湖南省湘潭市湘潭县湘潭凤凰中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷以经济模型、AI大会等真实情境创设问题，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计适配高三起点检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|百分位数、集合、向量、导数几何意义|基础概念与简单应用结合| |多选题|3/18|三角函数图像、函数切线、双曲线性质|多维度辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|排列组合、函数奇偶性、球与三棱锥|空间想象与运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明与线面角、解三角形、统计案例（独立性检验与分布列）、椭圆综合、函数导数综合|分层设问，统计题结合AI大会情境，导数题考查单调性与恒成立，体现数学建模与逻辑推理|

凤凰中学2026年高三开学考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．一组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 6．点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 7．已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．为奇函数 10．已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（ 　 ）． A．， B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．是曲线的一条切线 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（    ） A．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．直线斜率的取值范围为 C．若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为 D．的最小值为9 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____. 13．已知函数，且函数是偶函数，求实数___________ 14．已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 4、 解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)D在边上， （ⅰ）若D是边的中点，，，求a； （ⅱ）若，，，求a． 17．（15分）2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． (1)根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 19．（17分）设函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $凤凰中学2026年高三开学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.一组数据2,5,3,7,1,6,4的第70百分位数是() A.1 B.4.9 C.4 D.5 2.已知集合A={xr2≤1，B={x-1<,若AUB中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是() A.0<a<1 B.0<a≤1 C.a>1 D.a≥2 3.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若a⊥b,则实数m的值为() A B.2 C.-1 D3 4.设函数f)=。+2s血+3，则曲线y=)在点(0,4)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为() 1+x2 A等 D 5.在简单经济模型中，当产量为时，对应的价格记为Pn,若{}为等差数列，记其公差为d,则其在产量为m 时的点弹性为B。号 现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为() d 1 A.3 B. C.1 D.2 6.点A、B分别为椭四号茶=1a6>0)的左、有顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原友0的一点，D为 OC的中点，直线AD与BC交于点M,且MFLAB,则该椭圆的离心率为 A B. c.V② 3 D.3 2 7.已知函数f(y=sin2x-cos2x-25m在工，25 424 上有两个极值点，则a的取值范围为() 8。函数f(✉)=e-公+b(ab∈R)有两个极值点，6满足￥<5≤25，则+，的取值范围为(） 试卷第1页（共4页） A.(1,2n2] B.(2,3h2] c.(2,4ln2] D.(0,3ln2] 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.函数f(x)=Asin(ax+p)(A>0,o>0,0<p<)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是() 5π 1π 12 A.∫(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为2 c.f(y)在区间36 上单调递增 D.+)为商西数 10.已知函数了)=m(x+p,如图，48是直线y=}与面线y=心)的两个交点，若4-号则下列说法正确 的是( A.=2,p=- 3 B.f在[司周上单调速啦 C.x=-匹是fx)的一条对称轴 12 D.y=x- 5是曲线f(e)的一条切线 11.已知双曲线C: -=1的左、右焦点分别为耳，，直线1过点，且与双曲线的右支交于M,N两点，其中 39 点M在第一象限，则下列说法中正确的是() A,点M到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B.直线1斜率的取值范围为-√3，V5 C.若△MB,△NB的内切圆的半径分别为，h,则片+5的取值范围为25,4) D.MM的最小值为9 试卷第2页（共4页) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.用数字0、1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的且被3整除的三位数的个数为 13.已知函数f(x)=x2--2,且函数f(x+2)是偶函数，求实数a= 14.已知正三棱锥P-ABC与正三棱锥Q-ABC的底面重合，且P,Q分别在底面ABC的两侧，AB=2,两个三 棱锥的体积之比为3：1，若点A,B,C,P,Q都在球O的球面上，则球O的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AD=DC=1,AB=2,AC⊥PC D ⊙ (I)证明：平面ABCD⊥平面PBC: (2)若PB⊥BC,PB=2W3,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 acos C+c=2b, (1)求角A的大小： (2)D在边AC上， (i)若D是边AC的中点，c=1,BD=√3，求a: )若4B=8,CD=2,cs∠BDC-)求a 17.（15分)2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来，聚焦人工智 能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话.