精品解析：江西省临川第二中学2024-2025学年高一上学期第三次月考（12月）数学试题

临川二中2024~2025学年度上学期高一 第三次月考数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，下列三个式子，正确的个数为（ ） ①；②；③. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 函数与的交点横坐标所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是.若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：，）（ ）天. A. 100天 B. 105天 C. 110天 D. 115天 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的不得分. 7. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ） A. 必为奇函数 B. 可能为偶函数 C. 不一定为定值，且与的单调性有关 D. 为定值，且定值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 函数的图象如图所示，则的值域为______． 11. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围________. 12. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 13. 化简求值： （1）； （2） 14. 已知函数，（且）. （1）若，求的值； （2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值. 15. 函数，其中. （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，，求的最小值及取得最小值时的值. 16. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 17. 已知函数， . （1）当时，求函数的定义域； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）任取，，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川二中2024~2025学年度上学期高一 第三次月考数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除AB，根据单调性排除C，即可得到正确答案. 【详解】对A：因为函数的定义域为， 所以函数是非奇非偶函数，可排除A； 对B：因为，，则，且， 所以函数是非奇非偶函数，可排除B； 对C：幂函数在上单调递减，所以可排除C； 对D：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 又在上单调递增，故D正确. 故选：D 2. 已知，且，下列三个式子，正确的个数为（ ） ①；②；③. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②. 【详解】因为，且， 对于①，，①错； 对于②，当为奇数时，；当为偶数时，，②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为1. 故选：B. 3. 函数与的交点横坐标所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】构造函数， 因为函数和都是增函数， 所以是增函数，又，， 所以函数的零点在内， 即函数与的交点横坐标所在的一个区间是. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】， 令， 所以的定义域是， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以CD选项错误. ，所以A选项错误，所以B选项正确. 故选：B 5. 下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项. 【详解】若“是集合的真子集” 所以， 所以方程有实数解， 当时，由可得，符合题意， 当时，由可得， 所以且， 综上所述：的充要条件为； 即“是集合的真子集”成立充要条件为； 所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集， 由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确； 故选：D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是.若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：，）（ ）天. A. 100天 B. 105天 C. 110天 D. 115天 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过115天. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的不得分. 7. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过分析不同函数中对应的集合中元素的值，即可得出结论. 【详解】由题意， ， A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误； B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确； C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误； D项，在中，当时，对应的函数值分别为， D正确； 故选：BD. 8. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值和不等式的性质即可确定正确答案. 【详解】对于A选项，取，，则，所以A选项错误. 对于B选项，若，则，所以B选项正确. 对于C选项，取，，则，所以C选项错误. 对于D选项，若，则，所以D选项正确. 故选：BD. 9. 已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ） A. 必为奇函数 B. 可能为偶函数 C. 不一定为定值，且与的单调性有关 D. 为定值，且定值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值法判断A,B,再运用奇偶性质求出最大最小值之和判断C,D. 【详解】令，满足，则有，则； 令，满足，则有，即， 且定义域为关于原点对称，故函数为奇函数；A正确. 若，则符合题意且为偶函数；则B正确. 因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与， 由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为， 故，C错误，D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 函数的图象如图所示，则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象即可得出函数的值域. 【详解】由图象可知，函数的值域为． 故答案为：. 11. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可. 【详解】由题意，函数在上单调递增， 且对于恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出时的值域，由题意可得在时的值域包含在时的值域范围，且时一个y的值只能有2个x值与之对应，根据函数单调性即可求解实数的取值范围. 【详解】当时，函数，当且仅当即时，等号成立， 所以在上的值域为，且在上单调递增； 当时，则， ①当时，由单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 要使对任意的，都存在唯一的，满足， 则，所以，解得，又，所以； ②当时，在上单调递减，要使对任意的， 都存在唯一的，满足，则，解得， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 13. 化简求值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数、根式运算来求得正确答案. （2）根据对数运算来求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 14. 已知函数，（且）. （1）若，求的值； （2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值. 【答案】（1） （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用，求出，得到结果． （2）判断函数在上的单调性，利用单调性求函数的最值，通过已知条件列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 故． 【小问2详解】 当时，在上单调递增， ∴， 化简得， 解得：（舍去）或． 当时，在上单调递减， ∴， 化简得． 解得：（舍去）或． 综上，实数的值为或． 15. 函数，其中. （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，，求的最小值及取得最小值时的值. 【答案】（1）1和100 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，令，结合对数运算求得的值即可得出答案； （2）将两个零点用表示，结合基本不等式即可得解． 【小问1详解】 当时，， 令，可得，所以或， 解得或，即函数的零点为1和100； 【小问2详解】 令，可得，显然此时， 可得或，由得或， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围为． 16. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）符合， （2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可； （2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可 【小问1详解】 因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 【小问2详解】 由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh 国道上的耗电量 所以Wh 所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 17. 已知函数， . （1）当时，求函数的定义域； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）任取，，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中，根据，解出不等式即可； （2）由题可知，函数有且仅有一个零点，则可得方程有且仅有一个根，然后求出的范围； （3）由条件可得对任意恒成立，求出的最大值和最小值代入该式即可得到的范围. 【小问1详解】 当时，， 要使函数有意义，则需，即，解得， 故函数的定义域为； 【小问2详解】 若函数有且仅有一个零点， 则有且仅有一个根，即, 即，即有且仅有一个根， 令，则有且仅有一个正根， 当时，，则，即，符合题意； 当时,若，即时，，此时，符合题意， 若，需，即， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 若任取，，不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为在定义域上是单调减函数， 所以，， 即， 即，则， 所以，即， 又有意义，需，即， 所以，又，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题,考查不等式恒成立问题,解题的关键是将问题转化为有且仅有一个正根,不等式恒成立问题转化为对任意恒成立, 考查了分类讨论思想和转化思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $