3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 10　 二次函数的图象与性质(必考) 能力点通关 能力点 1　 看图象,写性质 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象,顶点坐标为( -1,4),请写出关于它的一些结论,如 a,b,c 的值与 0 的大小关系、对称轴、增减性、最值等,你还能想到哪些,请尽可能多的写出(不少于 5 条) . 看图象 写性质 能力点 2　 画草图,写性质 先根据下列抛物线的表达式写出一些结论,再在坐标系中画出草图,根据草图检验并补充你的结论 (每个抛物线不少于 5 条) . 观察表达式,画草图 写性质 (1)y= x2 +2x+1 (2)y= - 1 2 (x+2) 2 -1 (3)y=(x+1)(x+3) 63 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 考向 1　 图象上的点的坐标特征 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 若二次函数 y= (m+1) x2 -mx+m2 -2m-3 的图 象经过原点,则 m 的值必为 (　 C　 ) A. -1 或 3 B. -1 C. 3 D. -3 或 1 2. 已知 A(1,2)是抛物线 y = x2 +4x-m 上的一点, 点 A 与点 B 关于对称轴对称,则点 B 的坐标为 (　 C　 ) A. ( -2,2) B. ( -4,2) C. ( -5,2) D. ( -5,m) 考向 2　 对称轴的理解与计算(2024. 23,2023. 23,2021. 22) 3. 如图,二次函数 y = ax2 -2ax+1(a<0)的图象所 在坐标系的原点是 (　 B　 ) A. 点 O1 B. 点 O2 C. 点 O3 D. 点 O4 第 3 题图 　 　 第 6 题图 4. 若 A(a,m),B(b,m),P(a+b,n)是抛物线 y = x2 +2x+3 上不同三点,则 n 的值为 (　 A　 ) A. 3 B. 2 C. 6 D. 不确定 考向 3　 对称轴的应用(2023. 23,2022. 5,2021. 22) 考法 1　 与对称点有关的计算 5. 已知抛物线 y = x2 -2mx+5 经过(1,n)和(3,n) 两点,则 m 的值为 (　 C　 ) A. 4 B. -2 C. 2 D. 1 6. 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图所 示,其与 x 轴的一个交点坐标为( -3,0),对称 轴为直线 x= -1,则抛物线与 x 轴的另一个交 点坐标为　 (1,0) 　 . 考法 2　 增减性与大小比较 7. 关于二次函数 y = -(x-2) 2 +3,以下说法正确 的是 (　 C　 ) A. 当 x>-2 时,y 随 x 增大而减小 B. 当 x>-2 时,y 随 x 增大而增大 C. 当 x>2 时,y 随 x 增大而减小 D. 当 x>2 时,y 随 x 增大而增大 8. 点 A( -2,y1 ),B(0,y2 ),C(1,y3 )为二次函数 y = x2 -2x+1 的图象上的三点,则 y1,y2,y3 的大 小关系是 (　 B　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y3 <y2 <y1 C. y3 <y1 <y2 D. y1 <y3 <y2 9. 名师原创 已知抛物线 y= -x2 +2mx+m,当-2<x< 1 时,y 随 x 的增大而增大,则此抛物线的顶点 在 (　 A　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. [2024 合肥包河区期末]已知关于 x 的二次函数 y= ( x + 3) 2 - 4 的图象上有两点 A( x1,y1 ), B(x2,y2),x1 <x2,且 x1 +8 = -x2,则 y1 与 y2 的 大小关系是 (　 B　 ) A. y1 <y2 B. y1 >y2 C. y1 = y2 D. y1 +8 = -y2 11. 