四川省成都外国语学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 成都外国语学校高 2023 级 12 月月考试题 数 学 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用 0.5毫米黑色签字笔 填写清． 2．选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦 干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超 出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点 ( )3,4,5P 在坐标平面 xOz内的射影点的坐标是（ ） A． ( )3,0, 5− − B． ( )3,0,5 C． ( )3,0,0 D． ( )0,0,5 2．椭圆的标准方程为 2 2 1 9 16 x y + = ，其焦点的坐标为（ ） A． ( )3,0 B． ( )7,0 C． ( )5,0 D． ( )0, 7 3．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男 生和一名女生的概率为（ ） A． 2 5 B． 3 5 C． 6 25 D． 12 25 4．已知圆 2 2: 2 3 0M x y x+ − − = ，若圆M 与圆 2 2: 2 6 0C x y x y a+ − − − = 恰有三条公切线， 则实数a =（ ） A．9 B． 9− C．8 D． 8− 5．已知圆C： 2 2 4x y+ = 与直线 l： 1y kx k= − + 交于 ,A B两点，则 AB 的最小值为（ ） A． 2 B．2 C．2 2 D．2 3 6．设点 P为椭圆 2 2 9 4 x y C + =： 1 上一点， 1F ， 2F 分别为 C的左、右焦点，且 1 2 60F PF = ， 则 1 2PF F 的面积为（ ） A．4 3 B．2 3 C． 4 3 3 D． 2 3 3 试卷第 2 页，共 4 页 7．已知 ( )2,2M 是直线 l被椭圆 2 24 36x y+ = 截得线段 AB 的中点，则直线 l方程为（ ） A．4 10 0x y+ − = B． 4 10 0x y+ − = C． 4 8 0x y+ − = D．4 6 0x y− − = 8．已知圆 ( ) ( ) 2 22 2 1 2 25 1 : 2 : 2 4 4 C x y C x y+ + = − + =， ，动圆 P 与圆 1 2C C， 都外切，则动圆 圆心 P 的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1( 0) 3 y x x− =  B． ( ) 2 2 1 0 3 y x x− =  C． ( ) 2 2 1 0 5 y x x− =  D． ( ) 2 2 1 0 5 y x x− =  二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选 错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知一组数据 1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2 B．已知五个数据 5，5，10，10，20，则这组数据的80%分位数为 10 C．若 ( ) ( ) 1P A P B+ = ，则事件A 与 B 互为对立事件 D．若事件 ,A B相互独立， ( ) ( ) 1 1 , 5 4 P A P B= = ，则 ( ) 1 5 P AB = 10．已知双曲线C： 2 2 1 16 9 x y − = ，下列结论正确的是（ ） A．双曲线C的渐近线方程为 3 4 y x B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 C．与双曲线C的渐近线平行的直线与双曲线C一定没有交点 D．若直线 y kx= 与双曲线C没有交点，则 k 的取值范围为 3 3 ( , ] [ , ) 4 4 − − + 11．在正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1 2AB AA= = ，点 P满足 1BP BC BB = + ，其中，  0,1 ，则（ ） A．当 1 = 时，三棱锥 1 1P A B B− 的体积为定值 3 3 B．当三棱锥 1P A BC− 的体积为定值 2 3 3 时， 1 = C．当 1 2  = 时，有且仅有两个点 P，使得 1A P BP⊥ D．当 1A B ⊥平面 1AB P 时， 1 = ， 1 2  = 试卷第 3 页，共 4 页 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．椭圆 2 2 2 1( 1) x y a a + =  的离心率为 3 2 ，则a = ． 13．求过（1，2）的圆 2 2 1x y+ = 的切线方程为 ． 14．已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   ，若双曲线不存在以点 ( )2 ,a a 为中点的弦，则双 曲线离心率e的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 15．（13 分）已知空间向量 ( ) ( )2, 1, 2 , 1,1, 4a b= − − = − . (1)求 2 3a b− ； (2)若向量 2a b+ 与 3ka b− 垂直，求实数 k 的值. 16．（15 分） （1）求经过两条直线2 3 1 0x y+ + = 和 3 4 0x y− + = 的交点，并且垂直于直线 3 4 7 0x y+ − = 的直线方程； （2）已知圆C的圆心在直线 0x y+ = 上，圆C与直线 0x y− = 相切，且在直线 3 0x y− − = 上截得的弦长为 6 ，求圆C的方程． 17．（15 分）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成 绩，从所有学生中随机抽取 200 名学生，记录他们的首轮竞赛成 绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中 a的值．