2.5 分式方程的解法及其应用-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·安徽数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程的解法及其应用(2016. 5) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 分式方程及其解法(2016. 5) 1.将分式方程 3 x-2 + 2x x-2 =1 去分母后,得 (　 D　 ) A. 3(x-2) +2x(x-2)= 1 B. 3(x-2) +2x(x-2)= x-2 C. 3+2x= 1 D. 3+2x= x-2 2. 名师原创 若分式方程 x-1 x+2 = m x 化为整式方程的 解是 x=a,下列能确认 x=a 一定是原分式方程 的解的方法是 (　 D　 ) A. 将 x=a 代入 x-1 中,x-1≠0 B. 将 x=a 代入 x+2 中,x+2≠0 C. 将 x=a 代入 x 中,x≠0 D. 将 x=a 代入 x(x+2)中,x(x+2)≠0 3. [2016 安徽 5 题 4 分]方程 2x+1 x-1 = 3 的解是 (　 D　 ) A. - 4 5 B. 4 5 C. -4 D. 4 4. [2024 合肥模拟]若代数式 1 x-2 和 3 x 的值互为相 反数,则 x 等于 (　 B　 ) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 2 3 5. [2024 合肥瑶海区三模]解方程: 3+x 2-x - 1 x-2 = 1. 解:方程两边乘(x-2),得-3-x-1=x-2, 解得 x=-1, 检验:当 x=-1 时,x-2≠0, ∴分式方程的解为 x=-1. 考向 2　 分式方程解的应用 6. [2024 合肥瑶海区月考]已知关于 x 的分式方程 m x-1 = 1 的解是非负数,则 m 的取值范围是 (　 C　 ) A. m≥1 B. m≤1 C. m≥-1 且 m≠0 D. m≥-1 7. [2024 六安期末]若关于 x 的分式方程 x-1 x+1 = a x+1 -2 有增根,则 a 的值是 (　 A　 ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 8. 若关于 x 的分式方程 a x-1 +1 = - 2 x-1 无解,则 a 的值为 (　 D　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. -2 考向 3　 分式方程的实际应用 9. [2024 铜陵期末]数学家斐波那契编写的《算经》 中有如下问题:一组人平分 10 元钱,每人分得 若干;若再加上 6 人,平分 40 元钱,则第二次每 人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数, 设第一次分钱的人数为 x 人,则可列方程 (　 C　 ) A. 10 x = 40 x-6 B. 40 x = 10 x-6 C. 10 x = 40 x+6 D. 10x= 40(x+6) 10. “某学校改造过程中整修门口 1500 m 的道 路,但是在实际施工时,…,求实际每天整修 道路多少米?”在这个题目中,若设实际每天 整修道路 x m,可得方程1500 x-5 -1500 x = 10,则题 目中用“…”表示的条件应是 (　 B　 ) A. 每天比原计划多修 5 m,结果延期 10 天 完成 B. 每天比原计划多修 5 m,结果提前 10 天 完成 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 分层作业本·安徽数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ C. 每天比原计划少修 5 m,结果延期 10 天 完成 D. 每天比原计划少修 5 m,结果提前 10 天 完成 11. [2024 泰安]随着快递行业的快速发展,全国 各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农 产品加工企业有甲、乙两个组共 35 名工人. 甲组每天加工 3000 件农产品,乙组每天加工 2700 件农产品,已知乙组每人每天平均加工 的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产 品数量的 1. 2 倍,求甲、乙两组各有多少名工 人? 解:设甲组有 x 名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得 2700 35-x =3000 x ×1. 2,解得 x=20, 经检验,x=20 是所列方程的解,且符合题意, ∴35-x=35-20=15. 答:甲组有 20 名工人,乙组有 15 名工人. 12. 新定义 对于实数 a,b,定义一种新运算“ ⊗” 为:a􀱋b= 1 a-b2 ,这里等式右边是实数运算. 例 如:1􀱋3 = 1 1-32 = - 1 8 . 则方程 x􀱋( -2)= 2 x-4 - 1 的解是 (　 A　 ) A. x= 5 B. x= 6 C. x= 7 D. x= 8 13. 已知关于 x 的分式方程 3x x-2 = m 2-x +1. (1)若此方程的解为 1,则 m= 　 -4　 ; (2)若此方程的解为正数,则 m 的取值范围 为　 m<-2 且 m≠-6　 . 14. “雪湖贡藕”是潜山有名的特产. 据说,明朝开 国皇帝朱元璋曾品尝过雪湖藕,连声赞好,登 基后,令每年农历八月初一开湖,采第一批藕 送京为贡,故有“雪湖贡藕” (以下简称“贡 藕”) 之 称. 随 着 贡 藕 的 上 市, 某 网 店 用 2000 元购进了一批贡藕,过了一段时间又用 5000 元购进了第二批,所购数量是第一批数 量的2 倍,但每千克贡藕的进价比第一批的进 价贵了 5 元. (1)该店第一批购进的贡藕有多少千克? (2)若该店两次购进的贡藕按相同的价格销 售,全部售完后总利润不低于 2000 元,则 每千克贡藕的售价至少是多少元? 