多解法 ∙∙∙ [沪科九上 P27 第 8 题改编]已知点 A( -2, m), B ( 2 , n), C ( 4, t) 都在抛物线 y = -(x-1) 2 + 5 上, 则 m, n, t 的 大 小 关 系 为　 m= t<n　 . 考法 3　 利用对称性计算最值 12. 已知 0≤x≤ 1 2 ,那么函数 y = -2x2 +8x-6 的最 大值是 (　 B　 ) A. -6　 　 B. -2. 5　 　 C. 2　 　 D. 无最大值 13. [2024 乐山]已知二次函数 y= x2 -2x( -1≤x≤t -1),当 x = - 1 时,函数取得最大值;当 x = 1 时,函数取得最小值,则 t 的取值范围是 (　 C　 ) A. 0<t≤2 B. 0<t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 考向 4　 二次函数图象与 a,b,c 的关系(2023. 9,2017. 9,2015. 10) 14. 如图所示,直线 l 为二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的 是 (　 C　 ) 第 14 题图 A. b 恒大于 0 B. a,b 同号 C. a,b 异号 D. 以上说法都不对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 分层作业本·安徽数学 　 第 三 章 函 　 数 15. [沪科九上 P35 第 7 题改编]抛物线 y = ax2 +bx+c (a≠0)的对称轴为直线 x = 1,给出下列结论: ①ac>0;②b2-4ac>0;③2a-b = 0; ④a-b+c = 0; ⑤4a-2b+c>0.其中正确的个数有 (　 A　 ) 第 15 题图 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 16. 名师原创 二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图 象经过点( - 2,- 1),( 4, -1),点 A( x1,y1 ), B(2-x1,y2)也在该函数的图象上,则 y1 与 y2 的大小关系为 (　 C　 ) A. y1≥y2 B. y1≤y2 C. y1 = y2 D. y1 >y2 17. [2024 合肥三十八中三模]已知二次函数 y1 = 2x2 +mx+n,y2 = 2nx2 +mx+1(m,n 为常数,n≠0) 的最小值分别为 p,q,下列说法正确的是 (　 A　 ) A. 若 p+q= 0,则 p= q= 0 B. 若 p-q= 0,则 p= q= 0 C. 若 p+q= 1,则 p= q= 0. 5 D. 若 p-q= 1,则 p= 1,q= 0 18. [2015 安徽 10 题改编]如图,一次函数 y1 = x 与 二次函数 y2 = ax2 +bx+c 图象相交于 P,Q 两 点,对于函数 y3 = ax2 +( b- 1) x+c,有下列结 论:①a+c>0;②b<1;③函数 y3 的图象与 x 轴 的两个交点都在其正半轴上. 其中正确结论 的个数是 (　 C　 ) 第 18 题图 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 19. 多解法 ∙∙∙ [2023 安徽 9 题 4 分]已知反比例函数y= k x (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y= -x+b 的图象如图所示,则函数 y= x2 -bx+k-1 的图象可能为 (　 A　 ) 第 19 题图 变式 19-1 分类讨论 [沪科九上 P49 第 8 题改编]函 数 y= kx2 -2 与 y= k x (k≠0)在同一平面直角 坐标系中的图象可能是 (　 　 　 ) 变式 19-2 [2024 合肥庐阳区二模]已知反比例函 数 y= k x (k≠0)与一次函数 y = -x+b 的图象 如图所示,则函数 y = kx2 +bx+k+2 的图象可 能为 (　 　 　 ) 变式 19-2 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 ∴ 正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围为 x> 3 或-3<x<0. 4.