,对称轴为直线 x= 2, ∵ 点 P(a,n)和 Q(b,n+2)都在二次函数的图象上,且 a< b,b-a 的最小值为 1, ∴ 点 P(a,n)和 Q(b,n+2)在对称轴的右侧,此时 b-a = 1, 则 b=a+1, ∴ a2 -4a=n①,(a+1) 2 -4(a+1)= n+2②, ②-①得 a= 5 2 ,∴ b=a+1 = 7 2 , ∴ 此时点 P( 5 2 ,n)和 Q( 7 2 ,n+2), 当点 P 是点( 5 2 ,n)的对称点时,则 b-a 的值最大, ∵ 对称轴为直线 x= 2, ∴ 点( 5 2 ,n)的对称点为( 3 2 ,n), ∴ 此时 a= 3 2 , ∴ b-a 的最大值为 7 2 - 3 2 = 2. 8. 4　 【解析】∵ 抛物线 y= ax2 +bx+3 过点 B(3,0),C(2,3), ∴ 9a+3b+3 = 0, 4a+2b+3 = 3,{ ∴ a= -1, b= 2,{ ∴ 抛物线的解析式为 y = -x 2 + 2x+3. 当 y= 0 时,x = 3 或 x = -1,∴ A( - 1,0),. ∴ AB = 3- ( -1)= 4. 9. (1)90°;(2)4　 【解析】(1)在 y = 1 4 x2 - 3 2 x-4 中,令 x = 0,得 y = - 4, ∴ C ( 0, - 4),令 y = 0 得 x = 8 或 x = - 2, ∴ A( -2,0),B( 8, 0), ∴ AB2 = 100, AC2 = 20,BC2 = 80, ∴ AC2 +BC2 = AB2 ,∴ ∠ACB = 90°;(2)由 B(8,0),C(0,- 4)得直线 BC 的解析式为 y= 1 2 x-4,设 M(m, 1 4 m2 - 3 2 m -4)(0<m<8),∵ MQ∥y 轴,∴ Q(m, 1 2 m-4),∴ MQ = 1 2 m -4-( 1 4 m2 - 3 2 m-4) = - 1 4 m2 +2m = - 1 4 (m-4) 2 +4,∵ - 1 4 <0,∴ 当 m= 4 时,MQ 取最大值,最大值为 4. 10.解:(1)由题意得 16a+12+c= 0, c= 4,{ 解得 a= -1, c= 4;{ (2)如解图,过 P 作 y 轴的平行线交 AC 于 E,过 B 作 y 轴 的平行线交 AC 的延长线于 F, 第 10 题解图 设直线 AC 的解析式为 y= kx+b, 依题意得 -4k+b= 0, b= 4,{ 解得 k= 1, b= 4,{ ∴ 直线 AC 的解析式为 y= x+4, ∵ y= -x2 -3x+4, 当 y= 0 时,x= -4 或 1,∴ B(1,0), ∴ F(1,5),即 BF= 5, ∵ PE∥BF,∴ △EPQ∽△FBQ,∴ PQ BQ =PE BF =PE 5 , 令 m= PQ BQ ,∴ m= PE 5 , 设 P( t,-t2 -3t+4),E( t,t+4),-4<t<0, ∴ PE= -t2 -3t+4-( t+4)= -t2 -4t, ∴ m= PE 5 = -t2 -4t 5 = - 1 5 ( t+2) 2 + 4 5 , ∵ - 1 5 <0,∴ m 有最大值,最大值为 4 5 , ∴ PQ BQ 的最大值为 4 5 . 11. 3　 【解析】y= x2 -2x-3,当 y= 0 时,x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3,∴ A( - 1,0),B(3,0);当 x = 0 时,y = - 3,∴ C (0,-3),设 yBC = kx+b,则 3k+b= 0, b= -3,{ 解得 k= 1, b= -3,{ ∴ yBC = x -3,∵ y= x2 -2x-3 = (x- 1) 2 - 4,∴ M(1,- 4),G(1,- 2), ∴ GM= -2-( -4)= 2,∴ S△MBC = 1 2 ×2×3 = 3. 12.解:(1)将点 A( -1,0)代入 y= -x2 +2x+c, ∴ -( -1) 2 +2×( -1) +c= 0,解得 c= 3, ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4, ∴ 顶点坐标为(1,4); (2)令 y= 0,得-x2 +2x+3 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ 点 B(3,0), 由(1)得点 M(1,4),∵ MD⊥y 轴,∴ 点 D(0,4), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 设直线 BD 的表达式为 y= kx+b, 则 3k+b= 0, b= 4,{ 解得 k= - 4 3 , b= 4, { ∴ 直线 BD 的表达式为 y= - 4 3 x+4, ∵ 点 E 为对称轴和直线 BD 的交点,∴ E(1, 8 3 ), 则 S△DME S△BNE = 1 2 DM·ME 1 2 BN·EN = 1×(4- 8 3 ) (3-1) × 8 3 = 1 4 . 13.