数学（新高考Ⅱ卷01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．若非零向量，则是与同向或反向的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 7．已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上单调递增 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 10．已知函数的定义域均为R，，且当时，，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．方程有且只有1个实根 11．外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中常数项为，则实数的值是 ． 13．在中，角所对的边分别为，若的面积为，则的最大值为 . 14．已知离心率为的椭圆的下、上焦点分别为，直线过椭圆的焦点，与椭圆交于两点，若点到轴的距离是点到轴距离的2倍，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （1）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 17．（15分） 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：； （3）若时，恒成立，求实数k的取值范围. 18．（17分） 曲线的左､右焦点分别为，点为曲线上的点，且的面积为. （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的动直线与曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，. (1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由; (2)若 ，求数列的前 项和 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．若非零向量，则是与同向或反向的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 7．已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上单调递增 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 10．已知函数的定义域均为R，，且当时，，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．方程有且只有1个实根 11．外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中常数项为，则实数的值是 ． 13．在中，角所对的边分别为，若的面积为，则的最大值为 ． 14．已知离心率为的椭圆的下、上焦点分别为，直线过椭圆的焦点，与椭圆交于两点，若点到轴的距离是点到轴距离的2倍，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （1）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 17．（15分） 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：； （3）若时，恒成立，求实数k的取值范围. 18．（17分） 曲线的左､右焦点分别为，点为曲线上的点，且的面积为. （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的动直线与曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，. (1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由; (2)若 ，求数列的前 项和 . 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 D D D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB ACD AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.25 14.月 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】(1) 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 15 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 25 20 45 :K2=4505x16-10x42 25×20×19×26 7.29>6.635(5分） 。有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”… (6分) （2)①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取9×20=4人，…(7分) 45 1/5 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 X的可能取值为0,1,2,3,4， P(X=0)= PX=1)=CCh,PX=2)-CiCi P(X=3)= P(X=4)=G 所以，X的分布列： X 0 2 3 4 C C (10分) 于20分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时何不少于5小时的概率为5芋 校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y,则 Y-8(20,0.6), 故E(Y)=20×0.6=12,D(Y)=20×0.6×(1-0.6)=4.8 (13分) 16.(15分) 【解析】(1)在PA上存在中点E,使得BE/平面PCD, (2分) 证明如下：设PD的中点是F,连结BE,EF,FC, D 则EF1/AD,且EF=号AD.由已知∠ABC=∠BAD=90°， 2 所以8C1AD又BC=AD,所以EF/8C,且EF=8C, (5分) 所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE/ICF,因为BE文平面PCD,FCc平面PCD,所以BE/I平面 PCD444444,(7s分） (2)设G为AD中点，连结CG,则CG⊥AD 又因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,CGC平面ABCD,所以CG⊥平面PAD 过G作GH⊥PD于H,连结CH,由三垂线定理可知CH⊥PD 2/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以∠GHC是二面角A-PD-C的平面角… (10分) B 设AD=2,则PA=AB=CG=DG=1,DP=N5 在△PD中，S所以GH:店 GH DG 所以1an∠GHC:G0,,0s∠GHC6即=面角A-PD-C的余孩值为V6 (15分) 6 6 17.(15分) 【解析】(1)由已知可得f"(x=1nx+2x-1,所以f'(1=1 又∫们=1，所以f(x在x=1处的切线方程为y=x即x-=0… (2)fx)的定义域为0，+0)，且f"x=lnx+2x-1显然f(x在(0，+o)上是增函数 又/}-n2<0,/w=10 使得f"(x)=0,即lnx+2x。-1=0, (6分) 且当x∈(0，x)时，f"(x<0:当xe(x,+o)时，f'x>0 一fx)在(0，，)上单谓递减；在(x,+0上单调递增 .f(x)nin=f(xo)=xoIn xo+x-2xo+2=xo(1-2x]+xo-2xo+2 +2 (8分) 哈到f=-+0到>0 (10分) (3):re2,+m)·f≥kx-)台ksf x-1 令g(x=f因，则g=x-f-f因-2--1-n x-1 (x-1月 (x-1 令p(=2--1-hx,xe2,+,则px=2x-1-1-2x+x-山，0 .p(x在2，+0)上是增函数，又p(2)=1-ln2>0, 3/5 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .(>0，即g'(x>04…(13s分） gx)在2，+0)上是增函数，又82)=2h2+2gx)≥2n2+2 ∴实数k的取值范用是(-0,2ln2+2 (15分) 18.(17分) =x2cx5，即=5 【解析】解：（1）依题意，c=l,S=2x2cx。 a 2 a 2 又a2=b2+1,解得a2=2,b2=1, 所以值线C的标准方程为号广=1：一4分) (2)设直线I:y=k(x-1,P(x,,Q(,),设N(xo,0), 联立 1传- y=k(x-1) 2k2 k2-1 则4>0,5+x3= 1 ,xx2= 2 (8分) 2+2… 所以NPN@=(x-小(3-)=(x--)+=(-小(x-)+k(-x-刂 =(1+k2）xx2-(x+2）-x+x)+x62+2 -)-6+2 +x)2+2 +? 2 k2(1-4x)-2 2k2+1 44440444,(12s分） 要使丽观=经2为定值，则上丝子。 2k2+1 解得光景树时亚0=心-2=名 故存在N 使得NP.Ng为定值 (17分) 19.(17分) 【解新】(1)由2a+a,a=a,两边同时除以a以，得2+1= 所以子2.- （2分) 4/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 且+1=1=20， a 所以数列 1+0m 是首项为2，公比为2的等比数列，… (4分) +a=2×21=2, 所以 a 又1+01+a=22”=2”,1+aa=2 +a山-1+a1+a,所以数列 故 +a 是指数型数列：. (7分) a 1+a.=2,有—+1=2 (2)由 所以a,=2- 1 2" 故=2"a,a2-12-可2-12m-' 11 (17分) 5/5 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合或 所以 因为 则 故选:D 2．设为虚数单位，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题得， 所以复数的共轭复数为. 故选：A 3．若非零向量，则是与同向或反向的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则有，即， 所以与共线，即与同向或反向成立， 若与同向或反向，不妨取， 则不成立，所以是与同向或反向的充分不必要条件， 故选：A. 4．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】解：①甲乙两人去一人，则有种； ②甲乙两人都去，则有种， 综上一共有种， 故选：D 5．已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，双曲线 C的渐近线方程为 ， 由曲线的对称性，不妨设， 因为直线与圆E相交所得的弦长为，可得则， 解得，即，故双曲线C的离心率. 故选：D 6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 则建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 7．已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】棱长为的正四面体如图所示， 则正方体的棱长为，体对角线长为， 所以棱长为的正四面体的外接球半径为. 如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为， 因为侧面积为，所以，即. 因为，所以，所以. 取轴截面，设内切圆的半径为， 则，解得，即圆锥的内切球半径为. 因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即， 所以正四面体的最大棱长为. 故选：B 8．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 【答案】B 【详解】由，两式相减得，即. 再由，两式相减得，由，得， 故为以14为首项，8为公差的等差数列，故， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上单调递增 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 【答案】AB 【详解】已知函数（，）， 其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ， 点是其中一个对称中心， 有， ,，由，∴， 可以求得.最小正周期，故选项正确； 由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确； 时，正弦曲线的先增后减，故选项错误； 将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误. 故选：. 10．已知函数的定义域均为R，，且当时，，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．方程有且只有1个实根 【答案】ACD 【详解】对AB，由可得， 故，所以，所以，故B错误. 故，故，故为周期函数，且周期为， 而可得， 故，令可得，所以，故A正确； 对C，由可得 故，即， 由可得 ，即， 故为奇函数且为周期函数且周期为. 根据上述性质可得的图象如下， 故在上单调递减，所以C正确； 对D，又即为，此方程即为的解. 结合的图象可得该方程只有1个解即为，所以D正确． 故选：ACD． 11．外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 【答案】AC 【详解】对于A，， 即， （其中，，）所以，，故A正确； 对于B， ，因为，所以，所以， 而，故B错误； 对于C，取的中点，连接， 由A，B的解析知，故外接圆圆心点在的延长线上， 连接， 因为的外接圆半径，所以， 所以， 所以，，，， ，故C正确； 的周长，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中常数项为，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】因为的通项公式为， 若得到常数项，当取时，令，当取时，令， 解得或（舍），所以，因为展开式的常数项为，所以， 解得． 故答案为： 13．在中，角所对的边分别为，若的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由面积公式得，，即, 由余弦定理得，所以 则其中，，故当时，取得最大值. 故答案为： 14．已知离心率为的椭圆的下、上焦点分别为，直线过椭圆的焦点，与椭圆交于两点，若点到轴的距离是点到轴距离的2倍，则 ． 【答案】 【详解】直线过定点，即，由于，故，椭圆方程为，由可得，设，则，由点到轴的距离是到轴距离的倍可得，代入可解得，代入解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差 【详解】（1） 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 25 20 45 有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”. （2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人， 的可能取值为0，1，2，3，4， ，，，，， 所以，的分布列： ②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则， 故，. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （1）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）. 【详解】（1）在上存在中点，使得平面， 证明如下：设的中点是，连结，，， 则，且.由已知， 所以.又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面. （2）设为中点，连结，则. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 过作于，连结，由三垂线定理可知. 所以是二面角的平面角. 设，则，. 在中，，所以. 所以，.即二面角的余弦值为. 17．（15分） 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：； （3）若时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）由已知可得，所以 又，所以在处的切线方程为即 （2）的定义域为，且显然在上是增函数 又， ∴，使得，即， 且当时，；当时， ∴在上单调递减；在上单调递增 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）∵ ∴ 令，则 令，，则 ∴在上是增函数，又，∴，即 ∴在上是增函数，又 ∴ ∴实数k的取值范围是. 18．（17分） 曲线的左､右焦点分别为，点为曲线上的点，且的面积为. （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的动直线与曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，使得为定值. 【详解】解：（1）依题意，，，即， 又，解得，所以曲线的标准方程为； （2）设直线，，设， 联立，得，则，， 所以 ， 要使为定值，则， 解得，此时.故存在，使得为定值. 19．（17分）给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，. (1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由; (2)若 ，求数列的前 项和 . 【答案】(1)数列为指数型数列，证明见解析(2) 【详解】（1）由，两边同时除以 得， 所以，即，且， 所以数列 是首项为2 ，公比为2的等比数列，所以， 又，， 故，所以数列是指数型数列； （2）由，有，所以 ， 故， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$