1.4 规律探索&1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·安徽数学 　 第 一 章 数 与 式 命题点 4　 规律探索(必考) (规律探索每年必考,基本固定在 18 题,从 2020 年起数式规律探索与图形规律探索轮换考查) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1. [2024 合肥庐阳区期末]在一列数:a1,a2,a3,…, an 中,a1 = 7,a2 = 1,从第三个数开始,每一个数 都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列 数中的第 2024 个数是 (　 A　 ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 2. [2024 合肥庐江县月考]如图是一组有规律的图 案,它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正 方形组成的,按照这样的规律,若组成的图案 中有 2025 个灰色小正方形,则这个图案是 (　 B　 ) 第 2 题图 A. 第 505 个 B. 第 506 个 C. 第 507 个 D. 第 508 个 3. 名师原创 观察下列等式: 第 1 个等式:(2 1 2 ) 2 = (1 1 2 ) 2 +4, 第 2 个等式:(3 1 3 ) 2 = (2 2 3 ) 2 +4, 第 3 个等式:(4 1 4 ) 2 = (3 3 4 ) 2 +4, 第 4 个等式:(5 1 5 ) 2 = (4 4 5 ) 2 +4, … 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第 5 个等式: 　 ; (2)请写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式 子表示),并证明. 解:(1)(6 1 6 ) 2 =(5 5 6 ) 2+4; (2)第 n 个等式:(n+1+ 1 n+1 ) 2 =(n+ n n+1 ) 2+4; 证明略. 4. 学科融合 [2024 合肥新站区二模]合肥近几年城 市发展迅速,交通便利,2024 年计划再筑公路 533 公里,深入推进“1155” 大交通计划. 修路 的主要材料之一是沥青,沥青中含稠环芳香 烃,其中苯环个数为偶数的可视为同系物. 最 简单的稠环芳香烃是萘,它的分子结构图与结 构简图如下: 第 4 题图 【观察思考】观察结构简图的分子式回答下列 问题: 【规律发现】 (1)图(4)的分子式中含　 28　 　 个 C 原子; (2)图(n)的分子式中含　 　 　 　 个 C 原子; 【规律运用】 (3)若图(m) 和图(m+ 1) 的分子式中共含有 242 个 C 原子,求 m 的值. 解:(1)28; (2)(6n+4); (3)由题知 6m+4+6(m+1)+4=242, 解得 m=19,∴m 的值为 19. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 分层作业本·安徽数学 　 第 一 章 数 与 式 5. 某班数学小组在研究个位数字为 5 的两位数 的平方的规律时,得到了下列等式: 第 1 个等式:152 = 15×15 = 225; 第 2 个等式:252 = 25×25 = 625; 第 3 个等式:352 = 35×35 = 1225; … 假设个位数字是 5 的两位数的十位数字为 a,则这个两位数可以表示为 10a+5,这个两 位数的平方为(10a+5) 2 = 　 ①　 ,由此可知 个位数字是 5 的两位数平方后末尾的两个数 是　 ②　 　 . (1)补全上面数学小组的解答过程: ①　 100a2+100a+25　 ; ②　 25　 　 　 　 　 　 ; (2)数学小组继续探究发现,个位数字是 5 的 两位数平方后,除了末尾两个数有规律外, 其他数位上的数也有规律,并且与原两位 数的十位数字有关. (i)填空:652 = 65×65 = 　 4225　 = 　 (6× 7)×100+25 　 ; (ii)已知 1≤n≤9 且 n 为整数,猜想第 n 个 等式(用含 n 的等式表示),并证明. 解:(1)①100a2+100a+25;②25; (2)( i)4225;(6×7)×100+25; ( ii)(10n+5) 2 =100n(n+1)+25(1≤n≤9,且 n 为整 数), 证明:(10n+5) 2 =100n2+100n+25 =100(n2+n)+25 =100n(n+1)+25, ∴猜想的等式正确. 6. [2023 安徽 18 题 8 分]【观察思考】 第 6 题图 【规律发现】 请用含 n 的式子填空: (1)第 n 个图案中“ ”的个数为　 3n　 ; (2)第 1 个图案中“ ”的个数可表示为1 ×2 2 ,第 2 个图案中“ ”的个数可表示为2 ×3 2 ,第 3 个图 案中“ ”的个数可表示为3 ×4 2 ,第 4 个图案中 “ ”的个数可表示为4 ×5 2 ,…,第 n 个图案中 “ ”的个数可表示为　 　 　 　 ; 【规律应用】 (3)结合图案中“ ”的排列方式及上述规律,求 正整数 n,使得连续的正整数之和 1 + 2 + 3+…+n 等于第 n 个图案中“ ”的个数的 2 倍. 解:(1)3n; (2)n(n +1) 2 ; (3)由题意得n(n +1) 2 =2×3n,解得 n= 11 或 n= 0(不 符合题意), ∴n=11. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 分层作业本·安徽数学 　 第 一 章 数 与 式 7. 项目式探究 [2024 安徽 19 题 8 分]数学兴趣小组 开展探究活动,研究了“正整数 N 能否表示为 x2 -y2(x,y 均为自然数)”的问题. (1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信 息如下(n 为正整数): N 奇数 4 的倍数 表示结果 1 = 12 -02 3 = 22 -12 5 = 32 -22 7 = 42 -32 9 = 52 -42 … 4 = 22 -02 8 = 32 -12 12 = 42 -22 16 = 52 -32 20 = 62 -42 … 一般结论 2n-1 =n2 - (n-1) 2 4n= 　 (n+1) 2-　 　(n-1) 2 　 按上表规律,完成下列问题: (ⅰ)24 = (　 7　 ) 2 -(　 5　 ) 2; (ⅱ)4n= 　 (n+1) 2-(n-1) 2 　 ; (2)兴趣小组还猜测:像 2,6,10,14,…这些形 如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能表 示为 x2 -y2(x,y 均为自然数) . 师生一起研 讨,分析过程如下: 假设 4n-2 = x2 -y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x = 2k,y = 2m,其中 k, m 均为自然数,则 x2 - y2 = (2k) 2 -(2m) 2 = 4(k2 -m2)为 4 的倍数. 而 4n-2 不是 4 的倍 数,矛盾. 故 x,y 不可能均为偶数. ②若 x,y 均为奇数,设 x= 2k+1,y = 2m+1,其 中 k,m 均为自然数,则 x2 -y2 =(2k+1) 2 -(2m +1) 2 = 　 4(k2-m2+k-m) 　 为 4 的倍数. 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾. 故 x,y 不可能均 为奇数. ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2 -y2 为奇数. 而 4n-2 是偶数,矛盾. 故 x,y 不可能 一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知,猜测正确. 阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺 内容. 8. [2024 合肥三十八中三模]【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家 5A 级景区三河古镇 风景区的一个著名景点,其墙体是由方砖按照 一定规律组合砌成的,如图①. 图① 　 图② 图③ 　 图④ 第 8 题图 如图②是一层墙体,当中竖放一块方砖,就横 放 6 块方砖(如图③);当中竖放 2 块方砖,就 横放 9 块方砖(如图④);以此类推. 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有 n(n 为正整数) 块,则 (1)横放方砖的块数为　 3n+3　 (用含 n 的代 数式表示); (2)当竖放的方砖为 1 时,墙体的长度为 0. 3× 2+0. 1;当竖放的方砖为 2 时,墙体的长度 为 0. 3×3+0. 1×2;当竖放的方砖为 3 时,墙 体的长度为 0. 3×4+0. 1×3;…当竖放的方 砖为 n 时,墙体的长度为　 0. 4n+0. 3　 ; 【规律应用】 (3)已知横放的方砖长为 30 cm,竖放方砖的宽 为 10 cm,需要砌一段长为 42. 3 m 的一层 墙体,若按照图中规律需要方砖多少块? 解:(1)3n+3; (2)0. 4n+0. 3; (3)当 0. 4n+0. 3=42. 3 时,解得 n=105, ∴竖放的方砖总数为 105,横放的方砖总数为 3n+3 = 3×105+3=318, ∴方砖的总数为 105+318=423(块), 答:需要方砖 423 块. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 分层作业本·安徽数学 　 第 一 章 数 与 式 9. 