解:(1)把 B( -4,-2)代入 y= m x ,得 m= -4×( -2)= 8, ∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x , 把 A(n,4)代入 y= 8 x ,得 4n= 8, 解得 n= 2,∴ A(2,4), 把 A(2,4),B( -4,-2)代入 y= kx+b 得 4 = 2k+b, -2 = -4k+b,{ 解得 k= 1, b= 2,{ ∴ 一次函数的解析式为 y= x+2; (2)当 x= 0 时,y= 2,∴ 点 C(0,2), ∵ 点 D 与点 C 关于 x 轴对称, ∴ 点 D(0,-2),∴ CD= 4, ∴ S△ABD =S△BCD+S△ACD = 1 2 ×4×4+ 1 2 ×4×2 = 12; (3) -4≤x<0 或 x≥2. 5. B　 【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于 D,如解图. ∵ △ABC 为 等腰直角三角形,∠ACB = 90°,∴ AC = 2 2 AB = 2 ,∴ AB = 2,∴ BD=AD= CD = 1,∵ AB⊥x 轴,∴ A(1,2),∵ 点 A 在 反比例函数 y= k x (x>0)的图象上,∴ k= 1×2 = 2. 第 5 题解图 6. 10　 【解析】由题意可知点 A 和点 B 关于点 O 对称. ∵ 点 A 坐标为(6,m),点 B 的坐标为(n,- 8),∴ m = 8,∴ 点 A 的坐标为(6,8),则 OA = (6-0) 2 +(8-0) 2 = 10,∴ AB = 2OA= 20. ∵ ∠ACB= 90°,且点 O 为 AB 中点,∴ OC = 1 2 AB = 10. 7. (1)5;(2)10　 【解析】 ( 1) 把点 A( a,1) 代入 y = 1 5 x,得 1 5 a= 1,解得 a= 5,∴ k= 5×1 = 5;(2)由(1)知 A(5,1),又 ∵ AB⊥y 轴,四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC = 5,OB = 1,∴ OC=BC-OB= 5-1 = 4,OA2 =AB2 +OB2 = 52 +12 = 26,∴ OA2 -OC2 = 26-42 = 10. 8. C　 【解析】∵ 保证杠杆水平平衡的条件,∴ F1 ×L1 = F2 × L2 ,∵ 铁架台左侧钩码的个数与位置都不变,∴ F1 ×L1 为 常数,∴ 右侧力 F2 与力臂 L2 满足的函数关系是反比例函 数关系. 9. C 10. 4　 【解析】设反比例函数解析式为 v = k m ( k≠0,m> 0), ∵ 机器狗载重后总质量 m= 60 kg 时,它的最快移动速度 v= 6 m / s,∴ k = 60× 6 = 360,∴ 反比例函数解析式为 v = 360 m ,当 m= 90 kg 时,v = 360 90 = 4( m / s),∴ 当其载重后总 质量 m= 90 kg 时,它的最快移动速度 v= 4 m / s. 11. D　 【解析】∵ A( - 3,2) 在反比例函数 y = k x 的图象上, ∴ 2 = k -3 ,∴ k = - 6,∴ 反比例函数解析式为 y = - 6 x . 又 P(m,n)在反比例函数 y = k x 的图象上,∴ mn = - 6. ∵ P 到 x 轴的距离为 | n | ,∴ 当 | n | = 2 时,即 n = ±2 时,有 m = ±3. 又 P 到 x 轴距离大于 2,∴ -3<m<0 或 0<m<3. 12. y= 3 2 x-3　 【解析】∵ 正比例函数y= kx 与反比例函数y= 6 x 的图象有一个交点A(2,m),∴ 2m= 6,解得 m = 3,故 A (2,3),则 3 = 2k,解得 k= 3 2 ,故正比例函数表达式为 y = 3 2 x,∵ AB⊥x 轴于点 B,平移直线 y = kx,使其经过点 B, ∴ B(2,0),∴ 设平移后的表达式为 y= 3 2 x+b,则 0 = 3+b, 解得 b= -3,故直线 l 对应的函数表达式是 y= 3 2 x-3. 变式 12-1 B　 【解析】∵ 点 A(4,2)在函数 y = k x ( k> 0,x> 0)的图象上,∴ k= 4×2 = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y = 8 x . 