河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高三2024年12月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（    ） A． B． C． D． 2．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．数列满足，，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（   ） A．的共轭复数为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．若，则的最大值是 D．的虚部为 11．已如定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为 . 13．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 14．若直线是曲线的切线，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 16．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知是等边三角形． (1)求证：； (2)求二面角； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点此时所在的位置． 17．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 18．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若是的两个极值点，证明：. 19．已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A C C A ACD AC 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．（1）因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 16．（1）由点在底面上的射影是与的交点， 得平面，又平面，则， 由四边形为菱形，得，而平面， 因此平面，又平面，所以. （2）过作于，连接，由平面，平面，得， 又，平面，则平面，又平面， 因此，为二面角的平面角， 由是正三角形，得，由是正三角形，得， 由，知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）由，且平面平面，得平面， 则点到平面的距离即为到平面的距离，而， 即，则， 解得，即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，同理可得， 因此， 则当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角正弦值为. 17．（1）（i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 18．（1）当时，，定义域为， ∴， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴当时，有极小值，极小值为，无极大值. （2）由题意得，， ①当时，，方程的判别式，解方程得，其中， 由得，或，由得，， ∵，∴在上为减函数，在为增函数. ②当时，，由得，，由得，， ∴在上为减函数，在为增函数. ③当时，，方程的判别式， 当，即时，恒成立，，在上为减函数. 当，即时，方程有两个不相等的实数根，，且， 由得，，由得，或 ∵，∴在上为增函数，在，上为减函数. 综上得，当时，在上为减函数，在为增函数； 当时，在上为减函数，在为增函数； 当时，在上为增函数，在，为减函数； 当时，在上为减函数. （3）由题意得，是方程的两根， ∵是的两个极值点， ∴由（2）得，且，， ∵， ∴要证，只需证， 只需证. 令，则需证， 设，则， ∴函数在上单调递减，∴，故， 由得，，故， ∴. 19．（1）由题知，所以双曲线， 又过点斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为， 即， 由，解得或， 当时，， 所以，所以； （2） 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立， 消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上， 即有，所以， 因为， 则 ， 由（1）知， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知，由， 即， 即， 则， ， 故，， ，， 从而， ， 即，则， 则，， 从而. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键点在于得到后，结合，从而可得与，再利用面积公式计算即可得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$