某校组织学生参加AI知识网络答题活动，为了解 男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生 为男生，据统计P同-号P(国A到} (1)根据已知调查样本完成下列2×2列联表，并依据小概率值，=0.001的独立性检验，能否推断该校学生报名参加 答题活动与性别有关？ 试卷第3页（共4页） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题 活动 愿意报名参加答题 活动 合计 200 (②)网络答思规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. 若答题活动设置4道题，且答 题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题 活动，用X表示甲同学本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. n(ad-be) 参考公式与数据：X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1恩17分》已负精图c+芳-a6>01的商伦率 2 ,点(02)在C上. (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问x轴上是否存在定点R,使得RP.R可 为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由： (3)在(2)的条件下，当直线1不与x轴重合时，求△RPQ的面积S的取值范围. 19.(17分)设函数f(x)=e-,aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若f(x)≥x在R上恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第4页（共4页）凤凰中学2026年高三开学考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 ⊙ D A B D B ABC ACD 题号 11 答案 AC 12.68 13.4 64π 14.9 15.(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,BC=AD=1,AB=2, 过点C作CE1H0于R,则E-分可知∠8C=6r 由余弦定理知4C2=1P+2-2x1x2x=3 2 则AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC. 又AC⊥PC,BCPC=C,BC,PCc平面PBC, 所以AC⊥平面PBC: 又ACC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBC. D E B (2)解：因为4CL平面PBC,PB⊥BC 所以C为坐标原点， CA CB 的方向分别为x轴、y轴的正方向建立 空间直角坐标系 ZA D D B 4小8a0,a0.Pau2w5.P9-0】 9.=2.A-l-2 设平面PCD的法向量为 =(xy,2) @a-g-0 万=y+2-0令x-1则y=6=宁即a-(5》 设直线PA与平面PCD所成的角为B, in=cos(.)- 5-5+月_5团 则 4x 34 2 51 即直线PA与平面PCD所成角的正弦值为34· 16.(1)由2 acos C+c=2b及正弦定理，得2 sin AcosC+sinC=2sinB, sin B=sin(4+C),2sin AcosC+sin C=2sin(+C)=2sin AcosC+2cos AsinC, 六如C=2ms5nC又如C0-ow4-分又AE0利4-5、 3’ D (2)(1)在△ABD中，由余弦定理有，AB2+AD2-2AB·AD cos.∠BAD=BD2, :c=l,BD=5,D是边AC的中点，AD=) 2 整理得：b2-2b-8=0,解得：b=-2(舍去)或b=4, e-2bccos60-3 1 (i)由cos∠BDC7,∠4DB+∠BDC='cos∠BDA=- 7, 145 sin∠BDA= 1- 49 7. 在a1BD中，由正弦定理得，sm乙B04m乙A,又M份=8，∠A- AB BD 3,可得BD=7, 在ABCD中，由余弦定理得，BC2=BD'+CD2-2BD.CDcos∠BDC=7P+2-2×7×2x=49 7 所以a=7. D 17.（山)：P(同-号，所以不愿意报名参加答冠话动人数为20x号-80，愿意报名参加答题话动人数为 5 200-80=120, 又：P(@4)-行，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为120号80，愿意报名参加答题活动的女生人数为 1 120-80=40, 则可得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 Ho 零假设“：学生报名参加答题活动与性别无关， 则X= 200×(20×40-80×60)210 100×100×80×120 3 >10.828=x0.01, 依豁小概车伯&=001的验立件检验，推斯儿不成立，即认为学生报名参加答冠活动与性划有关联 (2)X的所有可能取值为：1,2,3,4， Prx=0-,x-列-号会，PX==号品.0=-品 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 3 6 12 8 P 5 25 125 125 c_v2 a 2 02 22 18.(1)设椭圆的半焦距为 ,由题意可得 a+标=1 解得a=2v√2 a2=b2+c2 b=2 c(c>0) c=2 所以活版c准方程为后+苦 (②)当直线√的斜率存在时，设直线的方程为'=(+2)】 代入椭圆的方程，可得(+)小r+8x+8%-8=0 8k2 8k2-8 设，P(xy),0(5)》则，+名=2+西=2+i 设R(m,0)）,则R严，0-=(G-m(-m)=(飞-m)(6-m)+y =xx-m(x+x)+m2+k2[xx+2(化+x)+4] =(k2+1)xx3+(2k2-m)(x+x2)+42+m2 =器x-4.r9m- 2k2+1 (2m2+8m+4）k2+m2-8 m2-81 若 2k2+1 厂为定值，则2m+8m+42,解得m三- (2m2+8m+4)k2+m2-8 此时 2k2+1 子。的李5(0 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=-2, += x=-2 代入8+4=1，得=士2， 不纺设2,0(-2回)，老 测m-6)-}5丽=子. 7 除上所述，在x销上在在定吉风使得丽爬为定值争 x2.y2 (3)设直线1的方程为x=侧心-2，代入楼圆方程8+￥， 得侧-2+少=8，整理得m+2少-4-4=0， 设P,0,.可得+g22， -4 所以由(2)可得y-=V+》-4y,= 4n）2 m2+2 4x4 m2+2 4m 2 16m2+32 2 4m 16m2+32 m2+2 m2+2 V八m2+2 (m2+2, 32m2+32_4V2Vm2+1 V(m2+2 m2+2, w网小-行2 m2+2, 令n=m≥1则 w=2v2 n2+1 +在L+四)上单调遥减。 当n=1时， 2,当n→+o,SPgr→0， 所以△RPQ的面积s的取值范围2· 19.(1)f(=e-xf)=e-1f0=e-1f0=e-1 ∴切线方程为：y=(e-1(x-)+e-1=(e-1)x (2)f'()=e*-a ①当≤0时，)20，f在R上单调递增， ②当a>0时，e-a=0,x=lna (-o,Ina) Ina (Ina,+oo) '(x) 负 0 正 f(x) 减 极小值 增 综上所述： a≤0时， (四)的单调递增区间为R, a>0时，f因的单调递减区间为血@），单调递增区间 (Ina,+oo) (3)f()2r台f)-x≥0 令8()=f(☒-x=e-(a+x,即()20.g四=c-(a+) 21=e Da+1<0时，g()0,8的举调港0,8=c-10,故8≥0不度，合去 ②a+1=0时，8(20恒成立，此时a=-1 ③0+1>0时，由（②知，8(）2&（血(a+月，放只需8血(a+1)20即可. g(n(a+1)=(a+1)-(a+1)n(a+1)≥0 ln(a+l)sl,∴.0<a+l≤e,∴.-1<a≤e-1 即 综上所述：-1≤a≤e-1.