设直线 OA 的解析式为 y= kx,∴ 4k = 2,∴ k = 1 2 ,∴ 直 线 OA 的解析式为 y = 1 2 x. 设向上平移 m 个单位得到直 线 BC,∴ B(0,m),直线 BC 的解析式为 y = 1 2 x+m,再设 C(a, 8 a )(a>0),∴ 8 a = 1 2 a+m. ∴ 8 a -m = 1 2 a. 如解图, 作 CH⊥y 轴于点 H,∴ CH=a,BH= 8 a -m= 1 2 a,BH2 +CH2 =BC2 ,∴ 1 4 a2 +a2 = 5,∴ a = 2(负值已舍去) . ∴ 4-m = 1, ∴ m= 3,∴ B(0,3) . 变式 12-1 题解图 变式 12-2 (1)y= - 4 x ;(2)x<-2　 【解析】 (1) ∵ 点 A( -1, m)在一次函数 y= -2x+2 的图象上,∴ m = -2×( -1) +2 = 4,∴ A( -1,4),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x ( x<0)的图象 上,∴ k= -4,∴ 反比例函数解析式为 y = - 4 x ;( 2) ∵ 点 B(n,2)在反比例函数 y= - 4 x 的图象上,∴ 2 = - 4 n ,解得 n = -2,∴ B( -2,2),∴ 不等式 k x <ax+b 的解集为 x<-2. 命题点 10　 二次函数的图象与性质 能力点 1 ①a<0;②b<0;③c> 0;④对称轴是直线 x = - 1;⑤当 x = - 1 时,y 有最大值 4;⑥b2 -4ac>0;⑦函数图象与 x 轴的另一个 交点的横坐标是 1;⑧当 x<-1 时,y 随 x 的增大而增大;⑨当 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小;⑩函数图象与 y 轴交于点(0, 3) 能力点 2 观察表达式,画草图 写性质 (1)y= x2 +2x+1 ①开口向上; ②对称轴为直 线 x = - 1; ③ 与 y 轴交于点 (0,1);④当 x= -1 时,y 有最 小值 0; ⑤当 x < - 1 时, y 随 x 的增大而减小;⑥当 x> - 1 时,y 随 x 的增大而增大;⑦Δ = 0,抛物线与 x 轴只有一个 交点 (2)y= - 1 2 (x+2) 2 -1 ①开口向下; ②顶点坐标为 ( - 2, - 1);③对称轴为直线 x= -2;④与 y 轴交于点( 0, -3);⑤当 x= -2 时,y 有最大 值-1;⑥当 x<-2 时,y 随 x 的 增大而增大;⑦当 x> - 2 时, y 随 x 的增大而减小;⑧Δ<0, 抛物线与 x 轴没有交点 (3)y= (x+1)(x+3) ①开口向上; ②顶点坐标为 ( - 2, - 1);③与 x 轴交于点 ( -1,0),( - 3,0);④与 y 轴 交于点(0,3);⑤对称轴为直 线 x= -2;⑥当 x = -2 时,y 有 最小值- 1;⑦当 x< - 2 时, y 随 x 的增大而减小;⑧当 x> -2 时,y 随 x 的增大而增大, ⑧Δ>0,抛物线与 x 轴有两个 交点. 1. C 2. C　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 +4x-m = ( x+2) 2 -m-4 的对称 轴为直线 x = - 2,点 A( 1,2) 与点 B 关于对称轴对称, ∴ B( -5,2) . 3. B　 【解析】∵ 二次函数 y= ax2 -2ax+1(a<0),∴ 对称轴为 直线 x= - -2a 2a = 1,∴ 点 O2 是原点. 4. A　 【解析】由抛物线 y= x2 +2x+3 的对称轴为直线 x = -1, 得 A(a,m),B(b,m)关于直线 x = -1 对称,故 a+b = -1×2 = -2,由 P(a+b,n)是抛物线 y = x2 + 2x+ 3 上的点,得 n = ( -2) 2 +2×( -2) +3 = 3. 5. C　 6. (1,0)　 7. C　 8. B　 9. A 10. B　 【解析】∵ y = ( x+3) 2 -4,∴ 抛物线开口向上,对称轴 为直线 x= - 3,∵ x1 <x2 ,且 x1 + 8 = -x2 ,∴ x1 +x2 = - 8,∴ x1 +x2 2 = -4,∵ - 4<- 3,∴ 点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离,∴ y1 >y2 . 