15.4 角的平分线（第2课时 角平分线的性质与判定）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 第2课时　角的平分线的性质与判定 15.4　角的平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由. 情景导入 P 思考：如图，OP 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任意一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD ⊥ OB，点 C，D 是垂足 .量一量 PC 和 PD 的长度，你能发现什么？ 你能证明你的猜想吗？ P B A Ｏ C D PC=PD C D P C D 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 由此你能得到什么猜想？ 新知探究 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 证明： ∵ PC⊥OA，PD⊥OB ∴ ∠PCO=∠PDO=90° 在△PCO和△PDO中， ∠AOP=∠BOP ∠PCO=∠PDO OP= OP ∴ △PDO≌△PEO ∴ PC=PD P B A Ｏ C D 已知：如图，OP 平分 ∠AOB，点 P 是 OP 上的任意一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D. 求证：PC=PD. ∵ OP 平分∠AOB ∴ ∠AOP=∠BOP (角平分线的定义) (垂直的定义) ∵ (公共边) (AAS) (全等三角形的对应边相等) 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的性质定理： P B A Ｏ C D 点到角两边垂线段的长度 使用条件： ① 点一定要在角平分线上 ② 点到角两边的距离 性质定理的作用： 可用来证明两条线段相等. 是指 几何语言： ∵ OP 是 ∠AOB的平分线， ∴ PC=PD (角平分线上的点到角两边的距离相等) 且 PC⊥OA， PD⊥OB 推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个. 课堂练习 1.已知: 如图,△ABC中,AB =AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E，F.判断下列结论是否正确: (1)DE =DF.（ ） (2)BD =CD.（ ） (3)AD 上任一点到 AB,AC 的距离相等（ ） (4)AD 上任一点到点B,C距离相等（ ） √ √ √ √ 2.已知:如图,CD 为 RtΔABC 斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线分别交 CD，CB于点E，F，FG ⊥AB,垂足为点 G.求证:CE =FG. 证明:在Rt△ACF和Rt△AGF中 ∵∠ACF=∠AGF =90° ∠CAF=∠GAF AF=AF ∴Rt△ACF≌Rt△AGF中(AAS). ∴CF=CF.∠CFA=∠GFA 又∵CD⊥AB,FG⊥AB ∴CD∥FG, ∴∠AED=∠GFA. ∴∠AED=∴∠CFA 又∵∠AED=∠CEF，∴∠CEF=∠CFE ∴CE=CF.即CE=FG 如图所示，PD⊥OA, PE ⊥OB, PD=PE,则点P与∠AOB有什么特殊关系？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 例 已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P. 求证：AP平分∠BAC. A B C F E M P Q N 课本例题 证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC， PQ⊥AB，垂足分别为点M,N,Q. ∵ BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知） ∴ PQ=PM（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理， PN=PM. ∴ PN=PQ（等量代换） ∴ AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 这个例子说明：三角形三条内角平分线相较于一点，这个点到三角形三边的距离相等 课堂练习 1.如图,一所学校在公路的南侧,在河的西岸,学校到公路边与到河沿的距离相等,且与河上公路桥西首的点A 距离为 200 m.请在图上标出学校的位置,并说明理由. 解:学校在公路与河相交所成的角的平分线上.因为到角两边距离相等的点在角的平分线上.学校位置C如图所示. 2.如图,AABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD 求证:∠B=∠C. 证明:.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE = DF 又∵BD=CD, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF.(HL) ∴∠B=∠C 知识点1　 角平分线的性质 1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， AD 平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ， DE ⊥ AC ，垂足为点 E ，若 BD ＝2，则 DE 的长为(　C　) A. 3 B. C. 2 D. 6 (第1题) C 分层练习-基础 2. [2023·永州改编]如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB ， BC 于点 M ， N ，再分别以点 M ， N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 BP 交 AC 于点 D ，作 DE ⊥ AB ，垂足为 E ，则下列结论不正确的是(　C　) A. BC ＝ BE B. CD ＝ DE C. BD ＝ AD D. BD 一定经过△ ABC 三条内角平分线的交点 (第2题) 【点拨】 由作图知， BD 平分∠ ABC . ∵∠ C ＝90°， DE ⊥ AB ， ∴ CD ＝ DE ， BD 一定经过△ ABC 三条内角平分线的交点，故B，D正确，不符合题意； 在Rt△ BCD 与Rt△ BED 中， ∴Rt△ BCD ≌Rt△ BED ( HL ) ， ∴ BC ＝ BE ，故A正确，不符合题意；无法证明 BD ＝ AD ，故C错误，符合题意. 故选C. 【答案】 C 3. [新考法·面积公式法 2023·东营]如图，在△ ABC 中，以点 C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AC ， BC 于点 D ， E ；分别以点 D ， E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F ；作射线 CF 交 AB 于点 G . 若 AC ＝9， BC ＝6，△ BCG 的面积为8，则△ ACG 的面积为 ⁠. 12　 (第3题) 知识点2　 角的平分线的判定 4. 如图， AD ⊥ OB ， BC ⊥ OA ，垂足分别为 D ， C ， AD ， BC 相交于点 P ，若 PA ＝ PB ，则∠1与∠2的大小关系是(　A　) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定 (第4题) 【点拨】 因为 AD ⊥ OB ， BC ⊥ OA ，所以∠ PDB ＝∠ PCA ＝90°.又因为∠ APC ＝∠ BPD ， PA ＝ PB ，所以△ PAC ≌△ PBD ，所以 PC ＝ PD ，所以 OP 平分∠ AOB ，所以∠1＝∠2. 【答案】 A 5. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝42°， AD ⊥ BC 于点 D ， E 是 BD 上一点， EF ⊥ AB 于点 F . 若 ED ＝ EF ，则∠ AEC 的度数为 ⁠. (第5题) 66°　 知识点3 三角形的角平分线 6. 到△ ABC 的三边距离相等的点是△ ABC 的(　C　) A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 以上均不对 【点拨】 角平分线上的点到角两边的距离相等. C 易错点　 因考虑问题不全面而漏解 7. 如图，直线 l1， l2， l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 处. 【点拨】 l1， l2， l3围成的三角形内部有一处，为三条角平分线的交点；外部有三处，分别为两条外角平分线的交点. 4　 8. [2023·衢州]如图，在△ ABC 中，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB ， AC 于点 D ， E . 分别以点 D ， E 为圆心，大于 DE 长为半径画弧，交于∠ BAC 内一点 F . 连接 AF 并延长，交 BC 于点 G . 连接 DG ， EG . 添加下列条件，不能使 BG ＝ CG 成立的是(　D　) A. AB ＝ AC B. AG ⊥ BC C. ∠ DGB ＝∠ EGC D. AG ＝ AC 分层练习-巩固 【点拨】 根据题中所给的作图步骤可知， AG 是△ ABC 的角平分线，所以∠ BAG ＝∠ CAG . 当 AB ＝ AC 时，因为∠ BAG ＝∠ CAG ， AG ＝ AG ， 所以△ ABG ≌△ ACG ( SAS )，所以 BG ＝ CG ， 故A选项正确，不符合题意. 当 AG ⊥ BC 时，∠ AGB ＝∠ AGC ＝90°， 因为∠ BAG ＝∠ CAG ， AG ＝ AG ， 所以△ ABG ≌△ ACG ( ASA )， 所以 BG ＝ CG ， 故B选项正确，不符合题意. 当∠ DGB ＝∠ EGC 时， 因为 AD ＝ AE ，∠ BAG ＝∠ CAG ， AG ＝ AG ， 所以△ ADG ≌△ AEG ( SAS )， 所以∠ AGD ＝∠ AGE ， 所以∠ AGD ＋∠ DGB ＝∠ AGE ＋∠ EGC ， 即∠ AGB ＝∠ AGC . 又因为∠ AGB ＋∠ AGC ＝180°， 所以∠ AGB ＝∠ AGC ＝90°，所以 BG ＝ CG ， 故C选项正确，不符合题意. 由 AG ＝ AC 不能得出 BG ＝ CG ，故D选项错误，符合题意. 【答案】 D 9. 如图， PA ＝ PB ，∠1＋∠2＝180°. 求证： OP 平分∠ AOB . 【证明】如图，过点 P 作 PE ⊥ AO ， PF ⊥ OB ，垂足分别为点 E ， F ， 则∠ AEP ＝∠ BFP ＝90°. ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠ PBO ＝180°， ∴∠1＝∠ PBO . 在△ PAE 和△ PBF 中， ∴△ PAE ≌△ PBF ( AAS ). ∴ PE ＝ PF . ∴ OP 为∠ AOB 的平分线，即 OP 平分∠ AOB . 10. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线与△ ABC 的外角∠ ACE 的平分线相交于点 P ， PD ⊥ AC 于点 D ， PH ⊥ BA 交 BA 的延长线于点 H . (1)若点 P 到直线 BA 的距离是5 cm，求点 P 到直线 BC 的距离； 【解】如图，过点 P 作 PF ⊥ BE 于 点 F . 由题意可知 PH ＝5 cm. ∵ BP 平分∠ ABC ， PH ⊥ BA ， PF ⊥ BE ，∴ PF ＝ PH ＝5 cm， 即点 P 到直线 BC 的距离为5 cm. (2)求证：点 P 在∠ HAC 的平分线上. 【证明】∵ CP 平分∠ ACE ， PD ⊥ AC ， PF ⊥ BE ， ∴ PF ＝ PD . 由(1)知 PH ＝ PF ，∴ PD ＝ PH . 又∵ PH ⊥ BA ， PD ⊥ AC ， ∴点 P 在∠ HAC 的平分线上. 11. [新考法·变式探究法]如图①，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， AD ， CE 分别是∠ BAC ，∠ BCA 的平分线， AD ， CE 相交于点 F . (1) FE 与 FD 之间的数量关系为 ，并说明理由. EF ＝ FD 　 分层练习-拓展 【点拨】 FE ＝ FD . 理由如下： 过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M ， FN ⊥ BC 于点 N ， 则∠ FME ＝∠ FND ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， ∴∠ BAC ＝90°－∠ B ＝30°. ∵ AD ， CE 分别是∠ BAC ，∠ BCA 的平分线， ∴∠ ACE ＝ ∠ ACB ＝45°，∠ BAD ＝ ∠ BAC ＝15°. ∴∠ FEM ＝∠ BAC ＋∠ ACE ＝30°＋45°＝75°， ∠ FDN ＝∠ B ＋∠ BAD ＝60°＋15°＝75°. ∴∠ FEM ＝∠ FDN . ∵∠ BAC ，∠ BCA 的平分线 AD ， CE 交于点 F ， ∴点 F 在∠ ABC 的平分线上. 又∵ FM ⊥ AB ， FN ⊥ BC ，∴ FM ＝ FN . ∴△ FEM ≌△ FDN . ∴ EF ＝ FD . (2)如图②，如果∠ ACB 不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？请说明理由. 【解】成立.理由如下： 过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M ， FN ⊥ BC 于点 N ，易得 FM ＝ FN ， ∠ FME ＝∠ FND ＝90°. ∵∠ FDN ＝∠ B ＋∠ BAD ＝60°＋ ∠ BAC ， ∠ FEM ＝∠ BAC ＋∠ ACE ＝∠ BAC ＋ (180°－∠ B －∠ BAC )＝∠ BAC ＋ (180°－60°－∠ BAC )＝ 60°＋ ∠ BAC ， ∴∠ FEM ＝∠ FDN . ∴△ FEM ≌△ FDN . ∴ FE ＝ FD . 已知：如图，C，D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为点E，CF⊥OB，垂足为点F.求证：∠CDE=∠CDF. 1. 证明：∵C，D是∠AOB平分线 上的点，CE⊥OA，CF⊥OB， ∴CE=CF. 习题15.4 在Rt△OCE和Rt△OCF中， ∴Rt△OCE≌Rt△OCF.(HL) ∴∠DCE=∠DCF. ∵ 在△CDE和△CDF中， ∵ ∴△CDE≌△CDF，(SAS) ∴∠CDE=∠CDF. 已知：如图，BD平分∠ABC，且AB=CB，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，点M, N为垂足. 求证：PM=PN. 2. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， ∵ ∴△ABD≌△CBD.(SAS) ∴∠ADB=∠CDB. ∴DB平分∠ADC. 又∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. 3.已知：如图，△ABC的外角∠EBC，∠BCF的平分线交于点D. 求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：如图所示，过点D分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为M，N，G. ∵BD平分∠EBC，CD平分∠BCF，∴DM=DG，DN=DG.∴DM=DN. 又∵DM⊥AE，DN⊥AF， ∴AD是∠BAC的平分线. G M N 4.到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？各是如何找到的？ 解：有4个. 作内角的平分线，三个内角的平分线的交点是符合条件的一个点；作外角的平分线，外角的平分线相交得到的三个点都是符合条件的点. 5.已知：如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上一点，PC∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D. 如果PC=4，求PD的长. 解：过点P作PE⊥OB于点E. ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PE=PD. ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， 在Rt△CEP中，PC=4， ∴PE=2.∴PD=2 . 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 $$