解:(1)由题意得 4a+k= -1, 9a+k= -6,{ 解得 a= -1, k= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -(x-2) 2 +3 = -x2 +4x-1, 当 y= -1 时,即-1 = -x2 +4x-1, 解得 x= 0(舍去)或 4,即点 B(4,-1), ∴ m= 4,a= -1,k= 3; (2)由点 A、C 的坐标得,直线 AC 的表达式为 y= -x-1, 设点 P(x,-x2 +4x-1)、点 Q(x,-x-1), ∴ S四边形APBQ = 1 2 AB·PQ= 1 2 ×4×( -x2 +4x-1+x+1)= -2(x2 -5x)= -2(x- 5 2 ) 2 + 25 2 , ∵ -2<0,∴ 四边形 APBQ 面积有最大值, 当 x= 5 2 时,四边形 APBQ 的面积最大,最大值为 25 2 . 命题点 13　 二次函数的实际应用 1. w= -5x2 +200x-1500(10≤x≤30);20　 【解析】∵ 某商品 进价 10 元 /件,售价 x 元 /件,∴ 每件商品的利润为( x- 10)元,∵ 销售量 y= -5x+150(10≤x≤30),∴ 利润 w(元) 和售价 x(元 /件)之间的函数关系式为 w = ( x-10) ( -5x+ 150)(10≤x≤30),∴ w = -5x2 +200x-1500(10≤x≤30), ∴ w= -5( x-20) 2 +500,∵ -5<0,∴ 当 x = 20,即商品售价 定为 20 元 /件时,每天销售该商品获利最大. 2.解:(1)设这个时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y= kx+b (k≠0), ∵ 其图象过点(100,300),(120,200), ∴ 100k+b= 300, 120k+b= 200,{ ∴ k= -5, b= 800,{ ∴ 这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y= -5x+800; (2)由题意得, x≥100, -5x+800≥220,{ ∴ 100≤x≤116. 设商场获得的利润为 w 元, 则 w = (x-80)( -5x+800) = -5x2 +1200x-64000 = -5(x-120) 2 +8000, 又∵ -5<0,100≤x≤116, ∴ 当 x= 116 时,利润最大, w最大 = -5×(116-120) 2 +8000 = 7920. 答:当销售单价为 116 元 /件时,商场获得利润最大,最大 利润是 7920 元. 3.解:(1)设 y 与 x 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0) . 把 x = 12, y = 56; x = 14, y = 52 代入得 12k+b= 56, 14k+b= 52,{ 解 得 k= -2, b= 80,{ ∴ y 与 x 的函数表达式为 y= -2x+80; (2)设日销售利润为 w 元,则 w= (x-10)( -2x+80)= -2x2 +100x- 800 = - 2( x2 - 50x+ 625) - 800+ 1250 = - 2( x- 25) 2 +450. ∵ -2<0,∴ 当 x= 25 时,w 取得最大值,即日销售最大利润 为 450 元; (3)w= ( x- 10 -m) ( - 2x+ 80) = - 2x2 + ( 100 + 2m) x- 800 -80m. ∵ 最大利润为 392 元, ∴ 4×( -2)( -800-80m) -(100+2m) 2 4×( -2) = 392, 整理得 m2 -60m+116 = 0, (m-2)(m-58)= 0, 解得 m1 = 2,m2 = 58, 当 m= 58 时,w= -2x2 +216x-5440,x= - b 2a = 54, ∴ 每盒糖果的利润为 54 - 10 - 58 = - 14 ( 元),不合题意 舍去. 当 m= 2 时,w= -2x2 +104x-960,x= - b 2a = 26, ∴ 每盒糖果的利润为 26-10-2 = 14(元),∴ m= 2. 4. A 5.解:(1)由题意得,CD=HG=AB= x m,EF=BG= 5 m, ∴ GC= 90-3x-2×5 = (80-3x)m, ∴ x(80-3x)= 125,∴ x1 = 25,x2 = 5 3 , ∵ BC= 80-3x+5≤25, ∴ x≥20,∴ x= 25,即 CD 的长为 25 m; (2)设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S = BC·CD = x(80-3x+ 5)= -3(x- 85 6 ) 2 + 7225 12 , ∵ -3<0,x≥20,∴ 抛物线开口向下, ∴ 当 x> 85 6 时,S 随 x 的增大而减小, 当 x= 20 时,S 取得最大值,最大值为-3×(20- 85 6 ) 2 + 7225 12 = 500, ∴ 当 CD 的长为 20 m 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面 积是 500 m2 . 6. 