11. m= t<n　 【解析】解法 1:抛物线 y = -(x-1) 2 +5 的开口 向下,对称轴为直线 x = 1,∴ 当图象上两点到对称轴距 离相同,则这两点的纵坐标相同,若两点到对称轴距离 不同,则距离越大,函数值越小. ∵ 4-1 = 3,1-( -2) = 3, ∴ 点 A,C 到直线 x = 1 的距离相同,∴ m = t,∵ 2 -1<3, ∴ m<n,∴ m= t<n. 解法 2 思路:代值计算. 将 A( -2,m),B( 2 ,n),C(4,t) 分别代入 y= -(x-1) 2 +5 中,比较大小即可. 12. B　 【解析】∵ y= -2x2 +8x-6,∴ 抛物线的对称轴是直线 x = - 8 2×( -2) = 2,而-2<0,∴ 当 x<2 时,函数 y 的值随 x 的 增大而增大,∵ 0≤x≤ 1 2 ,当 x = 1 2 时,函数值最大,最大 值为-2. 5. 13. C　 【解析】∵ y = x2 -2x = ( x-1) 2 -1,∴ 抛物线的对称轴 为直线 x= 1,且顶点坐标为(1,- 1) . ∵ 1-( - 1) = 3- 1, ∴ x= -1 和 x= 3 时的函数值相等. ∵ -1≤x≤t-1,当 x = -1 时,函数取得最大值,∴ t-1≤3,又∵ 当 x = 1 时,函数 取得最小值,∴ t-1≥1,∴ 1≤t-1≤3,解得 2≤t≤4. 14. C 15. A　 【解析】①∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线 x = 1,与 y 轴交于正半轴,∴ a<0,- b 2a = 1,c>0,∴ b= -2a>0,∴ ac< 0,结论①错误;②∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ Δ = b2 - 4ac>0,结论②正确;③由①得 b = -2a,∴ 2a-b = 4a<0,结 论③错误;④∵ 抛物线对称轴为直线 x= 1,当 x = 3 或 x = -1 时,y= 0,∴ x= -1 时,y = a-b+c = 0,结论④正确;⑤∵ 抛物线对称轴为直线 x = 1,当 x = 3 或 x = -1 时,y = 0,∴ 当 x= -2 时,y<0,即 4a-2b+c<0,结论⑤错误. 综上所述, 正确的结论有②④. 16. C　 【解析】∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过点( -2, -1),(4,-1),∴ 对称轴为直线 x = -2+4 2 = 1,∵ x1 +2-x1 2 = 1,∴ 点 A 和点 B 关于对称轴对称,∴ y1 = y2 . 17. A　 【解析】由两函数表达式可知,函数 y1 的对称轴为 x = - m 4 ,函数 y2 的对称轴为直线 x= - m 4n ,∵ 二次函数 y1 = 2x2 +mx+n,y2 = 2nx2 +mx+1(m,n 为常数,n≠0)的最小值 分别为 p,q,∴ 两函数图象均开口向上,两函数均在对称 轴上取到最小值,则有 p = 8n-m2 8 = n- m2 8 ,q = 8n-m2 8n = 1- m2 8n ,若 p+q= 0,则有 n- m2 8 +1- m2 8n = 0,解得 8n =m2 或 n = -1(舍去),将 m2 = 8n 代入 p,q,∴ p = q = 0. 故选项 A 正 确,同理可得选项 B,C,D 不正确. 18. C　 【解析】∵ 当 x= 1 时,y=a+b+c>0,∴ a+c>-b>0,①符 合题意;∵ 抛物线 y2 开口向上,∴ a>0. ∵ 抛物线 y2 的对 称轴为直线 x= - b 2a >0,∴ b<0,②不符合题意;将 y1 = x 代 入 y2 =ax2 +bx+c 中,整理得 ax2 +(b-1) x+c = 0,观察图象 可知,该方程有两个不相等的解,分别为点 P、Q 的横坐 标,∴ 函数 y3 =ax2 +(b-1)x+c 的图象与 x 轴的两个交点 都在其正半轴上,③符合题意. 综上所述,正确结论的个 数有 2 个. 19. A　 【解析】解法 1:令 x= 1 得 y= k= b-1,∴ b = k+1,由题 图知 k>1,则 b>2,k-1>0,排除 B,C 选项;当 x= 1 时,y = 1-b+k-1 = k-b<0,排除 D 选项,故选 A. 解法 2:由题图可知( 1,k) 在 y = 1 上方,∴ k> 1. 联立 y= k x , y= -x+b, { 得 x2 -bx+k = 0,由题图可知方程的解为 x = 1 或 x= b-1,可看作函数 y= x2 -bx+k 的图象与 x 轴的交点 横坐标,如解图,函数 y= x2 -bx+k-1 的图象可由函数 y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 x2 -bx+k 的图象向下平移 1 个单位长度得到,∵ k>1,∴ 抛物线 y= x2 -bx+k-1 交 y 轴于正半轴,且在 0<x<1 与 x 轴有交点,故选 A. 第 19 题解图 变式 19-1 C　 【解析】分两种情况讨论:①当 k>0 时,反比 例函数 y= k x (k≠0)图象在第一、三象限,而二次函数 y= kx2 -2 图象开口向上,与 y 轴交点坐标为(0,-2),选项都 不符合;②当 k<0 时,反比例函数 y = k x ( k≠0)图象在第 二、四象限,而二次函数 y = kx2 - 2 开口向下,与 y 轴交点 坐标为(0,-2),选项 C 符合. 变式 19-2 A　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x ( k≠0) 的图象 在第二、四象限,∴ k<0,∵ 一次函数 y = -x+b 的图象与 y 轴交于正半轴,∴ b>0,∴ 二次函数 y= kx2 +bx+k+2 的对称 轴为直线 x= - b 2k > 0,对于反比例函数 y = k x ( k≠0),当 x= - 1 2 时,y= -2k,对于一次函数 y = -x+b,当 x = - 1 2 时, y= 1 2 +b,又∵ 反比例函数 y= k x (k≠0)与一次函数 y= -x +b 的图象一个交点的横坐标为- 1 2 ,∴ -2k = 1 2 +b,∴ b = -2k- 1 2 ,∴ - b 2k = 2k+ 1 2 2k = 1+ 1 4k ,∵ k<0,∴ 1+ 1 4k <1,∴ 0< - b 2k <1,即抛物线 y= kx2 +bx+k+2 的对称轴在 0~ 1 之间. 命题点 11　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 1. A　 【解析】∵ 抛物线的顶点坐标为(1,2023),∴ 抛物线的 解析式为 y=a(x-1) 2 +2023,∵ 抛物线 y = a( x-1) 2 +2023 与二次函数 y= -5x2 的图象的开口大小相同,开口方向相 反,∴ a= 5,∴ 抛物线的解析式为 y= 5(x-1) 2 +2023. 2. (1)y= -(x-1) 2 +4;(2)y= x2 -2x-3;(3)y= x2 +x-3; (4)y= 1 2 (x-1) 2 +4;(5)y= x2 +2x-3;(6)y= -x2 +4x 【解析】(1)设抛物线的解析式为 y=a( x-1) 2 +4,将点(0, 3)代入上式,得 3 =a(0-1) 2 +4,解得 a= -1,故抛物线的解 析式为 y= -(x-1) 2 +4;(2)设抛物线的解析式为 y = ( x- 3)(x+1)= x2 -2x-3;(3)∵ 抛物线 y = x2 +x+c 与 y 轴的交 点坐标为(0,-3),∴ c = -3,∴ 抛物线解析式为 y = x2 +x- 3;(4)由题意得二次函数图象的对称轴为直线 x = 1,顶点 坐标为(1,4),设二次函数的解析式为 y = a( x-1) 2 +4,将 点(3,6)代入上式,得 6 =a(3-1) 2 +4,解得 a = 1 2 ,故二次 函数的解析式为 y= 1 2 (x-1) 2 +4;(5)由题意可得二次函 数的顶点坐标为( -1,-4),设二次函数的解析式为 y=a( x +1) 2 -4,把点(0,-3)代入 y = a( x+1) 2 -4,得-3 = a-4,解 得 a= 1,∴ 抛物线解析式为 y= (x+1) 2 -4,即 y= x2 +2x-3; (6)当 x= 2 时,y= 2x = 4,故点 M(2,4),设抛物线的解析 式为 y=a(x-2) 2 +4,将点(0,0)代入上式,得 0 = a(0-2) 2 +4,解得 a= -1,故抛物线的解析式为 y= -x2 +4x. 3. C 变式 3-1 B　 【解析】 y = x2 + 4x = ( x+ 2) 2 - 4,顶点坐标是 ( -2,-4) . y= x2 -4x= (x- 2) 2 - 4,顶点坐标是(2,- 4) . ∴ 将抛物线 y = x2 +4x 向右平移 4 个单位得到抛物线 y = x2 -4x. 变式 3-2 C　 【解析】∵ 平移二次函数的图象 y = x2 ,使其顶 点落在第二象限,且顶点到 x 轴的距离为 2,到 y 轴的距 离为 3,∴ 平移后二次函数的顶点坐标为( - 3,2) ∴ 平移 后二次函数的解析式为 y= (x+3) 2 +2. 变式 3-3 A　 【解析】∵ 抛物线 y= (x+2) 2 -1 的顶点坐标是 ( -2,-1),∴ 向左平移 h 个单位,再向下平移 k 个单位后 的坐标为( -2-h,-1-k),∴ 平移后抛物线的解析式为 y = (x+2+h) 2 -k- 1. 又∵ 平移后抛物线的解析式为 y = ( x+ 3) 2 -4. ∴ 2+h= 3,-k-1 = -4,∴ h= 1,k= 3. 4. D 5. A　 【解析】 y = - ( x + 1) 2 向右平移 1 个单位长度,得 y= -(x+1-1) 2 = -x2 ,当 x= 0 时,y= 0,所以经过坐标原点, 故①是正确的;y= -(x+1) 2 向右平移 3 个单位长度,再向 上平移 4 个单位长度,得 y= -(x+1-3) 2 +4 = -( x-2) 2 +4, 当 x= 0 时,y= 0,所以经过坐标原点,故②是正确的;y = -(x+1) 2 向上平移 1 个单位长度,得 y = -( x+1) 2 +1,当 x = 0 时,y= 0,所以经过坐标原点,故③是正确的;y = -( x+ 1) 2 沿 x 轴翻折,再向下平移 1 个单位长度,得 y = ( x+1) 2 -1,当 x= 0 时,y = 0,所以经过坐标原点,故④是正确的; ∴ 这 4 种方法中正确的个数有 4 个. 6. (1,-3)　 【解析】解法 1:∵ y = x2 +2x-1 = (x+1) 2 -2,∴ 顶 点坐标为( - 1, - 2),绕原点旋转 180°,此时顶点坐标为 (1,2),再向下平移 5 个单位,所得到的新抛物线的顶点 坐标为(1,-3) . 解法 2:将抛物线 y = x2 +2x-1 绕原点旋转 180°后所得抛 物线为-y= ( -x) 2 +2( -x) -1,即 y = -x2 +2x+1,再将抛物 线 y= -x2 +2x+1 向下平移 5 个单位得 y = -x2 + 2x+ 1- 5 = -x2 +2x-4 = -(x-1) 2 -3,∴ 所得到的新抛物线的顶点坐标 是(1,-3) . 7. y= x2 +2x-3,y= -x2 -2x+3　 【解析】∵ 沿 y 轴翻折后,所得 的抛物线与原抛物线关于 y 轴对称,∴ 沿 y 轴翻折后所得 的抛物线解析式为 y = x2 +2x-3. ∵ 再沿 x 轴翻折,所得的 抛物线与抛物线 y = x2 -2x-3 关于 x 轴对称,∴ 沿 x 轴翻 折所得的新抛物线解析式为 y= -x2 -2x+3. 8.解:(1)将点( -1,m)代入抛物线 y= x2 +(a+1)x+a, 得( -1) 2 +(a+1) ×( -1) +a=m,解得 m= 0; (2)将抛物线 y= x2 +(a+1)x+a 向上平移 2 个单位得抛物 线 y= x2 +(a+1)x+a+2,∴ y= (x+ a+1 2 ) 2 - 1 4 (a-1) 2 +2, ∴ 所得抛物线顶点的纵坐标为- 1 4 (a-1) 2 +2, ∵ - 1 4 <0,∴ 纵坐标的最大值为 2. 变式 8-1 (1)在;(2) -3　 【解析】(1)当 x= 1 时,y= -12 +(1 -1)a+1 = 0,∴ 点(1,0)在二次函数的图象上;(2) y = -x2 +(x - 1) a + x = - x2 + ( a + 1 ) x - a, ∴ 顶点纵坐标为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41