若从成绩不低于 70 分的同学中， 按分层随机抽样方法抽取 12 人的成绩，求 12 人中成绩不低于 90 分 的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖概率为 3 5 ，乙复赛获一 等奖概率为 2 3 ，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 试卷第 4 页，共 4 页 18．（17 分）如图，在四棱锥P ABCD− 中，平面PDC ⊥平面 , ,ABCD AD DC AB DC⊥ ∥ ， 1 1, 2 AB CD AD M= = = 为棱PC的中点． (1)证明： / /BM 平面PAD ； (2)若 5, 1PC PD= = ， （i）求二面角P DM B− − 的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点 Q，使得点 Q到平面BDM 的距离是 2 6 9 ？若存在，求出 PQ的值；若不存在，说明理由． 19．（17 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的左、右焦点分别为 1 2,F F ， ( )2,0N − 为椭 圆的一个顶点，且右焦点 2F 到直线 0x y− = 的距离为 2 2 . (1)求椭圆 C的标准方程； (2)设直线 ( ): 0l y kx m k= +  与椭圆 C交于 A、B两点. ①若直线 l过椭圆右焦点 2F ，且 1AF B△ 的面积为 8 3 5 ，求实数 k 的值； ②若直线 l过定点 (0,2)P ，且 0k  ，在 x 轴上是否存在点 ( ,0)T t 使得以 ,TA TB 为邻边的 平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数 t 的取值范围； 若不存在，请说明理由. 第 1 页，共 4 页 成都外国语学校高 2023 级 12 月月考 数学参考答案 选择题 1-4.BDBB 5-8.CCBA 9.AD 10.ABD 11.BC 填空题： 12．2 13．3x-4y+5=0 或 1x = 14． 5 2 3 , 2 3       14【详解】由题意得点 ( )2 ,a a 在双曲线外部或在双曲线上，则 ( ) 2 2 2 2 2 1 a a a b −  ，得 2 2 1 3 b a  . 假设存在以 ( )2 ,a a 为中点的弦，设弦与双曲线交于点𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)，则 1 2 1 22 , 2 2 x x y y a a ，由点𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)在双曲线上得， 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  − =   − =  ， 两式作差得， ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x x x x y y y y a b + − + − = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 21 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 2 AB b x xy y b a b k x x a y y a a a +−  = = = = − +  . ∵不存在该中点弦，∴直线 AB 与双曲线至多一个交点，则 2 2 2b b a a  ， 1 2 b a  ， ∴ 2 2 1 1 4 3 b a   ，∵ 2 2 1 c b e a a = = + ，∴ 1 1 1 1 4 3 e+   + ，即 5 2 3 2 3 e  . 四、解答题： 15．（13 分）【详解】（1）2 3 (1, 5,8)a b− = − ，所以 2 2 22 3 1 ( 5) 8 3 10a b− = + − + = （2） 2 4,1 10a b+ = −（ ， ）， 3 (2 3, 3, 2 12)ka b k k k− = − − − − + ， 由向量 2a b+ 与 3ka b− 垂直，则 ( 2 ) ( 3 ) 0a b ka b+  − = ， 则 ) ( ) ( )( k k k− + − − − − + =2 3 3 10 2 12 04 ，解得： 5k = . 16．（15 分）【详解】（1）由 2 3 1 0 3 4 0 x y x y + + =  − + = ，解得 5 3 7 9 x y  = −   =  ，而直线3 4 7 0x y+ − = 的斜率 为 3 4 − 则垂直于直线3 4 7 0x y+ − = 的直线的斜率为 4 3 ， 所以所求直线方程为 7 4 5 ( ) 9 3 3 y x− = + ，即4 3 9 0x y− + = . 第 2 页，共 4 页 （2）由圆C的圆心在直线 0x y+ = 上，设圆C的圆心为 ( , )a a− ， 由圆C与直线 0x y− = 相切，得圆C的半径 2 | | 2 | | 2 a r a= = ， 圆心 ( , )C a a− 到直线 3 0x y− − = 的距离 | 2 3 | 2 a d − = ， 由圆C在直线 3 0x y− − = 上截得的弦长为 6 ，得 2 2 2 6 ( ) 2 d r+ = ，即 2 2(2 3) 3 2 2 2 a a − + = ， 解得 1a = ，所以圆C的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = . 17．（15 分【详解】（1）由频率分布直方图可得 ( )10 0.010 0.015 2 0.025 0.005 1a +  + + + = ，解得 0.030a = .  )70,80 的频率为10 0.3=a ， )80,90 的频率为10 0.025 0.25 = ， [90,100]的频率为10 0.005 0.05 = ，按分层抽样方法抽取 12 人的成绩， 则 12 人中成绩不低于 90 分的人数为 0.05 12 1 0.3 0.25 0.05  = + + . （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： ( )10 45 0.010 55 0.015 65 0.015 75 0.030 85 0.025 95 0.005 71  +  +  +  +  +  = .  )40,70 的频率为 ( )10 0.010 0.015 0.015 0.4 + + = ，  )40,80 的频率为0.4 10 0.030 0.7+  = ， 设中位数为 x ,则  )70,80x ，则 ( )0.4 0.030 70 0.5x+ − = ，解得 73.33x  ， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为71分，中位数约为73.33分. （3）设 A = “至少有一位同学复赛获一等奖”，则 ( ) ( ) 3 2 13 1 1 1 1 5 3 15 P A P A     = − = − −  − =        , 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为 13 15 . 18．（17 分）【详解】（1）取 PD的中点 N，连接 ,AN MN ，如 图所示： M 为棱PC的中点， 1 , 2 MN CD MN CD =∥ ， 1 , , , 2 AB CD AB CD AB MN AB MN=  =∥ ∥ ， ∴四边形 ABMN 是平行四边形， BM AN ， 又 BM  平面 ,PAD AN 平面 , / /PAD BM 平面PAD ． 第 3 页，共 4 页 （2） 2 2 25, 1, 2, ,PC PD CD PC PD CD PD DC= = =  = +  ⊥ ， ∵平面PDC ⊥平面 ABCD，平面PDC 平面 ,ABCD DC PD= 平面PDC ， PD ⊥平面 ABCD， 又 ,AD CD 平面 ,ABCD PD AD ⊥ ，而 ,PD CD AD DC⊥ ⊥ ， ∴以点 D 为坐标原点， , ,DA DC DP所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如 图：则 (0,0,1), (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0)P D A C ， M 为棱PC的中点， 1 0,1, , (1,1,0) 2 M B        （i） 1 0,1, , (1,1,0) 2 DM DB   = =    ，设平面BDM 的一个法向量为 ( , , )n x y z= ， 则 1 0 2 0 n DM y z n DB x y   = + =    = + = ，令 2z = ，则 1, 1, (1, 1,2)y x n= − =  = − ， 平面 PDM 的一个法向量为 (1,0,0)DA = ， 1 6 cos , 6| || | 1 6 n DA n DA n DA     = = =  ， 根据图形得二面角P DM B− − 为钝角，则二面角P DM B− − 的余弦值为 6 6 − （ii）假设在线段PA上存在点 Q，使得点 Q 到平面BDM 的距离是 2 6 9 ， 设 ,0 1PQ PA =   ，则 ( ,0,1 ), ( 1, 1,1 )Q BQ   − = − − − ， 由（2）知平面BDM 的一个法向量为 (1, 1,2)n = − ， 1 1 2(1 ) 2BQ n    = − + + − = − ， ∴点 Q 到平面BDM 的距离是 | | 2 2 6 | | 96 BQ n n  − = = ， 2 2 2 , 3 3 PQ =  = ． 19．（17 分）【答案】(1) 2 2 1 4 3 x y + = (2)① 3k =  ；②存在， 3 ,0 6 t    −     【详解】（1）由题意，得 2 ( ,0)F c ，又 2F 到直线 0x y− = 的距离为 2 2 ， 则 2 22 c = ，因为 0c  ，所以 1c = ，再由椭圆的一个顶点为 ( )2,0N − ，可得 2a = ， 所以 2 2 2 4 1 3b a c= − = − = ，即椭圆 C的标准方程为 2 2 1 4 3 x y + = ； 第 4 页，共 4 页 （2）①由（1）知 2 (1,0)F ，直线 ( ): 0l y kx m k= +  过椭圆右焦点 F₂可得：0 k m= + ，即 m k= − ，所以由直线 ( ): 1l y k x= − 与椭圆 C的标准方程 2 2 1 4 3 x y + = 联立方程组，消去 y 得 ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − = . 设两交点 ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ， ，则有 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12 , , 4 3 4 3 k k x x x x k k − + = = + + 所以 ( )2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 12 18 4 12 1 1 4 4 3 4 3 4 3 kk k AB k x x k k k k +  − = + − = + − =  + + +  ， 又椭圆左焦点 ( )1 1 0F − ， 到直线 ( ): 1 0l k x y− − = 的距离为 2 2 = 1 k d k − + ， 所以 ( ) 1 2 22 12 121 1 8 3 2 2 4 3 51 AF B kk S d AB kk +− =   =   = ++ ， 解得 2 3k = 或 2 12 11 k = − （舍去），即 3k =  ； ②假设存在点 ( ),0T t 使得以 ,TA TB为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点 (0 2)P ， ， 且 0k  ，可知直线方程为 2y kx= + ， 与椭圆 2 2 1 4 3 x y + = 联立方程组，消去 y 得： ( )2 24 3 16 4 0k x kx+ + + = ， 由 2192 48 0k = −  ，且 0k  ，解得 1 2 k  ， 设两交点 ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ， ， AB 中 点 ( )0 0,M x y ，则有 1 2 1 22 2 16 4 , , 4 3 4 3 k x x x x k k − + = = + + 所以 1 20 0 02 2 8 6 , 2 2 4 3 4 3 x x k x y kx k k + − = = = + = + + ， 即 2 2 6 1 4 3 8 4 3 TM kk kk t k += − = − − + ，整理得 2 2 2 34 3 4 k t k k k = − = − + + ， 又因为 1 2 k  ，所以 )34 4 3,k k +  +  ，则 3 ,0 6 t    −     .