35 3 　 【解析】如解图,以 O 为坐标原点,OM 为 x 轴正半轴, OP 为 y 轴正半轴,建立平面直角坐标系,由题意可知,P (0, 7 4 ),B(5,4),设抛物线解析式为 y= a( x-5) 2 +4,将 P (0, 7 4 )代入,解得 a= - 9 100 ,∴ 抛物线的解析式为 y= - 9 100 (x-5) 2 +4,M 为抛物线与 x 轴的交点,即 y= - 9 100 (x-5) 2 + 4 = 0,解得 x1 = 35 3 ,x2 = - 5 3 (舍),∴ OM= 35 3 m. 第 6 题解图 7.解:(1)∵ AO= 17 m,∴ A(0,17) . 又 OC= 100 m,PD= 2 m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用(必考,常在解答题中涉及) 能力点通关 能力点 1　 能求含参表达式的参数 1. 已知对称轴 已知抛物线 y=ax2+bx 关于直线 x=2 对称,且经过点 A(3,3). 思维转化由抛物线 y=ax2 +bx 关于直线 x= 2 对称,可知- b 2a = 2,由抛物线经过点 A(3,3),可得 9a+3b= 3,联立方程组求解,则 a= 　 　 　 ,b= 　 　 　 . 2. 已知点坐标 已知抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)经过点 M( -2,c),则抛物线的对称轴为　 　 　 　 . 思维转化抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)经过点 M( -2,c),可得 c= 4a-2b+c,化简得 b = 2a,所以对 称轴为直线 x= - b 2a = 　 　 　 . 3. 已知点坐标 在平面直角坐标系中,设二次函数 y=ax2 -(a+1)x(a≠0) . 若 M(x1,y1),N(x2,y2 ) 为抛物线上两个不同的点. 当 x1 +x2 = 4 时,y1 = y2,则 a= 　 　 　 　 . 思维转化当 x1 +x2 = 4 时,y1 = y2,可知 M(x1,y1),N(x2,y2 )两点关于抛物线的对称轴对称,对称 轴为直线 x= - -(a+1) 2a =a+1 2a = x1 +x2 2 = 2,可得 a= 　 　 　 . 4. 已知点坐标 平面直角坐标系中,已知点 A(1,2),B(2,3),C(2,1),抛物线 y= ax2 +bx+1 恰好经 过 A,B,C 中的两点. 思维转化根据题意可知 B、C 两点的横坐标相同,可知抛物线 y = ax2 +bx+1 只能经过 A,C 两点 或 A、B 两点,把 A(1,2),C(2,1),代入 y= ax2 +bx+1 可得, a = -1, b= 2;{ 把 A(1,2),B(2,3),代入 y = ax2 +bx+1,解得 a = 0, b= 1,{ 不合题意,舍去. 综上所述,a= 　 　 　 ,b= 　 　 　 . 能力点 2　 解决函数公共点(交点)问题 5. 一个交点抛物线 y= x2 +2x+k 与 x 轴只有一个交点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 思维转化关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k= 0 的根的判别式的值　 　 　 0,即　 　 　 　 = 0,k 的 值为　 　 　 . 6. 有公共点 抛物线 y= x2 +2x+k 与直线 y= 1 有公共点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 思维转化关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=1 的根的判别式的值　 　 　 0.即　 　 　 　 　 　 ,则 k 的 取值范围是　 　 　 　 . 7. 两个交点 抛物线 y= x2 +2x-3 与直线 y =m 有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为 x1,x2 (x1 <x2) . 思维转化关于 x 的一元二次方程 x2 +2x-3-m= 0 的根的判别式的值　 　 　 0,即　 　 　 　 　 , 则 k 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 8. 没有交点 抛物线 y= 2x2 +x+a 与直线 y= -x+3 没有交点. 思维转化抛物线 y= 2x2 +x+a 与直线 y= -x+3 没有交点,即 2x2 +2x+a-3 = 0 无实数根,则 Δ = 4- 8(a-3) <0,故 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 54 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 1　 交点问题(10 年 4 考,常在解答题中涉及) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. [2024 合肥包河区月考]二次函数 y = ax2 +bx+ c (a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问 题. 