七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发 展的时候查阅到了一位杰出的数学家,他们决 定对其的发现展开微项目探索,请你跟随探索 脚步,根据素材,完成【任务规划】和【项目成 效】 . 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算 结果中各项系数间的奥秘. 【核心概念】 素材 1:杨辉是我国南宋时期杰出的数学家,在 其所著的《详解九章算法》中记载了如图①,源 于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”, 我们把这个表叫作“杨辉三角” . 素材 2:我们知道,(a+b) 1 = a+b;(a+b) 2 = a2 + 2ab+b2 . 利用多项式的乘法运算,还可以得到: (a+b) 3 = (a+b)(a2 +2ab+b2 ) = a3 +3a2b+3ab2 + b3 . 当 a+b≠0 时,将计算结果中多项式(以 a 降次排序)各项的系数排列成表,可得到如图 ②: 图① 　 　 图② 第 9 题图 【任务规划】 (1)任务 1:请根据素材 1 和素材 2 直接写出 (a+b) 4 的计算结果; (2)任务 2:将(a+b) n(其中 n>1)的计算结果 以 a 降次排序后,请推导出第三项的系数 m(用含 n 的代数式表示); 【项目成效】 (3)成果展示:请计算(2a+1) 5 中含 a3 的项的 系数是多少. 解:(1)(a+b) 4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (2)m=n(n -1) 2 ; (3)由(2)知第三项的系数是 10,则 10×(2a) 3 = 10× 8a3 =80a3,∴含 a3 的系数是 80. 10. 综合与实践 问题情境:数学活动课上,王老师提出了一个 问题: 1 1×2 = 1- 1 2 , 1 2×3 = 1 2 - 1 3 , 1 3×4 = 1 3 - 1 4 , 1 4×5 = 1 4 - 1 5 , 独立思考: (1) 解答王老师提出的问题:第 5 个式子 为　 　 　 　 　 　 　 , 第 n 个 式 子 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 实践探究: (2)在(1)中找出规律,并利用规律计算 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 +…+ 1 2024×2025 ; 问题拓展: (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般 化研究之后发现,当分母中的两个因数的 差为 2 时,该小组提出下面的问题,请你 解答: 求 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 + 1 7×9 +…+ 1 2023×2025 ; 问题解决: (4) 求 1 1+2 + 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 + 1 1+2+3+4+5 + …+ 1 1+2+3+…+2024 的值. 解:(1) 1 5×6 = 1 5 - 1 6 , 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ; (2)原式=2024 2025 ; (3)原式=1012 2025 ; (4)原式=2023 2025 . 【详解见本册 PX】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 分层作业本·安徽数学 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算(10 年 3 考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 分式的概念及性质(2024. 11) 1. [2024 池州开学考]下列式子中,是分式的是 (　 C　 ) A. 1 2 B. x 2 C. 2x x-2 D. 1 2 +x 2. [2024 合肥高新区期末]如果把分式 6xy 2x-3y 中的 x 和 y 都扩大到原来的 2 倍,则分式的值 (　 A　 ) A. 扩大到原来的 2 倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 1 4 D. 缩小到原来的 1 2 3. [2024 安徽 11 题 5 分]若分式 1 x-4 有意义,则实数 x 的取值范围是　 x≠4　 . 变式 3-1 [2024 芜湖期末]若分式 x-1 2-x 无意义,则 x 的取值范围是　 　 　 　 　 . 变式 3-2 [2024 合肥瑶海区三模]若分式 x2 -1 x-1 的 值为 0,则 x 的值为 (　 　 　 ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. -1　 　 　 D. ±1 考向 2　 分式的运算 4. [2024 威海]计算: 4 x-2 + x 2 2-x = 　 -x-2　 . 5. 化简: a a+1 - 1 a2 +a = 　 　 　 　 . 6. [2024 合肥二模]计算( - 1 2 x) 2· 4 x 的结果是 (　 B　 ) A. -x B. x C. 2x D. x3 7. [2024 合肥蜀山区二模]计算 x2 -2xy+y2 x2 ÷x-y x 的结 果为 (　 D　 ) A. (x -y) 3 x3 B. x +y x C. x -y 2 D. x -y x 考向 3　 分式的化简与求值(2023. 15,2015. 15) 8. [2023 安徽 15 题 8 分]先化简,再求值: x2 +2x+1 x+1 , 其中 x= 2 -1. 解:原式=(x +1) 2 x+1 =x+1, 当 x= 2 -1 时,原式= 2 -1+1= 2 . 9. [2024 合肥包河区期末]先化简,再求值: ( 1 a-1 +1) ÷ a a2 -1 ,其中 a= -2. 解:原式=( 1 a-1 +a-1 a-1 )·(a +1)(a-1) a = a a-1 ·(a +1)(a-1) a =a+1, 当 a=-2 时,原式=-2+1=-1. 10. [2024 合肥三十中月考]实数 a,b 满足 ab = 1,记 M= 1 1+a + 1 1+b ,N = a 1+a + b 1+b ,则 M,N 的大小关 系为　 M=N　 . 11. [ 2024 宣 城 模 拟 ] 先 化 简 ( 1 x+1 + 1 x-1 ) · x2 -2x+1 2x ,再从-1,0,1,2 中选择一个恰当的 数代入求值. 解:原式= x -1+x+1 (x+1)(x-1) ·(x -1) 2 2x = 2x (x+1)(x-1) ·(x -1) 2 2x =x-1 x+1 , ∵当 x=-1,0,1 时,原分式无意义,∴ x=2, 当 x=2 时,原式=2 -1 2+1 = 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 5. B 6. 16　 【解析】∵ x= 8 是偶数,∴ 代入- 1 2 x+6 得 m= - 1 2 ×8+ 6 = 2,∵ x= 3 是奇数,∴ 代入- 4x+ 5 得 n = - 4× 3+ 5 = - 7, ∴ m-2n= 2-2×( -7)= 16. 7. [安徽真题改编组合练]2a3 ;-ab2 ;6a2 ;a3 ;-a6 ;-x5 8. B 9. C　 【解析】∵ 9y = 2,∴ 32 y = 2,∵ 3x = 6,∴ 3x +2 y = 3x ·32 y = 6×2 = 12. 10.解:原式= 3a2 -6ab+ab-b2 = 3a2 -5ab-b2 . 当 a= -1,b= 1 3 时,原式= 3+ 5 3 - 1 9 = 41 9 . 11.解:原式= (4x2 -4xy+y2 -4x2 +y2 -4xy) ÷2y = (2y2 -8xy) ÷2y = y-4x, 当 x= 1,y= 2 时,原式= 2-4 = -2. 12. D　 13. x(x+3)　 14. a(a-3)(a+3) 15. (x-2y) 2 　 16. (a-1) 2 17. -(x-3) 2 　 18. 3m2n2(n+2m)(n-2m) 19. (a-b+2)(a-b-2) 20. 1　 【解析】∵ 多项式 x2 +ax+b 可分解为(x+1) (x-2),∴ x2 -x-2 = x2 +ax+b,∴ a= -1,b= -2,∴ a-b= -1-( -2)= 1. 21. B　 【解析】∵ (4x2 +9) (2x+3) (2x-3) = (4x2 +9) (4x2 - 9)= 16x4 -81 = (2x) n -81,∴ n= 4. 22. D　 【解析】∵ m+2n　 　 n m-2n+3　 m-n = 5,∴ (m+ 2n) (m-n) - n(m-2n+3)= 5,∴ m2 -3n= 5,∴ 2m2 -6n-1 = 2(m2 -3n) - 1 = 2×5-1 = 10-1 = 9. 23.解:(1)∵ A= -2x2 +3x-1,B= - 3 2 x2 +4x+2, ∴ A-2B = -2x2 +3x-1-2( - 3 2 x2 +4x+2) = -2x2 +3x-1+3x2 -8x-4 = x2 -5x-5; (2)当 x= - 1 2 时, A-2B = ( - 1 2 ) 2 -5×( - 1 2 ) -5 = 1 4 + 5 2 -5 = - 9 4 . 24.解:(1)A; (2)①4;【解法提示】∵ 4a2 -b2 = 24,∴ (2a+b) (2a-b) = 24,又∵ 2a+b= 6,∴ 6(2a-b)= 24,即 2a-b= 4. ②∵ 1002 -992 = (100+99)(100-99)= 100+99, 982 -972 = (98+97)(98-97)= 98+97, … 22 -12 = (2+1)(2-1)= 2+1, ∴ 原式= 100+99+98+97+…+4+3+2+1 = 5050. 命题点 4　 规律探索 1. A　 【解析】由题意可得,a1 = 7,a2 = 1,a3 = 7,a4 = 7,a5 = 9, a6 = 3,a7 = 7,a8 = 1,…,∴ an 每 6 个数一循环,∵ 2024÷6 = 337……2,∴ 这一列数中的第 2024 个数是 1. 2. B　 【解析】根据题意,观察图形的变化可知第 1 个图案 中,灰色小正方形个数为 5 = 4× 1+ 1;第 2 个图案中,灰色 小正方形个数为 9 = 4×2+1;第 3 个图案中,灰色小正方形 个数为 13 = 4×3+1;…,第 n 个图案中,灰色的小正方形个 数为 4n+1;若组成的图案中有 2025 个灰色小正方形,则 4n+1 = 2025,解得n= 506. 3.解:(1)(6 1 6 ) 2 = (5 5 6 ) 2 +4; (2)第 n 个等式为 (n+1+ 1 n+1 ) 2 = (n+ n n+1 ) 2 +4, 证明:∵ (n+1+ 1 n+1 ) 2 = (n+1) 2 +2+ 1 (n+1) 2 , (n+ n n+1 ) 2 +4 = (n+1- 1 n+1 ) 2 +4 = (n+1) 2 -2+ 1 (n+1) 2 +4 = (n+1) 2 +2+ 1 (n+1) 2 , ∴ (n+1+ 1 n+1 ) 2 = (n+ n n+1 ) 2 +4. 4.解:(1)28;【解法提示】由所给分子结构图及结构简图可 知,图(1)的分子式中含 C 原子的个数为 10 = 1× 6+ 4;图 (2)的分子式中含 C 原子的个数为 16 = 2×6+4;图(3)的 分子式中含 C 原子的个数为 22 = 3×6+4;…;∴ 图(n)的分 子式中含 C 原子的个数为(6n+ 4) . 当 n = 4 时,6n+ 4 = 28 (个),即图(4)的分子式中含 C 原子的个数为 28. (2)(6n+4); (3)由题知 6m+4+6(m+1) +4 = 242, 解得 m= 19, ∴ m 的值为 19. 5.解:(1)①100a2 +100a+25;②25; (2)(i)4225;(6×7) ×100+25; (ii) (10n+5) 2 = 100n(n+1) +25(1≤n≤9,且 n 为整数), 证明:(10n+5) 2 = 100n2 +100n+25 = 100(n2 +n) +25 = 100n(n+1) +25, ∴ 猜想的等式正确. 6.解:(1)3n;(2) n(n+1) 2 ; (3)由题意得 n(n+1) 2 = 2×3n,解得 n = 11 或 n = 0(不符合 题意),∴ n= 11. 7. (1)(n+1) 2 -(n-1) 2 ;(i)7,5;(ii)(n+1) 2 -(n-1) 2 ; (2)4( k2 -m2 +k-m) 　 【解法提示】 (2k+1) 2 -(2m+ 1) 2 = 4k2 +4k+1-4m2 -4m-1 = 4(k2 -m2 +k-m) . 8.解:(1)3n+3; (2)0. 4n+0. 3　 【解法提示】当竖放的方砖为 n 时,墙体的 长度为 0. 3×(n+1) +0. 1n= 0. 4n+0. 3; (3)当 0. 4n+0. 3 = 42. 3 时,解得 n= 105, ∴ 竖放的方砖总数为 105,横放的方砖总数为 3n+ 3 = 3× 105+3 = 318, ∴ 方砖的总数为 105+318 = 423(块), 答:需要方砖 423 块. 9.解:(1)(a+b) 4 = (a+b)(a3 +3a2b+3ab2 +b3 ) =a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 +b4 ; (2)由杨辉三角发现规律可得, n= 2 时,m= 1 = 2×1 2 ; n= 3 时,m= 3 = 3×2 2 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案及重难题解析·安徽数学 分 层 作 业 本 n= 4 时,m= 6 = 4×3 2 ; n= 5 时,m= 10 = 5×4 2 ; … ∴ m= n(n-1) 2 ; (3)由(2)知第三项的系数是 10,则 10×( 2a) 3 = 10× 8a3 = 80a3 , ∴ 含 a3 的系数是 80. 10.解:(1) 1 5×6 = 1 5 - 1 6 , 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ; (2)　 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 +…+ 1 2024×2025 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2024 - 1 2025 = 1- 1 2025 = 2024 2025 ; (3)　 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 + 1 7×9 +…+ 1 2023×2025 = 1 2 ×(1- 1 3 + 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +…+ 1 2023 - 1 2025 ) = 1 2 ×(1- 1 2025 ) = 1012 2025 ; (4)　 1 1+2 + 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 + 1 1+2+3+4+5 +… 　 + 1 1+2+3+…+2024 = 2 2×3 + 2 3×4 + 2 4×5 +…+ 2 2024×2025 = 2×( 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2024 - 1 2025 ) = 2×( 1 2 - 1 2025 ) = 2023 2025 . 命题点 5　 分式及其运算 1. C　 2. A　 3. x≠4　 变式 3-1 　 x= 2　 变式 3-2 　 C 4. -x-2　 5. a-1 a 　 6. B　 7. D 8. 解:原式= (x+1) 2 x+1 = x+1, 当 x= 2 -1 时,原式= 2 -1+1 = 2 . 9.解:原式= ( 1 a-1 +a -1 a-1 )· (a+1)(a-1) a = a a-1 · (a+1)(a-1) a =a+1, 当 a= -2 时,原式= -2+1 = -1. 10. M = N 　 【解析 】 ∵ M = 1 1+a + 1 1+b = 2 +b+a (1+a)(1+b) = 2+a+b 1+a+b+ab ,又∵ ab= 1,∴ M = 1,同理可得 N = a 1+a + b 1+b = 2ab+b+a (1+a)(1+b) = 2 +a+b 1+a+b+1 = 1,故 M=N. 11.解:原式= x-1+x+1 (x+1)(x-1) · (x-1) 2 2x = 2x (x+1)(x-1) · (x-1) 2 2x = x -1 x+1 , ∵ 当 x= -1,0,1 时,原分式无意义,∴ x= 2, 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+1 = 1 3 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. C 2. A　 【解析】∵ x-y = 1 5 ( y+z),∴ 5( x-y) = y+z,∴ 5x-5y = y+z,∴ x+z= 6x-6y,∴ x+z = 6( x-y) . 由题意可知 x,y,z 的 大小无法判断. 3. A 4. A　 【解析】 3x-y= 3①, 2y-x= -4②,{ 由① + ②得 3x - y + 2y - x = 3 + ( -4),化简得 2x+y= -1. 5.解:解法 1:由②得 x= 2y+12③, 将③代入①,得 3(2y+12) +y= 1, 解得 y= -5, 把 y= -5 代入③,得 x= 2, ∴ 方程组的解为 x= 2, y= -5.{ 解法 2:①×2+②,得 7x= 14, 解得 x= 2, 将 x= 2 代入①,得 3×2+y= 1, 解得 y= -5, ∴ 方程组的解为 x= 2, y= -5.{ 6. A　 7. B 8. (1) -2;(2)0　 【解析】(1) ∵ x,y 互为相反数,∴ x+y = 0, ∴ a= - 2;(2) ∵ 9x ·3y = 27,∴ 32x ·3y = 33 ,∴ 32x + y = 33 , ∴ 2x+y = 3,解 x+y= 2+a, x-y= 3a-6,{ 得 x= 2a-2, y= 4-a,{ ∴ 2(2a- 2) + 4- a= 3,∴ a= 1,∴ (a-1) 2024 = 0. 9.解:(1)由题意得 a+2b+5 = 10, -2a+2b+5 = 7,{ 解得 a= 1, b= 2;{ (2)由(1)知,a= 1,b= 2, ∵ x⊗y=ax+by+5,∴ x⊗y= x+2y+5, ∵ x⊗y= -18,∴ x+2y+5 = -18, ∵ x= -3,∴ -3+2y+5 = -18, 解得 y= -10. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. A　 【解析】由题意得 300(1+x%) ×0. 75-300 = 300×20%, 解得 x= 60. 2. B　 3. A 4. B　 【解析】设 4 月份用了煤气 x 立方米,则 60×0. 8+( x- 60) ×1. 2 = 0. 88x,解得 x= 75,∴ 75×0. 88 = 66(元) . 5. A 6. A　 【解析】设一块长方形墙砖的长为 x m,宽为 y m,依题 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3