2.4 一元一次不等式(组)及其应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用(必考,多在实际应用中考查) 要点归纳 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中的应用 性质 1 不等式两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 如果 a > b,那么 a ± c ①　 >　 b±c 移项 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一 个正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac ②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一 个负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac ③　 <　 bc(或 a c < b c ) 去分母,系数化为 1 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界 点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则 为小于向左,大于向右 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示 解法步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的公共部分; (3)根据公共部分写出不等式组的解集,如果没有公共部分,那么不等式组 无解 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) 类型 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀 x>a x>b{ ⑧　 x>b　 同大取大 x<a x<b{ ⑨　 x<a　 同小取小 52 基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) x>a x<b{ ⑩　 　 　 　 大小小大中间找 x<a x>b{ 􀃊􀁉􀁓　 无解　 大大小小找不到 要点 4 含参不等式(组)的相关计算 例 1　 已知不等式组 x>2, x>a.{ (1)若不等式 x>a 的解集是 x>1,则 a 的值是􀃊􀁉􀁔　 1　 ; (2)若不等式组的解集是 x>2,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁕　 a≤2　 ; 思维点拨 根据同大取大,可知 a 与 2 的关系. (3)若不等式组的解集是 x>3,则 a 的值为􀃊􀁉􀁖　 3　 ; (4)若不等式组的解集是 x>a,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁗　 a≥2　 . 例 2　 已知不等式组 x≤2, x>a.{ (1)若不等式组的解集为-1<x≤2,则 a 的值为􀃊􀁉􀁘　 -1　 ; (2)若不等式组有解,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁙　 a<2　 ; 思维点拨 不等式组有解,则根据“大小小大中间找”且 x 可以取 2,从而确定 a 与 2 的 关系. (3)若不等式组恰好有三个整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁚　 -1≤a<0　 ; 思维点拨 不等式组恰好有三个整数解,则这三个整数解是􀃊􀁉􀁛　 2,1,0 　 ,则不等式 x>a 中,可以取到 x= 􀃊􀁊􀁒　 0　 ,但不能取到 x= 􀃊􀁊􀁓　 -1　 ,从而可确定 a 的取值范围. (4)若不等式组至少有三个整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁔　 a<0　 ; (5)若不等式组无解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁕　 a≥2　 . 思维点拨 根据“大大小小找不到”确定 a 的取值范围. 要点 5 一元一次不等式的实际应用 ◆常见关键词与对应不等号: 见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁊􀁖　 >　 ; 见到“小于、少于、不足、低于”用􀃊􀁊􀁗　 <　 ; 见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁊􀁘　 ≥　 ; 见到“至多、不超过、不大于、不多于”用􀃊􀁊􀁙　 ≤　 . (1)购买 A,B 两种商品共 m 个,且 A 商品的数量不少于􀪍􀪍􀪍 B 商品的 1 n ,设购买 A 商品 x 个, 则可列不等式为􀃊􀁊􀁚　 　 　 　 　 　 ; (2)购买 A,B 两种商品共 m 个,A 商品的单价为 a 元,B 商品的单价为 b 元,总费用不超􀪍􀪍 过􀪍 n 元. 设购买 A 商品 x 个,则可列不等式为􀃊􀁊􀁛　 ax+b(m-x)≤n　 . 62 基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 随堂练习 1. [人教七下 P120 第 4 题改编]下列说法错误的是 ( C ) A. 若 a<b,则 a+1<b+1　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 若-2a>-2b,则 a<b C. 若 a<b,则 ac<bc D. 若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a<b 2. 一件商品的成本价是 50 元,如果按原价的八五折销售,至少可获得 12%的利润,若设该商 品的原价是 x 元,则列式正确的是 ( C ) A. 50-50×12%≥85%x B. 50-50×12%≤85%x C. 50+50×12%≤85%x D. 50+50×12%≥85%x 3. [北师八下 P48 例 3]一次环保知识竞赛共有 25 道题,规定答对一道题得 4 分,答错或不答一 道题扣 1 分. 在这次竞赛中,小明被评为优秀(85 分或 85 分以上),小明至少答对几道题? 解:设小明答对了 x 道题,则他答错和不答的共有(25-x)道题, 根据题意,得 4x-1×(25-x)≥85, 解得 x≥22, ∴小明至少答对 22 道题. 4. 解不等式 x+1>x +4 2 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 解:x+1>x +4 2 , 去分母,得 2(x+1)>x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 5. 解不等式组 1+x>-2, 2x-1 3 ≤1, ì î í ï ï ïï 并把解集在数轴上表示出来. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. ▶▶请完成《分层作业本》P15-16 习题 72 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1　 ⑧(100-x)　 ⑨10x+(100- x) ×1 = 235　 ⑩x= 15,则 100-x = 85　 􀃊􀁉􀁓这个月该公司分别 销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨　 􀃊􀁉􀁔 a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. C　 2. 2　 3. B　 4. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 5. (1)原方程组的解是 x= -1, y= 1.{ (2)原方程组的解是 x= 3, y= 4.{ 命题点 2　 一元二次方程及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 　 ⑨a(1+x) 2 　 ⑩a(1-x) 2 􀃊􀁉􀁓80(1-x) 2 = 54　 􀃊􀁉􀁔(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁕(a-x)(b-x) 􀃊􀁉􀁖x· m-x 2 　 􀃊􀁉􀁗x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁘(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁙2 􀃊􀁉􀁚(40-2x)(26-x)= 144×6　 􀃊􀁉􀁛ax　 􀃊􀁊􀁒ax2 　 􀃊􀁊􀁓(1+x) 􀃊􀁊􀁔(1+x) 2 随堂练习 1. 16,36,6 2. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 3. 4　 4. 10　 5. B 6. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 命题点 3　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70(元) 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1 􀃊􀁊􀁘x= 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度; 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:去分母、去括号得 2x-5 = 3x-3-3x+6, 移项、合并同类项得 2x= 8, 系数化为 1 得 x= 4, 检验:把 x = 4 代入最简公分母( x- 2),得 x- 2 = 4 - 2 = 2 ≠0, 故原分式方程的解为 x= 4. 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C　 3. 小明至少答对 22 道题 4.解:x+1> x+4 2 , 去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 4 题解图 5. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 5 题解图 第三章　 函数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁗 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁘 | y2 -y1 | 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021