第 1 题图 (1)写出方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根　 x=3　 ; (2)写出不等式 ax2 +bx+c<0 的解集　 x>3　 ; (3)当 x>2 时,y 随 x　 增大而减小　 ; (4)若方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数 根,直接写出 k 的取值范围　 k<2　 . 2. [2024 合肥新站区期末]若不等式 x2 +bx+c>m 的 解集为 x<-1 或 x>3,则 b 的值为 (　 A　 ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 3 3. [沪科九上 P34 第 9 题改编]若二次函数 y = x2 +2x -2m 的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 m 的 值为　 　 　 　 . 变式 3-1 在平面直角坐标系中,二次函数 y= m 3 x2 + mx+m2 -m(m 为常数)的图象经过(0,6),且 有最小值,则该二次函数的图象与 x 轴交点 的个数为 (　 　 　 ) A. 0 个　 　 B. 1 个　 　 C. 2 个　 　 D. 不确定 变式 3-2 [2024 达州]抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴 交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另 一个交点的横坐标小于 1,则下列结论正确 的是 (　 　 　 ) A. b+c>1 B. b= 2 C. b2 +4c<0 　 D. c<0 4. [2019 安徽 14 题 5 分]在平面直角坐标系中,垂 直于 x 轴的直线 l 分别与函数 y=x-a+1 和 y=x2 -2ax 的图象相交于P,Q两点.若平移直线 l,可以 使 P,Q 都在 x 轴的下方,则实数 a 的取值范围 是　 a<-1 或 a>1　 . 5. [2024 六安霍邱县一模]已知抛物线 y =mx2 +nx- m,其中 m 为实数. (1)若抛物线经过点(1,5),则 n= 　 5　 ; (2)该抛物线经过点 A(2,-m),已知点 B(1, -m),C( 2,2),若抛物线与线段 BC 有交 点,则 m 的取值范围为　 -2≤m<0　 . 类型 2　 与函数性质有关的问题(10 年 4 考,常 在填空和解答题中涉及) 6. 多解法 ∙∙∙ [2024 北京]在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y=ax2 -2a2x(a≠0) . (1)当 a= 1 时,求抛物线的顶点坐标; (2)已知 M(x1,y1 )和 N(x2,y2 )是抛物线上的 两点. 若对于 x1 = 3a,3≤x2≤4,都有 y1 <y2, 求 a 的取值范围. 解:(1)将 a=1 代入得 y=x2-2x=(x-1) 2-1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-1); (2)解法 1:由题得,y1 =a·(3a) 2-2a2·3a=3a3,y2 = ax22-2a2x2, ∵ y1<y2, ∴ y2-y1 =a(x22-2ax2-3a2)= a(x2-3a)(x2+a)>0, ①当 a>0 时,(x2-3a)(x2+a)>0, ∴ x2-3a>0, x2+a>0 { 或 x2-3a<0, x2+a<0, { 解得 x2>3a 或 x2<-a, ∵3≤x2≤4,∴3a<3 或-a>4, ∴ a<1 或 a<-4, ∵ a>0,∴0<a<1; ②当 a<0 时,(x2-3a)(x2+a)<0, ∴ x2-3a>0, x2+a<0 { 或 x2-3a<0, x2+a>0, { 解得 3a<x2<-a, ∵3≤x2≤4,∴ 3a<3, -a>4,{ 解得 a<-4, 综上,0<a<1 或 a<-4. 【更多解法见本册 P】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 7. 已知二次函数 y=x2-2kx+k-2 的图象过点(5,5). (1)求二次函数的表达式; (2)若点 P(a,n)和 Q(b,n+2)都在二次函数 的图象上,且 a<b 对于某一个实数 n,若 b- a 的最小值为 1,则 b-a 的最大值为多少? 解:(1)∵二次函数 y=x2-2kx+k-2的图象过点(5,5), ∴5=25-10k+k-2,∴ k=2, ∴二次函数的表达式为 y=x2-4x=(x-2) 2-4; (2)由(1)易得图象开口向上,对称轴为直线 x=2, ∵点 P(a,n)和 Q(b,n+2)都在二次函数的图象上, 且 a<b,b-a 的最小值为 1, ∴点 P(a,n)和 Q( b,n+2)在对称轴的右侧,此时 b-a=1,则 b=a+1, ∴ a2-4a=n①,(a+1) 2-4(a+1)= n+2②, ②-①得 a= 5 2 ,∴ b=a+1= 7 2 , ∴此时点 P( 5 2 ,n)和 Q( 7 2 ,n+2), 当点 P 是点( 5 2 ,n)的对称点时,则 b-a 的值最大, ∵对称轴为直线 x=2, ∴点( 5 2 ,n)的对称点为( 3 2 ,n), ∴此时 a= 3 2 ,∴ b-a 的最大值为 7 2 - 3 2 =2. 