解:(1)设该店第一批购进的贡藕有 x 千克,则第二 批购进的贡藕有 2x 千克, 根据题意,得2000 x =5000 2x -5, 解得 x=100, 经检验,x=100 是原方程的解, 答:该店第一批购进的贡藕有 100 千克; (2)设每千克贡藕的售价是 y 元, 根据题意,得(100+100×2)y-2000-5000≥2000, 解得 y≥30, 答:每千克贡藕的售价至少是 30 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 7. A　 【解析】∵ 长方形铁皮的长为 10 cm,宽为 8 cm,且在它 的四个角上剪去边长为 x cm 的正方形,∴ 做成无盖的长 方体盒子的底面是长为(10-2x) cm,宽为(8-2x) cm 的长 方形. 根据题意得(10-2x)(8-2x)= 24,整理得 x2 -9x+14 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 7(不符合题意,舍去),∴ x 的值为 2. 8.解:(1)设前三季度生产量的平均增长率为 x, 依题意得 200(1+x) 2 = 288, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . 答:前三季度生产量的平均增长率为 20%; (2)①设应该增加 m 条生产线,则每条生产线的最大产能 为(600-20m)万个 /季度, 依题意得(1+m)(600-20m)= 2600, 整理得 m2 -29m+100 = 0, 解得 m1 = 4,m2 = 25, 又∵ 在增加产能的同时又要节省投入成本, ∴ m= 4. 答:应该增加 4 条生产线; ②不能,理由如下: 设增加 a 条生产线,则每条生产线的最大产能为( 600 - 20a)万个 /季度, 依题意得(1+a)(600-20a)= 4820, 整理得 a2 -29a+211 = 0. ∵ b2 -4ac= ( -29) 2 -4×1×211 = -3<0, ∴ 该方程无实数根. ∴ 不能增加生产线,使得每季度生产内存芯片 4820 万个. 命题点 5　 分式方程的解法及其应用 1. D　 2. D　 3. D 4. B　 【解析】根据题意,得 1 x-2 + 3 x = 0,去分母,得 x+ 3( x- 2)= 0,解得 x= 3 2 ,检验:当 x= 3 2 时,x( x-2) ≠0,∴ 分式 方程的解为 x= 3 2 . 5.解:方程两边乘(x-2),得-3-x-1 = x-2, 解得 x= -1, 检验:当 x= -1 时,x-2≠0, ∴ 分式方程的解为 x= -1. 6. C　 【解析】分式方程去分母,得 m = x-1,即 x =m+1,由分 式方程的解为非负数,得 m+1≥0,且 m+ 1≠1,解得 m≥ -1 且 m≠0. 7. A　 【解析】关于 x 的分式方程 x-1 x+1 = a x+1 -2,去分母,得 x- 1 =a-2(x+1),解得 x= a-1 3 ,又∵ 关于 x 的分式方程 x-1 x+1 = a x+1 -2 有增根,即增根为 x= -1,∴ a-1 3 = -1,∴ a= -2. 8. D　 【解析】 a x-1 +1 = - 2 x-1 ,a+x-1 = -2,x= -2+1-a,x = -1- a,∵ 关于 x 的分式方程 a x-1 +1 = - 2 x-1 无解,∴ x- 1 = 0,即 -1-a-1 = 0,-2-a= 0,解得 a= -2. 9. C　 【解析】设第一次分钱的人数为 x,则第二次分钱的人 数为 x+6,依题意得 10 x = 40 x+6 . 10. B　 【解析】∵ 方程 1500 x-5 -1500 x = 10,其中 1500 x-5 表示原计划 施工所需时间, 1500 x 表示实际施工所需时间. ∵ 实际每天 整修道路 x m,∴ (x-5) m 表示实际施工时,每天比原计 划多修 5 m. 原方程所选用的等量关系为实际施工比原 计划提前 10 天完成. 11. 解:设甲组有 x 名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得 2700 35-x = 3000 x ×1. 2, 解得 x= 20, 经检验,x= 20 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 35-x= 35-20 = 15. 答:甲组有 20 名工人,乙组有 15 名工人. 12. A　 【解析】根据题意,得 1 x-4 = 2 x-4 -1,去分母,得 1 = 2- (x-4),解得 x= 5,经检验 x= 5 是分式方程的解. 13. (1) -4;(2)m<-2 且 m≠-6　 【解析】(1)将 x= 1 代入原 方程得 3×1 1-2 = m 2-1 +1,解得 m = -4,∴ m 的值为-4;(2)解 分式方程 3x x-2 = m 2-x +1,得 x= - m+2 2 ,又∵ 此方程的解为正 数,∴ - m+2 2 >0,解得 m<- 2. ∴ x≠2 时,- m+2 2 ≠2,解得 m≠-6,∴ m 的取值范围为 m<-2 且 m≠-6. 14.解:(1)设该店第一批购进的贡藕有 x 千克,则第二批购 进的贡藕有 2x 千克, 根据题意,得 2000 x = 5000 2x -5, 解得 x= 100, 经检验,x= 100 是原方程的解, 答:该店第一批购进的贡藕有 100 千克; (2)设每千克贡藕的售价是 y 元, 根据题意,得(100+100×2)y-2000-5000≥2000, 解得 y≥30, 答:每千克贡藕的售价至少是 30 元. 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法 及其应用 1. A　 2. C　 3. A 4. B　 【解析】6-2x≥3x-4,移项,得-2x-3x≥-4-6,合并同 类项,得-5x≥-10,系数化为 1,得 x≤2,∴ 该不等式的正 整数解为 1,2,共计 2 个. 5. B　 【解析】不等式 3x-2(m-1) >2mx-1 变形为(3-2m) x> -(3-2m),∵ 关于 x 的不等式 3x-2(m-1) >2mx-1 的解集 是 x<-1,∴ 3-2m<0,解得 m> 3 2 . 6.解: x-1 3 -1>0, 去分母,得 x-1-3>0, 移项及合并同类项,得 x>4, ∴ 该不等式的解集为 x>4. 7.解: 2x-1 3 ≥-1①, 5-2x>2-x②, { 解不等式①得 x≥-1, 解不等式②得 x<3, ∴ 不等式组的解集为-1≤x<3. 8.解:解不等式①,得 x>-2, 解不等式②,得 x>-3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5