15.3 等腰三角形（第2课时 等腰三角形性质应用）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形性质的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算. 2.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明. 3.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程. ◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明. ◎难点:综合解决几何问题. 学习目标 黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍. 情景导入 等腰三角形有哪些什么性质？ 等腰三角形的两底角相等． （简写成 “等边对等角”） A B C ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 新知探究 A B C D ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知） ∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一） ∵AB=AC，BD=CD（已知） ∴∠BAD=∠CAD， AD⊥BC（三线合一） 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（ 简写成“三线合一” ） 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 应用： 常用来证明线段相等和角相等，求等腰三角形各角的度数,可以设未知数，借助方程来解。 概念归纳 例2.已知：如图，在ΔABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数. C D B A 解 ∵AB=AC,BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. （三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和） ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180 （三角形内角和等于180°） 解方程，得 x=36。 ∠A=36°，∠C=72°. 课本例题 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线和一”） 应用： 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 概念归纳 例3 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知：如图，在RtΔABC和RtΔA‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°，AB=A‘B’,AC=A‘C’. 求证：RtΔABC≌RtΔA'B'C'. C' A' C B A (1) B' B' C(C') A(A') (2) B 课本例题 证明 在平面内移动RtΔABC和RtΔA'B'C', 使点A和点A'、点C和点C'重合，点B和点B'在AC的两侧. ∵∠BCB'=90°+90°=180°，（等式性质） ∴B,C,B'三点在一条直线上.（平角定义） 在ΔABB'中， ∵AB=AB',（已知） ∴∠B=∠B'.（等边对等角） 在RtΔABC和RtΔA'B'C'中， ∠ACB=∠A'C'B',（已知） ∵ ∠B=∠B'（已证） AB=A'B',（已知） ∴RtΔABC≌RtΔA'B'C'.（AAS） B' C(C') A(A') (2) B 课堂练习 1.已知: 如图,D是△ABC的边BC上的一点,且AB=BD=AD=DC.求∠B,∠C, ∠BAC，∠DAC的度数. 解:∵BD=DA=AB, ∴∠B=60° ∴∠ADC=180°-60°=120° ∵AD=DC, ∴∠C=∠DAC. ∴∠C=x(180°120°)=30°,∠DAC=30° ∴∠BAC=90° 2.已知:如图,点D,E在AABC的底边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE 证明:∵AD=AE.∴∠ADE= ∠AED. 又∵AB=AC，∴∠B=∠C ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. ∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌ △ACE. ∴BD=CE. 3.已知:如图，∠AOB=15°,并且OA=AB=BC =CD.求∠1的度数. 解:∵OA=AB, ∴∠BAC=2∠A0B=30° ∵AB=BC ∴∠BCO=∠BAC=30° ∴∠CBD=30°+15°=45° ∴BC=CD. ∴∠CDB=∠CBD=45° ∴∠1=45°+15°=60° 4.已知:如图,AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D,∠A=40°.求∠DBC的度数. 解:∵AB=AC,∠A=40° ∴∠ABC=∠C=70°. 又∵DE垂直平分 AB, ∴∠ABD=∠A=40°. ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30° 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是(　A　) A.50° B.40° C.30° D.20° A 分层练习-基础 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E. (1)证明:AE＝ED； (2)求线段DE的长. 解:(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD. ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE. (2)∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠C. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠EDB＝∠B， ∴BE＝DE， ∴DE＝BE＝AE＝AB＝×8＝4. 利用等腰三角形的性质进行计算 1. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为(　C　) A.36° B.54° C.72° D.73° C 分层练习-巩固 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数. 　 解:如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°. 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC) ＝(180°－54°)＝63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°， ∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°. ∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线， ∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)， ∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°. ∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°， 在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°. 3. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数. 解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE， ∴∠A＝∠DEA＝x， ∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x. ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x. ∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°， 解得x＝45°. 利用等腰三角形的性质进行证明 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠B＝2∠C. 证明:如图，延长AB到点F，使AF＝AC，连接DF. ∵AC＝AB＋BD，AF＝AC，∴BD＝BF， ∴∠F＝∠BDF. ∵∠ABC＝∠F＋∠BDF， ∴∠ABC＝2∠F. 在△ADF和△ADC中， ∴△ADF≌△ADC(SAS)， ∴∠C＝∠F，∴∠ABC＝2∠C. 1.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，你知道∠ACB的度数吗？由此你能得到一个什么结论？ 分层练习-拓展 解:∠ACB的度数是90°，理由如下: ∵CD是△ABC的中线，且CD＝AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD. ∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°， ∴∠ACB＝90°. 结论:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. 2. 如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AD＝BE，AE、CD相交于点P.求证:∠CPE＝60°. 证明:∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝CA. 又∵BE＝AD，∴△ABE≌△CAD， ∴∠BAE＝∠ACD， 又∵∠CPE是△APC的一个外角， ∴∠CPE＝∠PAC＋∠ACD＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC. ∵∠BAC＝60°，∴∠CPE＝60°. 3.如图,在△ABC 中,AC<AB<BC.(1)如图①,已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B; 解:(1)证明:∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,∴PA=PB,∴∠B=∠BAP.∵∠APC=∠B+∠BAP, ∴∠APC=2∠B. 解:(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA.∵∠AQC=3∠B,且∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BAQ=2∠B.∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°. 等 腰 三 角 形 性质1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 应用： 常用来证明线段相等和角相等，求等腰三角形各角的度数,可以设未知数，借助方程来解。 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线和一”） 应用： 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 课堂小结 $$