类型 3　 线段问题(含最值)(2021. 22,2019. 22) 8. [2024 辽宁]如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴相交于点 A,B,点 B 的坐标 为(3,0),若点 C(2,3)在抛物线上,则 AB 的长 为　 　 4　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,二次函数 y = 1 4 x2 - 3 2 x-4 的图象与 x 轴 交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交 于点 C. 连接 AC,BC. (1)∠ACB 的度数是　 90°　 ; (2)若点 M 是二次函数在第四象限内图象上 的一点,作 MQ∥y 轴交 BC 于点 Q,则 MQ 的长的最大值是　 　 4　 . 10. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 y=ax2 -3x+c 与 x 轴交于 A( -4,0),B 两点,与 y 轴交于点 C(0,4),P 在第二象限内的抛物 线上,PB 与 AC 交于点 Q,与 y 轴交于点 D. (1)求 a,c 的值; (2)求PQ BQ 的最大值. 第 10 题图 解:(1)由题意得 16a+12+c=0, c=4,{ 解得 a=-1, c=4;{ (2)PQ BQ 的最大值为 4 5 . 【详解见本册 P】 类型 4　 面积问题(含最值)(2023. 23,2016. 22) 11. 如图,二次函数 y = x2 -2x-3 的图象与 x 轴交 于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,直线 BC 与抛 物线的对称轴交于点 G,M 为抛物线的顶点. 则△MBC 的面积为　 3　 　 . 第 11 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 12. [2024 合肥四十一中模拟节选]如图,在平面直角 坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 y = -x2 +2x+ c 与 x 轴交于 A,B 两点,它的对称轴交抛物线 于点M,交 x 轴于点 N,过点M 作MD⊥y 轴于 点 D,连接 BD 交对称轴于点 E. 已知点 A 的 坐标为( -1,0) . (1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标; (2)求△DME 与△BNE 的面积之比. 第 12 题图 解:(1)将点 A(-1,0)代入 y=-x2+2x+c, ∴-(-1) 2+2×(-1)+c=0,解得 c=3, ∴抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4, ∴顶点坐标为(1,4); (2)令 y=0,得-x2+2x+3=0,解得 x1 =-1,x2 =3, ∴点 B(3,0), 由(1)得点 M(1,4),∵MD⊥y 轴,∴点 D(0,4), 设直线 BD 的表达式为 y=kx+b, 则 3k+b=0, b=4,{ 解得 k=- 4 3 , b=4, ì î í ïï ïï ∴直线 BD 的表达式为 y=- 4 3 x+4, ∵点 E 为对称轴和直线 BD 的交点,∴E(1, 8 3 ), 则 S△DME S△BNE = 1 2 DM·ME 1 2 BN·EN = 1×(4- 8 3 ) (3-1)× 8 3 = 1 4 . 13. [2024 合肥四十五中一模]如图,已知抛物线y= a(x-2) 2 +k 过点 A(0,-1)、B(m,- 1)、C(5, -6) . 连接 AB,P 是直线 AB 上方抛物线上的 动点. 过 P 作 y 轴的平行线交直线 AC 于 点 Q. (1)求 m,a,k 的值; (2)连接 PA、PB、QB,求四边形 APBQ 面积的 最大值. 第 13 题图 解:(1)由题意得 4a+k=-1, 9a+k=-6,{ 解得 a=-1, k=3,{ ∴抛物线的表达式为y=-(x-2) 2+3=-x2+4x-1, 当 y=-1 时,即-1=-x2+4x-1, 解得 x=0(舍去)或 4,即点 B(4,-1), ∴m=4,a=-1,k=3; (2)由点 A、C 的坐标得,直线 AC 的表达式为 y= -x -1, 设点 P(x,-x2+4x-1)、点 Q(x,-x-1), ∴S四边形APBQ = 1 2 AB·PQ= 1 2 ×4×(-x2+4x-1+x+1) = -2(x2-5x)= -2(x- 5 2 ) 2+25 2 , ∵-2<0,∴四边形 APBQ 面积有最大值, 当 x= 5 2 时,四边形 APBQ的面积最大,最大值为25 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84