精品解析：山西省大同市天镇县2024-2025学年上学期期中测试八年级数学试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1． 本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间90分钟． 2． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷题和答题卡一并交回． 第Ⅰ 卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，11，13 B. 3，4，5 C. 8，15，7 D. 5，5，12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析． 【详解】解：A、，不能摆成三角形； B、，能够摆成三角形； C、，不能摆成三角形； D、，不能摆成三角形． 故选：B． 2. 在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有A选项中的作法是画边上的高线， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 3. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 4. 我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的内角和为 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：依题意，斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 5. 如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得． 故选：B． 6. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵D为BC的中点， ∴， ∵E为AD的中点， ∴，， ∴， ∵F为EC的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，掌握中线的基本性质，熟练推理三角形面积之间的关系是解题关键． 7. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据“边边角”不一定能证明这两个三角形全等判断A，再根据“角边角”，“边角边”，“角角边”逐个判定即可． 【详解】解：∵， A、当时，和不一定全等，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称设计图案，根据折叠轴对称图形的性质可以得到展开图形的样子，或者我们可以用一张正方形的纸片自己折叠一下也可以得到正确答案. 【详解】由题意得，沿虚线剪开所得得四边形四条边都相等，故展开图得到的是菱形． 故选：B 9. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个不同的格点三角形与成轴对称． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，考查学生的动手能力，解题的关键是理解轴对称图形的概念，本题主要属于基础题． 根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【详解】解：与成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出、、、和5个不同的格点三角形与成轴对称． 故选：D． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 12. 点， 关于x轴对称， 则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标与轴对称，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律“横坐标不变、纵坐标变为相反数”是解题关键．先根据点坐标关于轴对称的变换规律可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点， 关于x轴对称， ， 则， 故答案为：． 13. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】 ①. 减少 ②. 10 【解析】 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 14. 如图，正方形的顶点，规定把正方形“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点C的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化对称、规律型点的坐标、坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转的性质．根据正方形的顶点，，可得，，先求出前几次变换后点的坐标，一次变换即点的横坐标向左移一个单位，又翻折次数为奇数时点的纵坐标为，翻折次数为偶数时点的纵坐标为3，再求出点的横坐标即可． 【详解】解：正方形的顶点，， ， ， 一次变换后，点的坐标为， 二次变换后，点的坐标为， 三次变换后，点的坐标为， ， 通过观察得：翻折次数为奇数时点的纵坐标为，翻折次数为偶数时点的纵坐标为3， 是偶数， 点的纵坐标为，其横坐标为． 经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，，垂足为点 A，射线，垂足为点B， ，动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着 E点运动而运动，始终保持 ．若点E的运动时间为t秒 ，则当_____________秒时， 与全等． 【答案】2或6或8 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，应用分类讨论是解题的关键；分两种情况： 当E 在线段上时，当E在上，再分别分成两种情况进行计算即可． 【详解】解：当E 在线段上，点E与点A重合时，，此时，但，舍去； 当E 在线段上时，，则， ， ； 当E在上时，，则， ， 动点E的速度为， ； 当E在上时，，则， ， 动点E的速度为， ； 故答案为：2或6或8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．于于，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可． 【详解】解：作于于，连接，如图， 点是角平分线的交点， 即， 17. 在中， 是的角平分线， （1）如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； （2）如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出，由此即可解决问题； （2）过A作于G，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论，即可得到结论． 【小问1详解】 解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 18. 尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【答案】 解：该旅游打卡地应修建在直线m和直线n所夹锐角的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，点C即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作直线m和直线n所夹锐角的的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】略 19. 如图，中、的垂直平分线分别交于、，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用． 由、的垂直平分线分别交于点、，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，即可得，，又由，易求得，继而求得的度数． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ． 20. 如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． （1）试说明： ． （2）若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； （3）在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、解决本题的关键是根据直角三角形的两个锐角互余找到角之间的相等关系从而证明三角形全等． （1）根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形对应边相等可证； （3）由（2）可知，利用梯形的面积公式可求四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； 【小问3详解】 解： 当 ，时，， 四边形的面积为． 21. 阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）证明和全等得，由三角形三边之间关系得，进而得，再根据得，则，由此得中线的取值范围； （2）延长交的延长线于，证明△和△全等得，，则，再证明为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长到，使，连接，则，证明和全等得，，则，从而得，根据得，由此可证明和全等得，，由此得和的数量关系；然后根据得，则，由此得和的位置关系． 【小问1详解】 解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； 【小问3详解】 解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 22. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【答案】（1）， （2）解：（1）中的线段，，之间的数量关系还成立；理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，， ， 同（1）理：， ，， ， ， ，又， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连结，可证，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，由（2）方法可得，可得，即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连结， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图3，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， △的周长． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 23. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解； （2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答； （3）同（1）的求解思路． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A． 理由如下：如图， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A， 即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， =180°-（180°+∠A）， =90°-∠A； 故答案为∠BOC=90°-∠A． （3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D）， 在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）． 故答案为∠BOC=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1． 本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间90分钟． 2． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷题和答题卡一并交回． 第Ⅰ 卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，11，13 B. 3，4，5 C. 8，15，7 D. 5，5，12 2. 在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的内角和为 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 5. 如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（） A. B. C. D. 7. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得到的图形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个不同的格点三角形与成轴对称． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 12. 点， 关于x轴对称， 则 __________． 13. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 14. 如图，正方形的顶点，规定把正方形“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点C的坐标为____________． 15. 如图，，垂足为点 A，射线，垂足为点B， ，动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着 E点运动而运动，始终保持 ．若点E的运动时间为t秒 ，则当_____________秒时， 与全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 17. 在中， 是的角平分线， （1）如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； （2）如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 18. 尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 19. 如图，中、的垂直平分线分别交于、，若，求的度数． 20. 如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． （1）试说明： ． （2）若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； （3）在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 21. 阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 22. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 23. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $