精品解析：上海市长宁区民办新世纪中学2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年上海市长宁区民办新世纪中学八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共6题．每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式， B．与是同类二次根式， C．与不是同类二次根式， D．与不是同类二次根式， 故选：B． 2. 下列方程中，没有实数根的是（　　） A. x2﹣2x﹣3＝0 B. x2﹣2x+3＝0 C. x2﹣2x+1＝0 D. x2﹣2x﹣1＝0 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出判别式△=b2-4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可． 【详解】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误； B、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确； C、△＝（﹣2）2﹣4×1＝0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误； D、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图像经过点（2，2）； B. 函数图像位于第一、三象限； C. 当时，函数值随着的增大而增大； D. 当时，． 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】A、关于反比例函数y=-，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确； D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 4. 反比例函数图象上有三个点()，()，()，若，则的大小关系是(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数的比例系数1>0判断出函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据，判断出的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小． ∵点()，()，()在函数图象上，且， ∴点()，()位于第三象限，且．点()位于第一象限，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质．通过比例系数k判断图象所在象限，当k>0时，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；k<0时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补； B. 直角三角形两个锐角互余； C. 两个全等三角形的对应角相等； D. 两内角相等的三角形是等腰三角形； 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 先写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，故A不符合题意； B、逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，故B不符合题意； C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，故C符合题意； D、逆命题为等腰三角形的两个内角相等，正确，是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B. 等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C. 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨边是这个角的平分线 D. 到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解． 【详解】解：A、到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径为1cm的圆，故A选项不符合题意； B、等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（线段BC中点除外），故B选项符合题意； C、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故C选项不符合题意； D、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 分母有理化：________ 【答案】 【解析】 【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式． 【详解】由题意得， 8. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可． 【详解】， 故填：2． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 9. 已知是方程的一个根，那么___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，将代入原方程即可求出m的值． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 方程的根是______. 【答案】， 【解析】 【分析】直接开方求解即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键. 11. 在实数范围内分解因式：=____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 12. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的意义及性质，被开方数大于或等于0，据此作答． 【详解】根据二次根式的意义，被开方数， 解得． 故函数定义域是． 故答案为：． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式的概念和性质是关键． 13. 如果反比例函数的图像在每个象限内，随着的增大而减小，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 【详解】∵反比例函数的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∴， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 14. 如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而___． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．将点代入函数求出的值，再根据函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得：， 随着的增大而减小， 故答案为：减小． 15. 已知直角坐标平面上点和，那么___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式，熟知若两点的坐标分别为，则这两点的距离是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 详解】解：∵直角坐标平面上点和， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：，， ， 是垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度． 【答案】20． 【解析】 【分析】连接ED，再加上AD⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，很容易可以推出△ECD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及外角性质即可求出∠BCE的度数. 【详解】 如图，连接ED， ∵AD⊥BC， ∴△ABD是直角三角形， ∵CE是边AB上的中线， ∴ED= AB=BE， ∴∠EDB=∠B=40°， 又∵CD=BE， ∴ED= CD， ∴∠DEC=∠DCE， ∵∠EDB是△DEC的外角， ∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=40°, ∴∠DCE=∠EDB=20°， ∵∠DCE即∠BCE， ∴∠BCE=20°. 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当边上是高在形内时，当边上是高在形外时，根据勾股定理和旋转的性质求解即可． 【详解】解：当边上是高在形内时， ，，， ； 当边上是高在形外时，根据旋转可得，， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题．满分58分） 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简各式，再计算加减即可； （2）利用乘法的分配律计算，再化简，计算加减即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 【详解】解：（1）∵； ∴， 则， ∴， ∴或， ∴， （2）∵ ∴整理得， 则， ∴， ∴，． 21. 如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 22. 为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 【答案】（1）， （2）60吨 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）根据题意列式即可； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， ∴超过部分应交水费元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据表格提供的数据，可以知道， 由题意得， 解得， ， ， 答：该x吨是60吨． 23. 小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合.已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米.图中的折线反映了爷爷行走的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系. （1）爷爷行走的总路程是_____米，他在途中休息了_____分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟_____米； （2）当0≤x≤25时，y与x的函数关系式是___； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 【答案】（1）1700，10，35；（2）y=40x；（3）小明先到，这时爷爷离开山顶还有175米 【解析】 【分析】（1）根据图象信息即可求解； （2）根据待定系数法即可求解； （3）先求出小明花的时间，比较即可得出结论，然后根据爷爷的速度即可求得离山顶的距离． 【详解】解：（1）根据图象知：爷爷行走的总路程是1700米，他在途中休息了10分钟，爷爷休息后行走的速度是：35米/分钟； （2）设函数关系式为 可得： 解得： ∴函数关系式为：y=40x； （3）（分钟），（分钟） 所以，从爷爷出发开始计时，小明50分钟到达山顶． 因为爷爷用了55分钟，所以小明先到． 这时爷爷离终点还有（55-50）×35=175（米） 答：小明先到，这时爷爷离山顶还有175米． 【点睛】此题主要考查观察函数图象和待定系数法求正比例函数解析式，正确读出函数图象的信息是解题关键． 24. 如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． （1）求k的值； （2）若，求点C坐标； （3）连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，得到，然后得到点C的纵坐标为6，然后代入求解即可； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 ∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∵轴 ∴点C的纵坐标为6 ∴将代入得， 解得 ∴； 【小问3详解】 如图，连接，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 25. 如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、． （1）当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； （2）判断的形状，并给出证明； （3）如果，求的长． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先证为等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案； （2）由题意得，再由点是的中点知，，则，，，可推出，据此可得答案； （3）分点在线段上和线段延长线上两种情况，分别求出、的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图1，当点在线段上时，，， ， ， ，即， ， 又， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，， 同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【点睛】本题主要是三角形的综合问题，主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市长宁区民办新世纪中学八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共6题．每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数根的是（　　） A. x2﹣2x﹣3＝0 B. x2﹣2x+3＝0 C. x2﹣2x+1＝0 D. x2﹣2x﹣1＝0 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图像经过点（2，2）； B. 函数图像位于第一、三象限； C. 当时，函数值随着的增大而增大； D. 当时，． 4. 反比例函数图象上有三个点()，()，()，若，则的大小关系是(　 　) A. B. C. D. 5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补； B. 直角三角形两个锐角互余； C. 两个全等三角形的对应角相等； D. 两内角相等的三角形是等腰三角形； 6. 下列说法错误的是（ ） A. 到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B. 等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C. 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨边是这个角的平分线 D. 到直线距离等于点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 分母有理化：________ 8. 计算：______． 9. 已知是方程的一个根，那么___． 10. 方程的根是______. 11. 在实数范围内分解因式：=____________． 12. 函数定义域是__________． 13. 如果反比例函数的图像在每个象限内，随着的增大而减小，那么的取值范围是_______． 14. 如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而___． 15. 已知直角坐标平面上点和，那么___． 16. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则___． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度． 18. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为___． 三、解答题（本大题共7题．满分58分） 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. （1）解方程：； （2）解方程：． 21. 如图，已知中，，，垂足为点，是边上中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 22. 为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 23. 小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合.已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米.图中的折线反映了爷爷行走的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系. （1）爷爷行走的总路程是_____米，他在途中休息了_____分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟_____米； （2）当0≤x≤25时，y与x的函数关系式是___； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 24. 如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． （1）求k的值； （2）若，求点C坐标； （3）连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 25. 如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、． （1）当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； （2）判断的形状，并给出证明； （3）如果，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$