精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性检测数学试题

2024-2025学年秋学期十二月阶段性检测试卷 2024128 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】 故选：B. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合不等式性质判断. 【详解】且，有不等式性质可以知道，但是，如且,得不到且.故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】对数函数在上为增函数，则； 指数函数在上为增函数，则，即； 对数函数在上为增函数，则. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4. 实数，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值即可判断D得解. 【详解】对于A，取时，满足，， 但，不满足，故A错误； 对于B，取时，满足， 但，不满足，故B错误； 对于C，取，满足， 但，不满足，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 5. 若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 6. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：C 7. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解. 【详解】由题意可知：，， 代入可得， 所以，可得， 可得，即， 所以， 所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍， 故选：A. 8. 已知角终边上点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解. 【详解】因为， 所以角的终边在第二象限， 又因为 ， 且， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算以及根式与分数指数幂的互化逐一判断即可. 【详解】，错误；，正确； ，错误；，正确 故选： 10. 下列说法中正确的是（    ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限是第二象限 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由诱导公式可得A正确；由象限角的范围可得B错误；C正确；由同角的三角函数关系和三角函数的范围可得D错误. 【详解】对于A：由诱导公式可得，故A正确； 对于B：因为是第二象限角，所以， 所以，为第一或第三象限角，故B错误； 对于C: 因为，所以角所在象限是第二象限，故C正确； 对于D: 因为，平方后可得，又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的性质分别判断. 【详解】A选项：因为的定义域为，所以恒成立，则，解得：，故正确； B选项：因为的值域为，所以，所以， 解得，故正确； C选项：因为函数在区间上为增函数，由复合函数的单调性可知： 在区间上为增函数，且在该区间上恒成立， 当符合题意； 当，则，解得；所以，故错误； D选项：当时，，由，可得，解得：，故错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 计算：_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】原式 故答案为：. 14. 已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意按系数的正负分类讨论，再数形结合给出等价不等式求解可得. 【详解】当时，，则有无数解，不合题意； 当且时，，， 则方程在区间内无解，在有唯一解， 故方程有且仅有一解，不合题意； 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 要使关于x的方程的解集有3个元素， 则，解得. 综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或． 16. 已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方关系和商数关系求出，根据诱导公式化简，再利用商数关系化弦为切即可得解； （2）根据，再利用商数关系化弦为切即可得解. 【小问1详解】 是第四象限角，， ， 则； 【小问2详解】 由， 得 . 17. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围； （2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题意，可得，则或. 【小问2详解】 由的两个零点一个在内，另一个在内，故， 法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得. 当的图象开口向下时，，所以，解得； 综上，的取值范围为. 法二：的零点和的零点相同，则， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 19. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求的值； （2）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解； （2）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角，可得， 所以， 所以 ； 【小问2详解】 由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秋学期十二月阶段性检测试卷 2024128 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A. B. C. D. 8. 已知角终边上点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（    ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限是第二象限 D. 若，，则 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________． 13. 计算：_______. 14. 已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求m的取值范围． 16. 已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 18. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求的值； （2）记点的横坐标为，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $