15.1 轴对称图形（第2课时 轴对称）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 第2课时 轴对称 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解两个图形关于某直线对称的概念. 2.了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系. 3.能识别简单的轴对称现象及其对称轴（直线），能找出两个图形关于某直线对称的对称点. 情景导入 同学们，我们在生活中都见过水中的倒影， 倒影与实际的物体之间存在着联系，数学中我们称之为轴对称现象，而水平面就是对称轴. 本节课，我们一起来探究轴对称的有关知识. 新知探究 图 15-5 中有两对图形,其中的每一对图形,它们在一条直线(图中画成虚线)的两旁，如果沿着这条直线折叠，两个图形重合 轴对称  平面内　两　个图形在　一条　直线的两旁，如果沿这条直线　折叠　，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成　轴对称　，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的两点叫做　对应点　(也叫对称点).  两　 一条　 折叠　 轴对称　 对应点　 概念归纳 一个轴对称图形，如果把它沿对称轴分成两个图形（图 １５- ６），那么这两个图形关于这条轴对称 图15-7 如图15-7,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,A',B',C'分别是点A,B,C的对应点,连接AA',BB',CC',分别交直线l于点O1,O2,O3.观察图形,思考并回答下面的问题: （1）直线l与线段AA'的位置关系是怎样的?直线l与线段BB',CC'呢? 解:(1)直线l经过线段AA',BB',CC'的中点,并且与这几条线段都 垂直. (2)线段O1A与O1A'的长度相等吗?为什么?线段O2B与O2B',O3C与O3C'呢? 解:线段O1A与O1A'的长度相等.理由是△ABC与△A'B'C'关于直线l对称, 所以点A与A'关于直线l对称, 所以将△ABC沿直线l对折,点A与A'重合, 线段O1A与O1A’也重合, 所以线段O1A与O1A'的长度相等. 同理可知线段O2B与O2B',O3C与O3C'的长度也是相等的. 如图15-7,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,A',B',C'分别是点A,B,C的对应点,连接AA',BB',CC',分别交直线l于点O1,O2,O3.观察图形,思考并回答下面的问题: 垂直 垂直平分线 垂直平分 1.线段垂直平分线的概念:经过线段的中点并且　　　　于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.  2.轴对称的性质:一般地,如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的　　　　　 ;反过来,成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴　　　　　. 概念归纳 1.已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? （3）点A′就是点A关于直线l的对称点. A ′ （1）过点A作对称轴直线l的垂线，垂足为B； （2）延长AB 至A′,使得BA′=AB； 作法： A B 课堂练习 2.如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? A B A′ B′ 羊 田 平 3.如图，把下列图形补成关于直线对称的图形. B A C B′ D E C′ (A′) 4.画一画： (1)任意画△ABC，过A点任意画一条直线l ； (2)作△ A'B'C'与△ABC关于直线l对称. 知识点1　 两个图形成轴对称 1. 如图，关于虚线成轴对称的有(　B　) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【点拨】 根据成轴对称的定义可知，满足条件的是③和④，有2组. B 分层练习-基础 2. 下列各选项中，两个三角形成轴对称的是(　A　) A 知识点2　线段的垂直平分线 3. 已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，下列说法正确的是(　C　) A. 若 MN 交 AB 于点 O ，则 OM ＝ ON ，且 MN ⊥ AB B. AB 平分线段 MN C. AB 的垂直平分线是 MN ，且只有 MN 这一条 D. MN 可以是射线，也可以是直线或线段 【点拨】 因为 MN 是 AB 的垂直平分线， MN 交 AB 于点 O ，所以 MN 平AB ， OA ＝ OB ，故A，B错误. AB 的垂直平分线只有一条，垂直平分线是一条直线，故C正确，D 错误.故选C. C 【答案】 4. 关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中，正确的说法有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 B ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确； ②线段的垂直平分线是一条直线，正确； ③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴，错误，线段有2条对称轴，垂直平分线和它本身所在的直线.故选B. 知识点3　 轴对称及轴对称图形的性质 5. 如图，∠ A ＝30°，∠C'＝60°，△ ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则∠ B 的度数为(　C　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° (第5题) C 6. [新考法·折叠法 2022·河北]如图，将△ ABC 折叠，使 AC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕 l ，则 l 是△ ABC 的(　C　) A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上都不是 (第6题) 如图，由已知可得∠1＝∠2，则 l 为△ ABC 的角平分线. C 7. 如图，△ ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB'分别交 AC ，A'C于点 D ，D'，下列结论：①AA'∥BB'；②∠ ADB ＝∠A'D'B'；③直线 l 垂直平分AA'；④直线 AB 与A'B'的交点不一定在直线 l 上.其中正确的是(　　) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ AA 【点拨】 ∵△ ABC 和△A'B'C'关于直线 l 对称， ∴AA'∥BB'，直线 l 垂直平分AA'，线段 AC ，A'C'所在直线的交点一定在直线 l 上，故①③正确，④错误； ∴∠ADD'＝∠A'D'D， ∴∠ ADB ＝∠A'D'B'，故②正确. 故选A. 知识点4 画轴对称图形 8. 在下面各图中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ ABC 关于直 线 l 成轴对称. 9. 如图，格点三角形 ABC 在网格中的位置如图所示. (1)画出△ ABC 关于直线 MN 对称的△A'B'C'； 【解】(1)如图，△A'B'C'即为所求. (2)若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ⁠. 【点拨】 S△A'B'C'＝3×3－ ×1×3－ ×2×3－ ×1×2 ＝9－ －3－1＝ . 　 10. 如图，点 P 在∠ AOB 的内部，点 M ， N 分别是点 P 关于直线 OA ， OB 的对称点，线段 MN 分别交 OA ， OB 于点 E ， F . (1)若 MN ＝20 cm，求△ PEF 的周长； 分层练习-巩固 【解】如图，设 MP 与 OA 相交于点 R ， PN 与 OB 相交于点 T . 因为点 M ， N 分别是点 P 关于直线 OA ， OB 的对称点， 所以易证△ MER ≌△ PER ，△ NFT ≌△ PFT ，所以 ME ＝ PE ， NF ＝ PF . 所以 PE ＋ EF ＋ PF ＝ ME ＋ EF ＋ NF ＝ MN ＝20 cm， 即△ PEF 的周长是20 cm. (2)若∠ AOB ＝35°，求∠ EPF 的度数. 【解】由(1)知 ME ＝ PE ， NF ＝ PF ，所以∠ M ＝∠ EPM ，∠ N ＝∠ FPN . 所以∠ PEF ＝2∠ M ，∠ PFE ＝2∠ N . 由题知∠ PRE ＝∠ PTF ＝90°， 所以在四边形 OTPR 中，∠ MPN ＋∠ AOB ＝180°. 因为∠ MPN ＋∠ M ＋∠ N ＝180°，所以∠ M ＋∠ N ＝∠ AOB ＝35°. 所以∠ EPF ＝180°－(∠ PEF ＋∠ PFE )＝180°－2(∠ M ＋∠ N ) ＝180°－35°×2＝110°. 11. [新考法·新定义阅读法] [定义]如图①， OM 平分∠ AOB ，则称射线 OB ， OA 关于 OM 对称. [理解题意] (1)如图①，射线 OB ， OA 关于 OM 对称且∠ AOB ＝ 45°，则∠ AOM ＝ °； 22.5　 分层练习-拓展 ∵射线 OB ， OA 关于 OM 对称且∠ AOB ＝45°， ∴∠ AOM ＝ ∠ AOB ＝ ×45°＝22.5°. [应用实际] (2)如图②，若∠ AOB ＝45°， OP 在∠ AOB 内部， OP ， OP1关于 OB 对称， OP ， OP2关于 OA 对称，求∠ P1 OP2的度数； 【解】∵ OP 和 OP1关于 OB 对称， ∴∠ POP1＝2∠ BOP . 又∵ OP 和 OP2关于 OA 对称， ∴∠ POP2＝2∠ AOP . ∵∠ P1 OP2＝∠ POP1＋∠ POP2， ∴∠ P1 OP2＝2∠ BOP ＋2∠ AOP ＝2∠ AOB ＝90°. (3)如图③，若∠ AOB ＝45°， OP 在∠ AOB 外部，且0°＜∠ AOP ＜45°， OP ， OP1关于 OB 对称， OP ， OP2关于 OA 对称，求∠ P1 OP2的度数； 【解】 ∵ OP 和 OP1关于 OB 对称， ∴∠ POP1＝2∠ BOP . 又∵ OP 和 OP2关于 OA 对称， ∴∠ POP2＝2∠ AOP . ∵∠ P1 OP2＝∠ POP1－∠ POP2， ∴∠ P1 OP2＝2∠ BOP －2∠ AOP ＝2∠ AOB ＝90°. [拓展提升] (4)如图④，若∠ AOB ＝45°， OP ， OP1关于∠ AOB 的 OB 边对称，∠ AOP1＝4∠ BOP1，求∠ AOP 的度数.(直接写出答案) 【解】 ∠ AOP ＝30°或54°. ①当 OP 在∠ AOB 内部时，如图①， ∵ OP ， OP1关于 OB 对称， ∴∠ BOP ＝∠ BOP1. ∵∠ AOP1＝4∠ BOP1，∴∠ AOB ＝∠ AOP1－∠ BOP1＝3∠ BOP1＝45°. ∴∠ BOP1＝15°. ∴∠ BOP ＝∠ BOP1＝15°. ∴∠ AOP ＝∠ AOB －∠ BOP ＝30°. 【点拨】 ②当 OP 在∠ AOB 外部时， ∵∠ AOP1＝4∠ BOP1， ∴射线 OP 在射线 OB 的上面，如图②. ∵ OP ， OP1关于 OB 对称，∴∠ BOP ＝∠ BOP1. ∵∠ AOP1＝4∠ BOP1， ∴∠ AOB ＝∠ BOP1＋∠ AOP1＝5∠ BOP1＝45°. ∴∠ BOP1＝9°.∴∠ BOP ＝∠ BOP1＝9°. ∴∠ AOP ＝45°＋9°＝54°.综上所述，∠ AOP ＝30°或54°. 1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形，这个图形与原来的图形形状、大小完全一样. 2.新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 3.画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些点，作出这些点的对称点. 课堂小结 $$